Bài 26 trang 59 sbt hình học 12 nâng cao

LG 1

Chứng minh rằng có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

Lời giải chi tiết:

Vì hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ đứng nên chỉ cần chứng minh đáyABCDcó đường tròn nội tiếp.

GọiIvàJlần lượt là trung điểm củaABvàCDthì \({\rm{IJ}} \bot AB,IJ \bot CD.\) GọiOlà trung điểm củaIJthì \(OI = {\rm{OJ}} = {{{\rm{IJ}}} \over 2}.\) Kẻ \(BH \bot CD.\)

Ta có \({\rm{IJ}} = BH = \sqrt {B{C^2} - H{C^2}} \)

\( = \sqrt {{{25{a^2}} \over 4} - {{\left( {2a - {a \over 2}} \right)}^2}} = 2a.\)

Vậy OI = OJ = a.

Mặt khác \(O{B^2} = O{I^2} + I{B^2}\)

\(\eqalign{ & \;\;\;\;\;\;\;\; = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}, \cr & O{C^2} = {\rm{O}}{{\rm{J}}^2} + J{C^2} \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;= {a^2} + 4{a^2} = 5{a^2}, \cr} \)

từ đó ta có \(B{C^2} = O{B^2} + O{C^2}.\)

Kẻ đường caoOKcủa tam giác vuôngOBCthìOK.BC = OB.OC, suy ra

\(OK = {{{{a\sqrt 5 } \over 2}.a\sqrt 5 } \over {{{5a} \over 2}}} = a.\)

VậyOlà tâm đường tròn nội tiếp hình thang cânABCD.

Vậy hình trụ có trụcOO(O, Olà tâm hai đường tròn đáy) và bán kính đáy bằngachính là hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

LG 2

Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết:

Diện tích toàn phần của hình trụ đó là

\(S = 2\pi {a^2} + 2\pi ah = 2\pi a(a + h)\)

Và thể tích hình trụ đó là

\(V = \pi {a^2}h.\)

Chú ý. Có thể giải thíchABCDcó đường tròn nội tiếp bởi điều kiện

AB + CD = BC + AD.