Bài 3 Hàm số liên tục. Giải bài 1, 2, 3 trang 140, 141 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số; Vẽ đồ thị của hàm số
Bài 1: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \[f[x] = x^3+ 2x – 1\] tại \[x_0= 3\].
Hàm số \[f[x] = x_3+ 2x – 1\] xác định trên \[\mathbb R\] và \[x_0= 3 ∈ \mathbb R\].
\[\underset{x\rightarrow 3}{lim} f[x] =\] \[\underset{x\rightarrow 3}{lim}[ x^3+ 2x – 1] = 3^3+ 2.3 – 1 = f[3]\]
nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \[x_0= 3\].
Bài 2: a] Xét tính liên tục của hàm số \[y = g[x]\] tại \[x_0= 2\], biết
\[g[x] = \left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-8}{x- 2}; &x\neq 2 \\ 5;& x=2 \end{matrix}\right.\].
b] Trong biểu thức xác định \[g[x]\] ở trên, cần thay số \[5\] bởi số nào để hàm số liên tục tại \[x_0= 2\].
a] Ta có \[\underset{x\rightarrow 2}{\lim} g[x] = \]\[\underset{x\rightarrow 2}{lim}\] \[\frac{x^{3}-8}{x-2}\] = \[\underset{x\rightarrow 2}{lim}[x^2+2x + 4] = 2^2+2.2 +4 = 12\].
Vì \[\underset{x\rightarrow 2}{\lim} g[x] ≠ g[2]\] nên hàm số \[y = g[x]\] gián đoạn tại \[x_0= 2\].
b] Để hàm số \[y = f[x]\] liên tục tại \[x_0= 2\] thì ta cần thay số \[5\] bởi số \[12\].
Bài 3: Cho hàm số \[f[x] = \left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x -1\]: \[f[x] = x^2- 1\] liên tục trên \[[-1; +∞]\] [vì đây là hàm đa thức].
+] Tại \[x = -1\];
Ta có
\[\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f[x] = \]\[\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} [3x + 2] = 3[-1] +2 = -1\].
\[\underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f[x] = \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} [x^2- 1] = [-1]^2- 1 = 0\].
Vì \[\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f[x] ≠ \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f[x]\] nên không tồn tại \[\underset{x\rightarrow -1}{lim} f[x]\]. Vậy hàm số gián đoạn tại \[x_0= -1\].
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT DIEM Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng K và x0 e K. Hàm số f[x] được gọi là liên tụcỉại Xo nếu lim f[x] = f[x0]. x-»x0 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng [a; b] và lim f[x] = f[a], lim f[x] = f[b]. MỘT só ĐỊNH LÍ cơ BẢN Định lí 1 Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỉ [thương của hai đa thức] và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lí2: Giả sử y = f[x] và y = g[x] là hai hàm sô' liên tục tại điểm x0. Khi đó: Các hàm số y = f[x] + g[x], y = f[x] - g[x] và y = f[x].g[x] cũng liên tục tại x0, f[x] „ Hàm so y - liên tục tại Xo nễu g[x0] * 0. Định lí 3: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a, b] và f[a].f[b] < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c £ [a; b] sao cho f[c] = 0. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dùng định nghĩa xét tinh liên tục của hàm số f[x] = X3 + 2x - 1 tại Xo = 3. Ốịiải Tập xác định: D = R f[3] = 33 + 2.3 - 1 = 32 liinf[x] = 32 = f[3] X—>3 Vậy hàm sô' y = f[x] liên tục tại Xo = 3. nếu nếu a] Xét tính liên tục của hàm số y = g[x] tại Xo = 2 X3 -8 x-2 g[x] = • b] Trong biểu thức xác định g[x] ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại Xo = 2? ốjiải X Cho hàm số f[x] = [x -1 nếu x>-1 Vẽ đồ thị của hàm sô' y = f[x]. Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định, của nó. Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh. -8 lim[x2 + 2x + 4] =12 X—»2 a] Tập xác định D = R g[2] = 5 limg[x] = lim x->2 x->2 X - 2 Ta có limg[x] * g[2] nên g[x] không liên tục tại Xo = 2. b] Thay 5 bởi 12 thì limg[x] = g[2]. X—>2 Khi đó g[x] liên tục tại Xo = 2. Í3x + 2 nếu X < -1 x-»2 Ốịlảí Tập xác định D = K Hàm sô' liên tục tại mọi X * -1 => f[x] liên tục trên các khoảng [-00; -1] và [-1; +00]. Hàm sô' gián đoạn tại X = -1. Ta có: f[-l] = 0 X "h 1 Cho các hàm số f[x] = —- và g[x] = tanx + sinx. X2 + X - 6 Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm sô’ liên tục. f[x] = có tập xác định D = \{—3; 21. tfiai xz + X-6 Hàm sô' y = fix] liên tục trên các khoảng [-00; -3]; [-3; 2] và [2; +00]. * g[x] = tanx + sinx có tập xác định D = K \1 + ktt, k e Z}. 2 Hàm sô' y = g[x] liên tục trên các khoảng 2 + k71’ 2 + với k e z. Ý kiến sau đúng hay sai? ‘‘Nếu hàm sô' y = f[x] liên tục trên tại điềm Xo còn hàm số y = g[x] không liên tục tại Xo, thì y = f[x] + g[x] là một hàm số không liên tục tại x0." ố^lắl Ý kiến đúng. Giả sử ngược lại y = fix] + g[x] liên tục tại x0. Vì y = f[x] là hàm sô' liên tục tại Xo nên hiệu [fix] + g[x]] - f[x] = g[x] là hàm sô' liên tục tại Xo, điều này trái với giả thiết. Vậy y = f[x] + g[x] là hàm sô' không liên tục tại x0. Ốjiải Xét hàm số f[x] = 2x3 - 6x + 1 liên tục trên R. Ta có f[-2] = -3; f[0] = 1; f[l] = -3 fl-2].f!0] < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc [-2; 0]. f[O].f[ 1] < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc [0; 1]. Vậy phương trình 2x3 - 6x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm. Xét hàm sô' f[x] = cosx - X liên tục trên R. Ta có f[O].f[ 77] = 4 - 77 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có nghiệm. 3 2 3 c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. a] Vẽ đồ thị hàm số y = 2. Xét tính liên tục của hàm số y = f[x] = b] f liên tục tại X = 0 không? 2x nếu 0 < X < 1 2-x nếu 1 < X < 2 •Hưởng 2ẫn: lim f[x] = 2; lim fix] = 1 => f gián đoạn tại X = 1. X->1+ x->r Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: íx2 -1 nếu X* 0 a] f[x] = _ z \ -2 nêu X = 0 Định a, b để hàm số sau liên tục trên R. b] f[x] = cosx f[x] = 1 nếu X < 3 ax + b nếu 3 5 •Hướng dẫn: Tại x0 = 3: lim fix] = lim f[x] = f[3] 3a + b = 1 [1] X—>3 X—>3 Tại Xo = 5: lim f[x] = lirii fix] = f[5] 5a + b = 3 [2] x*>5" x->5+ Từ [1] và [2] suy ra: a = 1; b = -2. 5. Chứng minh rằng phương trinh 2x3 - 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng [-2; 2]. •Hưởng dẫn: f[-2], fl-l] < 0; f[-l].f[l] < 0; fll].f[2] < 0. Chứng minh rằng phương trình: b] cosx = X có nghiệm. a] 2x3 - 6x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiêm;
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 135:
Cho hai hàm số f[x] = x2 và có
a] Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn [nếu có] của hàm số đó khi x → 1;
b] Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.
Lời giải:
g[1] = -12 + 1 = -1 + 1 = 0
b] Đồ thị hàm số f[x] liên tục tại x = 1
Đồ thị hàm số g[x] gián đoạn tại x = 1
Lời giải:
Cần thay số 5 bởi số 2 để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 138: Giả sử hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] với f[a] và f[b] trái dấu nhau.
Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng [a; b] không?
⦁ Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số y = f[x] phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng [a; b]”.
⦁ Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f[x] phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm khoảng [a; b]”.
⦁ Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị của hàm số y = f[x] có thể không cắt trục hoành trong khoảng [a; b], chẳng hạn như đường parabol ở hình [h.58].
Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?
Lời giải:
– Bạn Lan nói đúng vì f[a] và f[b] trái dấu nên tồn tại ít nhất 1 giá trị x sao cho f[x] = 0, do đó đồ thị hàm số y = f[x] cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm
– Bạn Hưng sai vì có thể có 2 giá trị x sao cho f[x] = 0
– Đường parabol trên hình 58 là đồ thị hàm số y2 = x ⇒ đồ thị hàm số
y = f[x] sẽ là 1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành
Khi đó f[a] và f[b] cùng dấu, mâu thuẫn với điều kiện f[a] và f[b] trái dấu
Ví dụ của Tuấn sai
Lời giải:
Ta có:
y = f[x] là hàm số đa thức liên tục trên R.
Do đó f[x]liên tục trên
Từ đó suy ra, phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm xo ∈ [0;2]
Lời giải:
b.Trong biểu thức g[x] ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0=2.
Lời giải:
a] Ta có: g[2] = 5.
⇒ g[x] không liên tục tại x = 2.
b] Để g[x] liên tục tại x = 2
Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12.
a. Vẽ đồ thị hàm số y= f[x]. Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.
Lời giải:
a] Đồ thị hàm số [hình bên].
Quan sát đồ thị nhận thấy :
+ f[x] liên tục trên các khoảng [-∞ ; -1] và [-1 ; ∞].
+ f[x] không liên tục tại x = -1.
⇒ không tồn tại giới hạn của f[x] tại x = -1.
⇒ Hàm số không liên tục tại x = -1.
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.
Lời giải:
“Nếu hàm số y = f[x] liên tục tại điểm x0 và hàm số y = g[x] không liên tục tại x0, thì y = f[x] + g[x] là một hàm số không liên tục tại x0“.
Lời giải:
Ý kiến trên đúng, vì y = h[x] = f[x] + g[x] liên tục tại x0 thì h[x] – f[x] = g[x] liên tục tại x0 [theo định lý 2 về hàm số liên tục] trái với giả thiết g[x] không liên tục tại x0.
a. 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. cos x = x có nghiệm
Lời giải:
a. Đặt f[x] = 2x3 – 6x + 1
TXĐ: D = R
f[x] là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Ta có: f[-2] = 2.[-2]3 – 6[-2] + 1 = – 3 < 0
f[0] = 1 > 0
f[1] = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.
⇒ f[-2].f[0] < 0 và f[0].f[1] < 0
⇒ f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2; 0] và ít nhất một nghiệm thuộc [0 ; 1]
⇒ phương trình f[x] = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. Xét hàm số g[x] = x – cos x liên tục trên R.
do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:
g[-π] = -π – cos [-π] = -π + 1 < 0
g[π] = π – cos π = π – [-1] = π + 1 > 0
⇒ g[-π]. g[π] < 0
⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong [-π; π] tức là cos x = x có nghiệm.