Bài tập cung liên kết inh gia ri luong giac năm 2024
|
Tài liệu gồm 73 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Bá Bảo, bao gồm lý thuyết và bài tập chủ đề giá trị lượng giác và công thức lượng giác môn Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống, có đáp án và lời giải chi tiết. Chủ đề 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.
Chủ đề 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Ta có các công thức: \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\) \(\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1;\) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\) Vậy chỉ có đáp án A sai. Chọn A. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 2 : Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản. Lời giải chi tiết: +) Đáp án A: đúng +) Đáp án B: sai, công thức đúng: \({\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\) +) Đáp án C: sai, công thức đúng: \(\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\) +) Đáp án D: sai, công thức đúng: \(\cot \alpha = \tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\) Chọn A Đáp án - Lời giải Câu hỏi 3 : Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần. Câu 1: \(\cos {\rm{ }}{44^o},{\rm{ sin }}{50^o},{\rm{ sin }}{70^o},{\rm{ cos }}{55^o}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng \(0 < \alpha < \beta < {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < \sin \beta \\cos\alpha > cos\beta \end{array} \right..\) Ta có: \(\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \(\cos {\rm{ }}{44^o},{\rm{ sin }}{50^o},{\rm{ sin }}{70^o},{\rm{ cos }}{55^o}\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {\rm{ }}{44^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{46}^0}} \right) = {\rm{sin 4}}{{\rm{6}}^0}\\\cos {\rm{ 5}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{35}^0}} \right) = {\rm{sin 3}}{{\rm{5}}^0}\end{array} \right.\) Vì \({35^0} < {46^0} < {50^0} < {70^0}\)\( \Rightarrow {\rm{sin 3}}{5^o} < \sin {\rm{ }}{46^o} < {\rm{sin }}{50^o} < {\rm{sin }}{70^o}\) \( \Rightarrow {\rm{cos }}{55^o} < \cos {\rm{ }}{44^o} < {\rm{sin }}{50^o} < {\rm{sin }}{70^o}.\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu 2: \({\rm{sin }}{49^o},{\rm{ cos }}{15^o},{\rm{ sin }}{65^o},{\rm{ cos }}{50^o},{\rm{ }}\cos {\rm{ }}{42^o}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng \(0 < \alpha < \beta < {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < \sin \beta \\cos\alpha > cos\beta \end{array} \right..\) Ta có: \(\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \({\rm{sin }}{49^o},{\rm{ cos }}{15^o},{\rm{ sin }}{65^o},{\rm{ cos }}{50^o},{\rm{ }}\cos {\rm{ }}{42^o}\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}sin{\rm{ }}{49^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{41}^0}} \right) = {\rm{sin 4}}{{\rm{1}}^0}\\sin{\rm{ 6}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{25}^0}} \right) = {\rm{sin 2}}{{\rm{5}}^0}\end{array} \right.\) Vì \({15^0} < {25^0} < {41^0} < {42^0} < {50^0}\)\( \Rightarrow \cos {\rm{ }}{50^o} < \cos {\rm{ }}{42^o}{\rm{ < }}\cos {\rm{ 4}}{{\rm{1}}^o}{\rm{ < }}\cos {\rm{ 2}}{{\rm{5}}^o} < \cos {15^0}\) \( \Rightarrow {\rm{cos }}{50^0} < \cos {\rm{ }}{42^0} < {\rm{sin }}{49^0} < {\rm{sin }}{65^0}{\rm{ < cos }}{15^0}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 4 : Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \(\alpha \) với \(0 < \alpha < {90^0}\) biết: Câu 1: \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(0 < \alpha < {90^0}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha > 0\\\tan \alpha > 0\\\cot \alpha > 0\end{array} \right..\) \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) *\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) *\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) *\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu 2: \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(0 < \alpha < {90^0}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha > 0\\\tan \alpha > 0\\\cot \alpha > 0\end{array} \right..\) \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\) * \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)\( \Leftrightarrow \cot \alpha = 1:tan\alpha = 1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) * \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{25}}{9}\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{9}{{25}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}\) *\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 5 : Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \(\alpha \) biết: Câu 1: \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\) Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}\) Lại có: \({\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{{169}}{{144}} - 1 = \frac{{25}}{{144}}\) \( \Rightarrow \tan \alpha = \pm \frac{5}{{12}}\) \( \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \pm \frac{{12}}{5}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu 2: \(\tan \alpha = \frac{{12}}{{35}}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \(\tan \alpha = \frac{{12}}{{35}}\) Ta có: \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)\( \Leftrightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{12}}{{35}} = \frac{{35}}{{12}}\) Lại có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{{12}}{{35}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{1369}}{{1225}}\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{1225}}{{1369}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{35}}{{37}}\) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{35}}{{37}}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{{1225}}{{1369}} = \frac{{144}}{{1369}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{12}}{{37}}\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 6 : Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \(\alpha \) biết: Câu 1: \({\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{4}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \({\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{4}\) *\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{4}{5}\) *\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \pm \frac{4}{5}:\frac{3}{4} = \pm \frac{{16}}{{15}}\) *\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\left( { \pm \frac{{16}}{{15}}} \right) = \pm \frac{{15}}{{16}}\) Chọn A. Đáp án - Lời giải Câu 2: \(cot\alpha = \frac{8}{{15}}\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(cot\alpha = \frac{8}{{15}}\) * \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1 \Leftrightarrow tan\alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{\frac{8}{{15}}}} = \frac{{15}}{8}\) * \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{8}{{15}}} \right)^2} = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{si{n^2}\alpha }} = \frac{{289}}{{225}}\)\( \Rightarrow si{n^2}\alpha = \frac{{225}}{{289}}\)\( \Rightarrow sin\alpha = \pm \frac{{15}}{{17}}\) *\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{15}}{{17}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{{225}}{{289}} = \frac{{64}}{{289}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{8}{{17}}\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 7 : Giá trị của biểu thức \(P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\) bằng
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức: \(\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\;\;{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\\ = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\sin ^2}{40^0} + {\sin ^2}{20^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{20}^0} + {{\sin }^2}{{20}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{40}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 8 : Tính giá trị của các biểu thức sau: Câu 1: \(A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng các công thức đặc biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\,\,A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\) Ta có: \(\begin{array}{l}A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{15^0}\\\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{25}^0} + {{\cos }^2}25} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right) + {\sin ^2}{45^0}\\\,\,\,\, = 1 + 1 + 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.\end{array}\) Đáp án - Lời giải Câu 2: \(B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng các công thức đặc biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\,\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\) Ta có: \(\begin{array}{l}\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}\\\,\,\,\,\, = \tan {10^0}.cot{10^0} - \tan {20^0}.\cot {20^0}\\\,\,\,\,\, = 1 - 1 = 0.\end{array}\) Đáp án - Lời giải Câu hỏi 9 : Biết \({0^0} < \alpha < {90^0}\). Giá trị bủa biểu thức \(\left[ {\sin \alpha + 3\,\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha - 2\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]\) bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng tính chất: \(\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\,\,\,\,\cos \alpha = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right).\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\left[ {\sin \alpha + 3\,\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha - 2\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right] = \left( {\sin \alpha + 3\sin \alpha } \right):\left( {\sin \alpha - 2\sin \alpha } \right)\\ = \left( {4\sin \alpha } \right):\left( { - \sin \alpha } \right) = - 4.\end{array}\) Chọn A Đáp án - Lời giải Câu hỏi 10 : Tính số đo góc nhọn \(\alpha \) biết \(10{\sin ^2}\alpha + 6{\cos ^2}\alpha = 8\).
Đáp án: B Phương pháp giải: - Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\forall \alpha \). - Tính \(\sin \alpha \), từ đo suy ra số đo góc \(\alpha \). Lời giải chi tiết: Ta có: \(10{\sin ^2}\alpha + 6{\cos ^2}\alpha = 8\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha + 6\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha + 6 = 8\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\) \(Do\,\,\alpha < {90^0} \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Vậy \(\alpha = {45^0}.\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 11 : Hãy đơn giản các biểu thức: Câu 1: \(1 - {\sin ^2}x\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(1 - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\) Chọn A. Đáp án - Lời giải Câu 2: \(\sin x - \sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\sin x - \sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)\( = \sin x\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)\)\( = \sin x.{\sin ^2}x = {\sin ^3}x\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu 3: \({\tan ^2}x - {\sin ^2}x.{\tan ^2}x\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \({\tan ^2}x - {\sin ^2}x.{\tan ^2}x\)\( = {\tan ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{co{s^2}x}}.co{s^2}x = {\sin ^2}x\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 12 : Cho biểu thức \(A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\alpha \ne {45^0}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\) Sử dụng hằng đẳng thức. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)}^2}}}{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}}\\ = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Theo ý a ta có: \(A = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 1}}\) Thay \(\tan \alpha = \frac{1}{3}\) vào A ta được: \(A = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{3} - 1}}{{\frac{1}{3} + 1}} = - \frac{1}{2}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 13 : Tính giá trị của các biểu thức: Câu 1: \(A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng các công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\)\(\,\tan \alpha .cot\alpha = 1.\) Cho \(\angle B + \angle C = {90^0}.\) Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C\\\cos B = \sin C\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\) \(A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\)\( = \frac{{\sin {{49}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.cot{28^0}\)\( = 1 + 1 = 2.\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu 2: \(B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng các công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\)\(\,\tan \alpha .cot\alpha = 1.\) Cho \(\angle B + \angle C = {90^0}.\) Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C\\\cos B = \sin C\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\) \(\begin{array}{l}B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\\ = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + si{n^2}{20^0} + si{n^2}{10^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{20}^0} + si{n^2}{{20}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{10}^0} + si{n^2}{{10}^0}} \right)\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 14 : Tính giá trị của các biểu thức: Câu 1: \(C = {(3\sin \alpha + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn. Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(C = {(3\sin \alpha + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}\) \(\begin{array}{l}C = {\left( {3\sin \alpha + 4\cos \alpha } \right)^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}\\ = 9{\sin ^2}\alpha + 24\sin \alpha \cos \alpha + 16{\cos ^2}\alpha + 16{\sin ^2}\alpha - 24\sin \alpha \cos \alpha + 9{\cos ^2}\alpha \\ = 25{\sin ^2}\alpha + 25{\cos ^2}\alpha \\ = 25\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 25.\end{array}\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu 2: Cho biết \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn. Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3}}{{\frac{{27{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}\) Thay \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) vào biểu thức \(M\) ta có: \(M = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = - \frac{{89}}{{459}}.\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 15 : Tính giá trị biểu thức: Câu 1: \(M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau: \(\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\) Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt. Lời giải chi tiết: \(M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\) \(\begin{array}{l}M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\\ = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\cos ^2}{44^o} + {\cos ^2}{43^o} + {\cos ^2}{42^o}\\ = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{42}^o} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{42}^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{43}^o}{\rm{ + co}}{{\rm{s}}^2}{{43}^o}} \right) + \left( {{\rm{ }}{{\sin }^2}{{44}^o} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{44}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = 1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\end{array}\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu 2: \(N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau: \(\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\) Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt. Lời giải chi tiết: \(N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\) \(\begin{array}{l}N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\\ = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\sin ^2}{35^o} - {\sin ^2}{25^o} + {\sin ^2}{15^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{15}^o} + si{n^2}{{15}^0}} \right) - \left( {{{\cos }^2}{{25}^o} + si{n^2}{{25}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{35}^o} + si{n^2}{{35}^0}} \right) - {\cos ^2}{45^o}\\ = 1 - 1 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\end{array}\) Chọn A. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 17 :
Đáp án: B Lời giải chi tiết: Đáp án - Lời giải Câu hỏi 19 :
Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\end{array} \right..\) Sử dụng hằng đẳng thức. Lời giải chi tiết:
\(VT = 1 + {\rm{ }}{\tan ^2}x\)\( = 1 + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = VP\)(đpcm)
\(VT = 1 + {\cot ^2}x{\rm{ }} = 1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) (đpcm)
\(\begin{array}{l}{\cos ^4}x--{\sin ^4}x = \left( {{{\cos }^2}x--{{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x{\rm{ + }}{{\sin }^2}x} \right)\\ = {\cos ^2}x--{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x{\rm{ }}} \right)\\ = 2{\cos ^2}x{\rm{ }} - 1\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\ = \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\ = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\) Đáp án - Lời giải Câu hỏi 20 : Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).
Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Sử dụng hằng đẳng thức. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\left( {\cos \alpha - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha + {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\\ = {\cos ^2}\alpha - 2{\rm{sin}}\alpha .\cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2{\rm{sin}}\alpha \cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \\ = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 2{\cos ^2}\alpha = 2\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 2.1 = 2.\end{array}\) Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).
\(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{{{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{ - 4\sin \alpha \cos \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = - 4.\end{array}\) |
