Tài liệu gồm 53 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Hình học 11 chương 3.
- KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P ta chứng minh: + d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong P. + d song song với đường thẳng a mà a vuông góc với P. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. + Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt phẳng chứa đường thẳng b sao cho việc chứng minh a dễ thực hiện. + Sử dụng định lý ba đường vuông góc. Dạng 3: Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. + Loại 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy. + Loại 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao + Loại 3: Góc giữa đường cao và mặt bên. + Loại 4: Góc giữa cạnh bên và mặt bên [dạng toán nâng cao]. Dạng 4: Thiết diện vuông góc với một đường thẳng cho trước. Giả sử thiết diện là một phần của mặt phẳng P và P d. Khi đó ta tìm mặt trung gian dễ thấy và d // P và quy về thiết diện có yếu tố song song đã biết.
- Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
+ Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta cần chứng minh = 0
Ví dụ: Cho đường thẳng d1: 2x - y + 3 = 0 và đường thẳng d2: x + 2y - 3 = 0. Hỏi hai đường thẳng d1 và d2 có phải là hai đường thẳng vuông góc không? Tại sao?
Giải
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương = [1; 2].
+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương = [2; - 1].
+ Ta có: = 1.2 + 2.[- 1] = 0.
Vậy, hai đường thẳng d1 và d2 là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
2.2. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc thông qua yếu tố vuông góc với mặt phẳng
+ Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta cần chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng [P] mà đường thẳng b lại chứa trong mặt phẳng [P].
+ Nhắc lại về cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng [P] ta cần chứng minh đường thẳng a lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng [P].
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Chứng minh AB vuông góc với SD.
Giải
+ Theo đề bài, SA [ABCD] suy ra SA AB [ABCD] [1]
+ Lại có: AB AD [do ABCD là hình chữ nhật] [2]
Trong đó: SA, AD [SAD] và SA AD = {A} [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra AB [SAD]
Mà SD [SAD] nên AB SD [đpcm]
2.3. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc dựa vào định lí 3 đường vuông góc
* Lý thuyết:
- Cho đường thẳng m không vuông góc với mặt phẳng [Q].
- Đường thẳng n nằm trong mặt phẳng [Q].
- Gọi m' là hình chiếu của đường thẳng m trên mặt phẳng [Q].
- Để chứng minh đường thẳng m vuông góc với đường thẳng n ta cần chứng minh đường thẳng m' vuông góc với đường thẳng n.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SA [ABCD]. Chứng minh SC vuông góc với BD.
Giải
+ Theo đề bài, SA [ABCD] nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng [ABCD].
Vì C là một điểm nằm trên mặt phẳng [ABCD] nên hình chiếu của C trên mặt phẳng [ABCD] là điểm C.
Do đó, hình chiếu của SC trên mặt phẳng [ABCD] là AC.
+ Ta có: AC BD [tính chất hai đường chéo trong hình thoi ABCD].
Suy ra: SC BD [đpcm]
3. Bài tập chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
3.1. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BC vuông góc với SM thông qua cách chứng minh vuông góc với mặt phẳng.
ĐÁP ÁN
+ Tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC nên AM ngoài là đường trung tuyến còn đóng vai trò là đường cao trong tam giác ABC.
Do đó, AM BC [1]
+ Theo đề bài, SA [ABC] nên SA BC [ABC] [2]
+ Mà SA AM = {A} và SA, AM [SAM] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra BC [SAM]
Do đó, BC SM [SAM] [đpcm]
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BC vuông góc với SM thông qua việc sử dụng định lí 3 đường vuông góc.
ĐÁP ÁN
+ Vì SA [ABC] nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng [ABC].
+ M [ABC] nên hình chiếu của M trên mặt phẳng [ABC] là M.
Suy ra AM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng [ABC].
Lại có, AM BC [do tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao]
Vậy, BC SM.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 3: Trong các cặp đường thẳng sau đây, đâu là hai đường thẳng vuông góc?
- d1: x - 2y + 4 = 0 và d2: 2x + y - 1 = 0.
- d1: 2x + y + 1 = 0 và d2: x + 2y - 5 = 0.
- d1: 3x - 4y - 7 = 0 và d2: 3x + 4y + 1 = 0.
- d1: x + y + 1 = 0 và d2: 2x - y - 1 = 0. ĐÁP ÁN
+ Ở câu A, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = [2; 1].
d2 có vecto chỉ phương là = [1; - 2].
Trong đó, = 2.1 + 1.[- 2] = 0.
Do đó, d1 và d2 là hai đường thẳng vuông góc.
+ Ở câu B, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = [1; - 2].
d2 có vecto chỉ phương là = [2; - 1].
Trong đó, = 1.2 + [- 2].[- 1] = 4 0.
Do đó, d1 và d2 không phải là hai đường thẳng vuông góc.
+ Ở câu C, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = [4; 3].
d2 có vecto chỉ phương là = [4; - 3].
Trong đó, = 4.4 + 3.[- 3] = 7 0.
Do đó, d1 và d2 không phải là hai đường thẳng vuông góc.
+ Ở câu D, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = [1; - 1].
d2 có vecto chỉ phương là = [1; 2]
Trong đó, = 1.1 + [- 1].2 = - 1 0.
Do đó, d1 và d2 không phải là hai đường thẳng vuông góc.
Chọn câu A
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 1 mặt là tam giác vuông
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 2 mặt là tam giác vuông
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 3 mặt là tam giác vuông
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 4 mặt là tam giác vuông ĐÁP ÁN
+ Tam giác SAD là tam giác vuông do SA AD.
+ Tam giác SAB là tam giác vuông do SA AB.
+ Tam giác SBC là tam giác vuông do: BC AB, BC SA suy ra BC [SAB] do đó BC SB [SAB].
+ Tam giác SDC là tam giác vuông do: CD AD, CD SA suy ra CD [SAD] do đó CD SD [SAD].
Chọn câu D
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:
- AB và AC là hai đường thẳng vuông góc
- AB và SA là hai đường thẳng vuông góc
- AB và SB là hai đường thẳng vuông góc
- AB và SC là hai đường thẳng vuông góc ĐÁP ÁN
+ Câu A đúng vì tam giác ABC vuông tại A nên AB và AC là hai đường thẳng vuông góc.
+ Câu B đúng vì SA [ABC] nên SA AB [ABC].
+ Câu D đúng vì AB AC và AB SA nên AB [SAC] suy ra AB SC [SAC].
Chọn câu C
Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm được cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc. Đồng thời vận dụng giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa.
Làm sao để chứng minh hai cạnh vuông góc?
Nếu tổng bình phương hai cạnh trong một tam giác bằng bình phương cạnh còn lại thì hai cạnh đó vuông góc với nhau.nullChứng Minh 2 Đường Thẳng Vuông Góc Lớp 7: Bí Quyết Thành Côngrdsic.edu.vn › blog › toan › phuong-phap-chung-minh-2-duong-thang-vu...null
2 cạnh vuông góc với nhau khi nào?
Sử dụng định nghĩa góc của 2 đường thẳng trong không gian: Hai đường thẳng a và b được gọi vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90º.7 thg 12, 2023nullLý Thuyết Hai Đường Thẳng Vuông Góc Và Bài Tập Vận Dụngvuihoc.vn › Tin tứcnull
Thế nào là hai đường thẳng vuông góc trong không gian?
Định nghĩa của hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng trong không gian được gọi là vuông góc khi chúng tạo thành một góc vuông với nhau. Để hai đường thẳng và được coi là vuông góc, cần thỏa mãn hai điều kiện: Không song song: Đường thẳng và không được phép song song với nhau.nullHai đường thẳng vuông góc trong không gian: Tìm hiểu khái niệm và ...rdsic.edu.vn › blog › toan › bi-quyet-nhan-biet-hai-duong-thang-vuong-g...null
Thế nào là chân đường vuông góc?
Chân đường vuông góc - hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng. Từ chân thường được sử dụng thường xuyên đi kèm với khái niệm vuông góc.nullVuông góc – Wikipedia tiếng Việtvi.wikipedia.org › wiki › Vuông_gócnull