Bài tập chứng minh bất đẳng thức tương đương
Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương là chúng ta sử dụng định nghĩa và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Show Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức (BĐT) A ≥ B ta có thể sử dụng các cách sau:
Ví dụ minh họa Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương1. Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.Ví dụ 1: Cho hai số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau:
Lời giải
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là “bổ đề” trong chứng minh các bất đẳng thức khác. Ví dụ 2: Cho năm số thực $a,b,c,d,e$. Chứng minh rằng $${{a}{2}}+{{b}{2}}+{{c}{2}}+{{d}{2}}+{{e}^{2}}\ge a(b+c+d+e)$$. Lời giải. Ta có: ${{a}{2}}+{{b}{2}}+{{c}{2}}+{{d}{2}}+{{e}{2}}-a(b+c+d+e)=$ $=(\frac{{{a}{2}}}{4}-ab+{{b}{2}})+(\frac{{{a}{2}}}{4}-ac+{{c}{2}})+(\frac{{{a}{2}}}{4}-ad+{{d}{2}})+(\frac{{{a}{2}}}{4}-ae+{{e}{2}})$ $={{(\frac{a}{2}-b)}{2}}+{{(\frac{a}{2}-c)}{2}}+{{(\frac{a}{2}-d)}{2}}+{{(\frac{a}{2}-e)}^{2}}\ge 0\Rightarrow $ đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=c=d=e=\frac{a}{2}$. Ví dụ 3: Cho $ab\ge 1$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{{a}{2}}+1}+\frac{1}{{{b}{2}}+1}\ge \frac{2}{1+ab}$$ Lời giải. Ta có $\frac{1}{{{a}{2}}+1}+\frac{1}{{{b}{2}}+1}-\frac{2}{1+ab}=(\frac{1}{{{a}{2}}+1}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{{{b}{2}}+1}-\frac{2}{1+ab})$ $=\frac{ab-{{a}{2}}}{({{a}{2}}+1)(1+ab)}+\frac{ab-{{b}{2}}}{({{b}{2}}+1)(1+ab)}=\frac{a-b}{1+ab}(\frac{b}{1+{{b}{2}}}-\frac{a}{1+{{a}{2}}})=\frac{a-b}{1+ab}.\frac{b-a+{{a}{2}}b-{{b}{2}}a}{(1+{{b}{2}})(1+{{a}{2}})}$$=\frac{a-b}{1+ab}\frac{(a-b)(ab-1)}{(1+{{b}{2}})(1+{{a}{2}})}=\frac{{{(a-b)}{2}}(ab-1)}{(1+ab)(1+{{b}{2}})(1+{{a}^{2}})}\ge 0$ (Do $ab\ge 1)$. Nhận xét: Nếu $-1{2}}+1}+\frac{1}{{{b}{2}}+1}\le \frac{2}{1+ab}$. Ví dụ 4: Cho số thực $x$. Chứng minh rằng
Lời giải
Ví dụ 5: Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ví dụ 6: Cho hai số thực $x,\,\,y$ thỏa mãn $x\ge y$. Chứng minh rằng:
Lời giải
2. Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh.Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt. Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng:
Ví dụ 7: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: $${{a}{2}}+{{b}{2}}+{{c}^{2}}<2(ab+bc+ca)$$ Lời giải. Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:$$a+b>c\Rightarrow ac+bc>{{c}{2}}$$ Tương tự $$bc+ba>{{b}{2}}$$ $$ca+cb>{{c}^{2}}$$ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm. Nhận xét: Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT $|a-b| Ví dụ 8: Cho $a,b,c\in [0;1]$. Chứng minh: $${{a}{2}}+{{b}{2}}+{{c}{2}}\le 1+{{a}{2}}b+{{b}{2}}c+{{c}{2}}a$$ Lời giải. Cách 1: Vì $a,b,c\in [0;1]\Rightarrow (1-{{a}{2}})(1-{{b}{2}})(1-{{c}{2}})\ge 0$ $\Leftrightarrow 1+{{a}{2}}{{b}{2}}+{{b}{2}}{{c}{2}}+{{c}{2}}{{a}{2}}-{{a}{2}}{{b}{2}}{{c}{2}}\ge {{a}{2}}+{{b}{2}}+{{c}{2}}$ (*) Ta có: ${{a}{2}}{{b}{2}}{{c}{2}}\ge 0;\text{ }{{a}{2}}{{b}{2}}+{{b}{2}}{{c}{2}}+{{c}{2}}{{a}{2}}\le {{a}{2}}b+{{b}{2}}c+{{c}{2}}a$ nên từ (*) ta suy ra ${{a}{\text{2}}}+{{b}{2}}+{{c}{2}}\le 1+{{a}{2}}{{b}{2}}+{{b}{2}}{{c}{2}}+{{c}{2}}{{a}{2}}\le 1+{{a}{2}}b+{{b}{2}}c+{{c}^{2}}a$ đpcm. Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với ${{\text{a}}{\text{2}}}\left( 1-b \right)+{{b}{2}}\left( 1-c \right)+{{c}{2}}\left( 1-a \right)\le 1$ Mà $a,b,c\in \left[ 0;1 \right]$ $\Rightarrow {{a}{2}}\le a,{{b}{2}}\le b,{{c}{2}}\le c$ do đó ${{a}{2}}\left( 1-b \right)+{{b}{2}}\left( 1-c \right)+{{c}^{2}}\left( 1-a \right)\le a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)$ Ta chỉ cần chứng minh $a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1$ Thật vậy: vì $a,b,c\in \left[ 0;1 \right]$ nên theo nhận xét $\left( ** \right)$ ta có $abc+\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)\left( 1-c \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow $$a+b+c-\left( ab+bc+ca \right)\le 1$ $\Leftrightarrow $$a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1$ vậy BĐT ban đầu được chứng minh. Ví dụ 9: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: ${{a}{\text{2}}}+{{b}{2}}+{{c}{2}}=1$. Chứng minh: $$2(1+a+b+c+ab+bc+ca)+abc\ge 0$$ Lời giải. Vì ${{a}{\text{2}}}+{{b}{2}}+{{c}{2}}=1\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]$ nên ta có:$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge 0$$ Mặt khác: $$\frac{{{(1+a+b+c)}^{2}}}{2}\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\ge 0$$ Cộng hai bất đẳng thức trên ta có đpcm. Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu $a\ge 4,b\ge 5,c\ge 6$ và ${{a}{2}}+{{b}{2}}+{{c}^{2}}=90$ thì $a+b+c\ge 16$. |