2 điểm cách đều như thế nào
|
1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
 Trên hình vẽ trên, $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$ Ta cũng nói: $A$ đối xứng với $B$ qua $d.$ Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. 2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác Trên hình, điểm $O$ là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC.\) Ta có \(OA = OB = OC.\) Điểm $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) II. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng Phương pháp: Để chúng minh \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), ta chứng minh \(d\) chứa hai điểm cách đều \(A\) và \(B\) hoặc dùng định nghĩa đường trung trực. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Phương pháp: Ta sử dụng định lý: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất Phương pháp: - Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó. - Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất. Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Phương pháp: Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân Phương pháp: Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này. Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông Phương pháp: Ta chú ý rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền Video liên quanĐịnh nghĩa [edit]Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Như vậy, mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một đường trung trực.Ví dụ 1: Xét đoạn thẳng \(AB\) và đường thẳng \(d\) như sau: Đường thẳng \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi có hai điều kiện: 1) \(d\) đi qua trung điểm của đoạn \(AB.\) 2) \(d \bot AB.\) Cách vẽ [edit]Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) ta có thể dùng thước và compa như sau: Cách 1: Chỉ dùng thước ê ke. Bước 1: Dùng thước đo độ dài đoạn thẳng \(AB\) và xác định trung điểm \(I.\) Bước 2: Dùng thước ê ke (hoặc thước thẳng) kẻ đường thẳng đi qua trung điểm \(I\) và vuông góc với \(AB.\) Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm \(I\) và vuông góc với \(AB\) trên nửa mặt phẳng còn lại. Đường thẳng vừa kẻ được chính là đường trung trực của đoạn \(AB.\) Cách 2: Dùng thước và compa Bước 1: Vẽ cung tròn tâm \(A\) bán kính \(R\) và cung tròn tâm \(B\) bán kính \(R,\) với \(R> \dfrac{AB}{2}.\) Bước 2: Xác định giao điểm của hai cung tròn vừa vẽ. Bước 3: Dùng thước kẻ đường thẳng đi qua hai giao điểm vừa xác định được. Đường thẳng vừa kẻ được chính là đường trung trực của đoạn \(AB.\) Chú ý: điều kiện \(R> \dfrac{AB}{2}\) để đảm bảo điều kiện hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm. Định lí thuận [edit]Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Để chứng minh định lí trên, ta xét bài toán sau: Cho \(d\) là đường trung trực của đoạn \(AB.\) Lấy điểm \(M\) tùy ý thuộc \(d.\) Chứng minh \(MA=MB.\) Chứng minh: Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Khi đó \(IA=IB.\) Ta sẽ chứng minh trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Điểm \(M\) không thuộc đoạn \(AB\). Tức là \( M \neq I.\) Vì \(d\) là đường trung trực của \(AB\) khi đó \(d \bot AB\) nên \(\widehat{MIA}=\widehat{MIB}=90^{\circ}.\) Nối \(A\) với \(M\) và \(B\) với \(M.\) Xét \(\Delta AMI\) và \(\Delta BMI\) có: \(IA=IB\) \(\widehat{MIA}=\widehat{MIB}=90^{\circ}\) \(MI\) là cạnh chung Suy ra \(\Delta AMI=\Delta BMI\) (c.g.c) \(\Rightarrow MA=MB\) (hai cạnh tương ứng) Vì \(M\) lấy tùy ý nên kết luận trên đúng với mọi điểm thuộc \(d.\) Trường hợp 2: Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB.\) Ta có \(M \in d.\) Lại có \(M \in AB\) nên \(M\) là giao của \(d\) và \(AB.\) \(\Rightarrow M \equiv I.\) Do đó \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\) nên \(MA=MB.\) Nghĩa là, mọi điểm thuộc \(d\) thì cách đều hai mút \(A,\ B.\ \square\) Ví dụ 2: Mọi điểm thuộc đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) thì cách đều hai mút \(A,\ B.\) Các đoạn thẳng cùng màu thì bằng nhau. Định lí đảo [edit]Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Để chứng minh định lí trên, ta xét bài toán sau: Cho đường thẳng \(d\) là trung trực của đoạn \(AB\) và điểm \(M\) mà \(MA=MB.\) Chứng minh \(M\) thuộc \(d.\) Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Điểm \(M \in AB.\) Theo đề bài, ta có: \(M \in AB\) mà \(MA=MB\) \(\Rightarrow M\) là trung điểm của đoạn \(AB.\) \(\Rightarrow M \in d\) Vậy \(M\) thuộc đường trung trực \(d.\) Trường hợp 2: \(M \notin AB\) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Khi đó \(IA=IB.\) Nối \(A\) với \(M\) và \(B\) với \(M.\) Theo giả thiết, ta có \(MA=MB.\) Xét \(\Delta MAI\) và \(\Delta MBI\) có: \(MA=MB\) \(MI\) là cạnh chung \(IA=IB\) Suy ra \(\Delta MAI=\Delta MBI\) (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (hai góc tương ứng) Lại có \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=180^{\circ}\) (hai góc kề bù) \(\Rightarrow 2.\widehat{I_1} =180^{\circ}\) \(\Leftrightarrow 2.\widehat{I_1} =\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}.\) Do đó \(MI \bot AB\) tại trung điểm \(I\) nên \(MI\) là đường trung trực của đoạn \(AB.\) Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một đường trung trực nên \(MI \equiv d\) hay \(M \in d.\ \square\) Vậy mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Nhận xét: Từ hai định lí trên, ta có nhận xét sau: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. |
