Bài tập giới hạn hàm số có lời giải năm 2024

Tài liệu gồm 140 trang trình bày các dạng toán trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4 – Giới hạn, với các chủ đề: giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục, sau mỗi phần đều có bài tập trắc nghiệm và tự luận giới hạn có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương.

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp: + Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un| < a với mọi n > na. + Để chứng minh lim un = 1 ta chứng minh lim[un – 1] = 0. + Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M với mọi n > nM. + Để chứng minh lim un = -∞ ta chứng minh lim [-un] = +∞. + Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. + Khi tìm lim f[n]/g[n] ta thường chia cả tử và mẫu cho n^k, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu. + Khi tìm lim [[f[n]]^1/k – [g[n]]^1/m] trong đó lim f[n] = lim g[n] = +∞ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp. 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số + Bài toán 01: Tìm lim f[x] khi x → x0 biết xác định tại x0 + Bài toán 02. Tìm lim f[x]/g[x] khi x → x0 trong đó f[x0] = g[x0] = 0 + Bài toán 03: Tìm lim f[x]/g[x] khi x → ±∞, trong đó f[x], g[x] → ∞, dạng này ta còn gọi là dạng vô định ∞/∞ + Bài toán 04: Dạng vô định: ∞ – ∞ và 0.∞ + Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác [ads] 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp: + Tìm giới hạn của hàm số y = f[x] khi x → x0 và tính f[x0] + Nếu tồn tại lim f[x] khi x → x0 thì ta so sánh với lim f[x] khi x → x0 với f[x0] Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập Phương pháp: Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó. Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp: + Để chứng minh phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f[a].f[b] < 0. + Để chứng minh phương trình f[x] = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau [ai; ai+1] [i = 1, 2, …, k] nằm trong D sao cho f[ai].f[ai+1] < 0.

  • Giới Hạn - Hàm Số Liên Tục

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Giới hạn của hàm số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết, các công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải chi tiết để từ đó ôn tập hiệu quả nhé!

1. Lý thuyết giới hạn của hàm số

1.1. Giới hạn của hàm số là gì?

Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định.

Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó.

Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f[x] tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.

Ký hiệu Toán học:

Ví dụ: do nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2.

1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm

Cho hàm số y = f[x] và khoảng K chứa điểm x0. Hàm f[x] xác định trên K hoặc K ∖ x0

Ta nói y = f[x] có giới hạn là L khi x tiến dần tới x0 nếu với dãy xn bất kì, ta có

Ký hiệu Toán học:

hay f[x] = L khi

1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

a, Cho y = f[x] xác định trên

Ta nói y = f[x] có giới hạn là L khi x tiến dần tới nếu với dãy bất kì, và ta có

Ký hiệu Toán học:

hay f[x] = L khi

b, Cho y = f[x] xác định trên

Ta nói y = f[x] có giới hạn là L khi x tiến dần tới nếu với dãy bất kì, và ta có

Ký hiệu Toán học:

hay f[x] = L khi

Nhận xét: Hàm số f[x] có giới hạn là khi và chỉ khi hàm số -f[x] có giới hạn là

1.4. Giới hạn của hàm số là lim

Giả sử f[x] là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức có nghĩa là f[x] sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Ta nói giới hạn của f[x] khi xđạt gần đến a là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f[a]\neq L$ và khi f[x] không xác định tại a.

Đăng ký ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia độc quyền của VUIHOC

2. Các định lý về giới hạn của hàm số

  • Định lý 1:

a, Giả sử và . Khi đó:

b, Nếu và thì: và

Dấu của hàm f[x] được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với

  • Định lý 2:

khi và chỉ khi

3. Một số giới hạn đặc biệt

a,

b,

c,

d, với c là hằng số

e, với k là số nguyên dương

f, nếu như k là số lẻ

g, nếu như k là số chẵn

4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ

4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa

Phương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính

Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:

a,

b,

c,

d,

Lời giải:

1. Với mọi dãy [xn]: limxn = 1 ta có:

Vậy

2. Với mọi dãy [xn]: limxn = 1 ta có:

3. Với mọi dãy [xn]: limxn = 0 ta có:

4. Với mọi dãy [xn]: xn > 1, n và limxn = 1 ta có:

4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

Hàm số 0/0 là hàm số có dạng với

Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f[x] có nghiệm , ta sẽ có Nếu hàm f[x] và g[x] là đa thức thì ta sẽ phân tích như sau:

Khi đó , ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0

Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây:

a,

b,

Lời giải:

a,

Ta có:

b,

Ta có:

4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng

Phương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a,

b,

Lời giải:

a,

b,

4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $\infty/\infty$ sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này

Ví dụ: Tìm giới hạn:

Lời giải:

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm ngay từ bây giờ

5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao [có lời giải]

Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn:

Lời giải:

Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:

  1. khi x tiến tới 0
  2. f[x] = cosx khi x tiến tới

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh khi x tiến tới 0 không có giới hạn

Lời giải:

Bài 4: Tìm giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 5: Tìm giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 6: Tìm giới hạn:

Lời giải:

Bài 7: Tìm giới hạn:

Lời giải:

Bài 8: Tính giới hạn:

Lời giải:

Bài 9: Tính:

Lời giải:

Bài 10: Tính

Lời giải:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã nắm được định nghĩa, các định lý, giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số thuộc chương trình Toán 11. Đừng quên truy cập Vuihoc.vn để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!

Chủ Đề