Muốn chứng minh 1 đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác ở 1 vế thành biểu thức lượng giác ở vế kia.
Để ý rằng 1 biểu thức lượng giác có thể biến đổi thành nhiều dạng khác nhau. Ví dụ:
\[{\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\] [CT LG cơ bản]
\[{\sin ^2}2x = \frac{1}{2}\left[ {1 - \cos 4x} \right]\] [CT hạ bậc]
\[{\sin ^2}2x = 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\] [CT nhân đôi]
Tùy theo mỗi bài toán, ta chọn CT thích hợp để biến đổi
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh
\[a.\;{\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b.\;{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \]
Hướng dẫn: Áp dụng CT LG cơ bản và HĐT \[{a^2} + {b^2} = {\left[ {a + b} \right]^2} - 2ab{\rm{ }}{a^3} + {b^3} = {\left[ {a + b} \right]^3} - 3ab\left[ {a + b} \right]\]
\[a.\;{\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = {\left[ {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right]^2} + {\left[ {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right]^2} = {\left[ {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right]^2} - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \]
\[ = 1 - \frac{1}{2}{\left[ {2\sin \alpha .\cos \alpha } \right]^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha \]
\[b.\;{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha = {\left[ {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right]^3} + {\left[ {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right]^3} = {\left[ {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right]^3} - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \left[ {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right]\]
\[ = 1 - 3si{n^2}\alpha .co{s^2}\alpha = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \]
Ví dụ 2: Chứng minh
\[a.\cos 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a + \sin 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \frac{3}{4}\sin 4a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b.\;\cos 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a + \sin 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a\]
Hướng dẫn: Áp dụng CT nhân ba – CT cộng \[4{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = 3\sin a - \sin 3a\;\;\;\;\;\;\;4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \cos 3a + 3\cos a\]
\[\begin{array}{l} a.\cos 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a + \sin 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \cos 3a\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4} + \sin 3a\frac{{\cos 3a + 3\cos a}}{4}\\ \= \frac{1}{4}\left[ {\cos 3a\left[ {3\sin a - \sin 3a} \right] + \sin 3a\left[ {\cos 3a + 3\cos a} \right]} \right]\\ \= \frac{1}{4}\left[ {3\sin a.\cos 3a - \cos 3a.\sin 3a + \sin 3a.\cos 3a + 3.\cos a.\sin 3a} \right]\\ \= \frac{3}{4}\left[ {\sin a.\cos 3a + \cos a.\sin 3a} \right] = \frac{3}{4}\sin \left[ {a + 3a} \right] = \frac{3}{4}\sin 4a \end{array}\]
\[\begin{array}{l} b.\cos 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a + \sin 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = \frac{1}{4}\left[ {\cos 3a\left[ {\cos 3a + 3\cos a} \right] + \sin 3a\left[ {3\sin a - \sin 3a} \right]} \right]\\ \= \frac{1}{4}\left[ {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}3a + 3\cos 3a.\cos a + 3.\sin a.\sin 3a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}3a} \right]\\ \= \frac{1}{4}\left[ {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}3a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}3a + 3\left[ {\cos 3a.\cos a + \sin a.\sin 3a} \right]} \right]\\ \= \frac{1}{4}\left[ {\cos 6a + 3\cos \left[ {3a - a} \right]} \right]\\ \= \frac{1}{4}\left[ {4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a - 3\cos 2a + 3\cos 2a} \right] = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a \end{array}\]
Ví dụ 3: Chứng minh
\[\begin{array}{l} a.\sin \left[ {a + b} \right].\sin \left[ {a - b} \right] = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b\;\\ b.\sin x.\sin \left[ {\frac{\pi }{3} - x} \right].\sin \left[ {\frac{\pi }{3} + x} \right] = \frac{1}{4}\sin 3x\\ c.\tan x.\tan \left[ {\frac{\pi }{3} - x} \right].\tan \left[ {\frac{\pi }{3} + x} \right] = \tan 3x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{array}\]
Hướng dẫn: Áp dụng CT biến đổi tích thành tổng
\[a.\sin \left[ {a + b} \right].\sin \left[ {a - b} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2b - \cos 2a} \right] = \frac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}b - 1 - \left[ {2{{\cos }^2}a - 1} \right]} \right] = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a\]
\[\begin{array}{l} b.\sin x.\sin \left[ {\frac{\pi }{3} - x} \right].\sin \left[ {\frac{\pi }{3} + x} \right] = \frac{1}{2}\sin x\left[ {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right] = \frac{1}{2}\sin x.\cos 2x - \frac{1}{4}\sin x\\ \= \frac{1}{4}\left[ {\sin 3x - \sin x} \right] - \frac{1}{4}\sin x = \frac{1}{4}\sin 3x \end{array}\]
\[\begin{array}{l} c.\tan x.\tan \left[ {\frac{\pi }{3} - x} \right].\tan \left[ {\frac{\pi }{3} + x} \right] = \tan x.\frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}.\tan x}}.\frac{{\tan \frac{\pi }{3} + \tan x}}{{1 - \tan \frac{\pi }{3}.\tan x}}\\ \= \tan x.\frac{{\sqrt 3 - \tan x}}{{1 + \sqrt 3 \tan x}}.\frac{{\sqrt 3 + \tan x}}{{1 - \sqrt 3 \tan x}}\\ \= \tan x.\frac{{3 - {{\tan }^2}x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}} = \tan 3x \end{array}\]
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác
1. Phương pháp
Muốn rút gọn 1 biểu thức lượng giác, ta dung các CTLG để biến đổi biểu thức đã cho.
Muốn tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác, ta tìm cách rút gọn biểu thức này. Ngoài việc dùng các CTLG, nên xem xét biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó chọn cách giải thích hợp.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau
\[\begin{array}{l} a.A = \;\sin \left[ {2x + \frac{\pi }{3}} \right].\cos \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right] - \cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right].\cos \left[ {2x + \frac{\pi }{3}} \right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ b.\;B = \cos x + \cos \left[ {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right] + \cos \left[ {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right] \end{array}\]
Hướng dẫn: Áp dụng CT cung phụ - CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng
- Ta có \[\;\frac{{2\pi }}{3} - x = \frac{\pi }{2} - \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right] \Rightarrow \cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right] = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right]} \right] = \sin \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right]\]
\[\begin{array}{l} A = \;\sin \left[ {2x + \frac{\pi }{3}} \right].\cos \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right] - \cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right].\cos \left[ {2x + \frac{\pi }{3}} \right]\\ \= \sin \left[ {2x + \frac{\pi }{3}} \right].\cos \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right] - \sin \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right].\cos \left[ {2x + \frac{\pi }{3}} \right]\\ \= \sin \left[ {\left[ {2x + \frac{\pi }{3}} \right] - \left[ {x - \frac{\pi }{6}} \right]} \right] = \sin \left[ {x + \frac{\pi }{2}} \right] = \cos x \end{array}\]
\[\begin{array}{l}
- B = \cos x + \cos \left[ {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right] + \cos \left[ {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right]\\ \= \cos x + \left[ {\cos \left[ {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right] + \cos \left[ {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right]} \right]\\ \= \cos x + 2\cos x.\cos \frac{{2\pi }}{3} = \cos x + 2\cos x.\left[ { - \frac{1}{2}} \right]\\ \= \cos x - \cos x = 0 \end{array}\]
Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ vào:
\[\begin{array}{l} a.\;A = 3\left[ {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right] - 2\left[ {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right]\\ b.\;B = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left[ {x + a} \right] - 2\cos a.\cos x.\cos \left[ {x + a} \right]\\ c.\;C = {\cos ^2}x + {\sin ^2}\left[ {x + a} \right] - 2\sin a.\cos x.\sin \left[ {x + a} \right] \end{array}\]
Hướng dẫn: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng và HĐT
\[\begin{array}{l} a.\;A = 3\left[ {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right] - 2\left[ {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right]\\ \= 3{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x - 2\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]\left[ {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right]\\ \= 3{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x - 2{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - 2{\cos ^4}x\\ \= {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\cos ^4}x\\ \= {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} = 1,\;\forall x \end{array}\]
Vậy A không phụ thuộc vào x
\[\begin{array}{l} b.\;B = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left[ {x + a} \right] - \cos a.\left[ {2\cos x.\cos \left[ {x + a} \right]} \right]\\ \= \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos 2x} \right] + \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left[ {2x + 2a} \right]} \right] - \cos a\left[ {\cos \left[ {2x + a} \right] + \cos a} \right]\\ \= 1 + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \left[ {2x + 2a} \right]} \right] - \cos a.\cos \left[ {2x + a} \right] - {\cos ^2}a\\ \= 1 + \cos a.\cos \left[ {2x + a} \right] - \cos a.\cos \left[ {2x + a} \right] - {\cos ^2}a\\ \= 1 - {\cos ^2}a = {\sin ^2}a,\;\forall x \end{array}\]
Vậy B không phụ thuộc vào x
\[\begin{array}{l} c.\;C = {\cos ^2}x + {\sin ^2}\left[ {x + a} \right] - 2\sin a.\cos x.\sin \left[ {x + a} \right]\\ \= 1 + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x - \cos \left[ {2x + 2a} \right]} \right] - \sin a\left[ {\sin \left[ {2x + a} \right] + \sin a} \right]\\ \= 1 - \sin \left[ {2x + a} \right].\sin \left[ { - a} \right] - \sin \left[ {2x + a} \right].\sin a - {\sin ^2}a\\ \= 1 - {\sin ^2}a = {\cos ^2}a,\;\forall x \end{array}\]
Vậy C không phụ thuộc vào x
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
\[\begin{array}{l} a.A = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\sin 70^\circ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ b.\;B = \sin 20^\circ .\sin 40^\circ .\sin 80^\circ \\ c.C = \cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9}\; \end{array}\]
Hướng dẫn: Áp dụng CT phụ - CT tổng thành tích–tích thành tổng
\[\begin{array}{l} a.A = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\sin 70^\circ = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\cos 20^\circ = \frac{{1 - 4\cos 20^\circ .\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }}\\ \= \frac{{1 - 2\left[ {\cos 30^\circ - \sin 10^\circ } \right]}}{{\sin 10^\circ }} = \frac{{2\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} = 2 \end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} b.\;B = \sin {20^\circ }.\sin {40^\circ }.\sin {80^\circ }\\ \= \frac{1}{2}\sin {20^\circ }\left[ {\cos {{40}\circ } - \cos {{120}\circ }} \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin {20^\circ }.\cos {40^\circ } + \frac{1}{4}\sin {20^\circ } \end{array}\\ \begin{array}{l} \= \frac{1}{4}\left[ {\sin {{60}^\circ } - \sin {{20}\circ }} \right] + \frac{1}{4}\sin {20\circ }\\ \= \frac{1}{4}\sin {60^^\circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{8} \end{array} \end{array}\]
\[c.C = \cos \frac{\pi }{9} + \left[ {\cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9}} \right] = \cos \frac{\pi }{9} + 2\cos \frac{{6\pi }}{9}.\cos \frac{\pi }{9} = \cos \frac{\pi }{9} - \cos \frac{\pi }{9} = 0\]