Bài tập tìm tập xác định của hàm số logarit năm 2024

Bài viết Công thức Tập xác định của hàm số mũ, hàm số lôgarit trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức Tập xác định của hàm số mũ, hàm số lôgarit từ đó học tốt môn Toán.

Công thức Tập xác định của hàm số mũ, hàm số lôgarit lớp 11 [hay, chi tiết]

Quảng cáo

1. Công thức

1. Hàm số mũ:

- Hàm số y = ax [a > 0, a ≠ 1] có tập xác định D = ℝ.

- Hàm số mũ y = af[x] [a > 0, a ≠ 1] xác định khi f[x] xác định.

1. Hàm số lôgarit

- Hàm số y = logaf[x] xác định ⇔00

- Hàm số y = logg[x]f[x] xác định ⇔00

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. y=logx+2x2+1.

1. y = logx[x2 – 5x + 6].

1. y=x+5log34−x2.

Hướng dẫn giải:

1. ĐKXĐ: 00,∀x∈ℝ⇔−20⇔x>−5−2 0$ và $\varphi [x]$ xác định. + Nếu $a = 0$ thì $\varphi [x] \ne 0.$ + Nếu $a < 0$ thì $\varphi [x] \in Z.$ • Hàm số logarit $y = {\log _a}\varphi [x]$ xác định khi $a > 0$, $a \ne 1$ và $\varphi [x]$ xác định, $\varphi [x] > 0.$ Trong trường hợp có mẫu số thì phải có điều kiện mẫu số xác định và khác $0$, nếu có biểu thức chứa ẩn số trong dấu căn bậc chẵn, biểu thức phải xác định và không âm.

   2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_2}[3x + 4]} .$

   Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\\ {{{\log }_2}[3x + 4] \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\\ {3x + 4 \ge 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 3x + 3 \ge 0$ $ \Leftrightarrow x \ge – 1.$ Vậy tập xác định $D = [ – 1, + \infty ].$

   Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số:

   1. $y = \sqrt {16 – {x^2}} {\log _2}\left[ {{x^2} – 5x + 6} \right].$
   2. $y = \sqrt {{x^2} – 25} + \log \left[ {42 + x – {x^2}} \right].$
   1. Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {16 – {x^2} \ge 0}\\ {{x^2} – 5x + 6 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 4 \le x \le 4}\\ {x < 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 4 \le x < 2}\\ {3 < x \le 4} \end{array}} \right.$ Vậy $D = [ – 4,2] \cup [3,4].$
   2. Tương tự, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 25 \ge 0}\\ {42 + x – {x^2} > 0} \end{array}} \right.$ Vậy $D = [ – 6, – 5| \cup [5,7].$

   Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số:

   1. $y = \sqrt {{x^2} + x – 2} .{\log _3}\left[ {9 – {x^2}} \right].$
   2. $y = \sqrt {12 – x – {x^2}} .\log \left[ {{x^2} – 4} \right].$

   Đáp án:

   1. $D = [ – 3, – 2| \cup [1,3].$
   2. $D = [ – 4, – 2] \cup [2,3].$

   Ví dụ 4: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_2}\left[ {7 – 2x – {x^2}} \right]} .$

   Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7 – 2x – {x^2} > 0}\\ {{{\log }_2}\left[ {7 – 2x – {x^2}} \right] \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 7 – 2x – {x^2} \ge 1$ ${x^2} + 2x – 6 \le 0$ $ \Leftrightarrow – 1 – \sqrt 7 \le x \le – 1 + \sqrt 7 .$ Vậy tập xác định là $D = \left[ { – 1 – \sqrt 7 , – 1 + \sqrt 7 } \right].$ Ta có $\forall x \in D$: ${\log _2}\left[ {7 – 2x – {x^2}} \right] \ge 0$ $ \Rightarrow y \ge 0.$ Vậy tập giá trị của hàm số là $[0, + \infty ].$

   Ví dụ 5: Tìm tập xác định của các hàm số:

   1. $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}[x – 3] – 1} .$
   2. $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x – 1}}{{x + 5}}} .$
   3. $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left[ {{{\log }_5}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}}} \right]} .$
   1. Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 3 > 0}\\ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}[x – 3] – 1 \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 3}\\ {x – 3 \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3 < x \le \frac{{10}}{3}} \end{array}} \right.$ Vậy $D = \left[ {3,\frac{{10}}{3}} \right].$
   2. Lập điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{x – 1}}{{x + 5}} > 0}\\ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x – 1}}{{x + 5}} \ge 0} \end{array}} \right.$ Giải hệ ta có $x > 1.$ Vậy $D = [1, + \infty ].$
   3. Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left[ {{{\log }_5}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}}} \right] \ge 0}\\ {{{\log }_5}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} > 0}\\ {\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 1 < \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} \le 5$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 5x – 14}}{{x + 3}} \le 0}\\ {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x + 3}} > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < – 3\:{\rm{ hoặc}}\: – 2 \le x \le 7}\\ { – 3 < x < – 1\:{\rm{ hoặc }}\:x > 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 2 \le x < – 1}\\ {2 < x \le 7} \end{array}} \right.$ Vậy tập xác định là $D = [ – 2, – 1] \cup [2,7].$

   Ví dụ 6: Tìm tập xác định của các hàm số:

   1. $y = {\log _2}\sqrt {\frac{{x – 3}}{{x + 1}}} .$
   2. $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x – 1}}{{x + 5}}} – {\log _2}\sqrt {{x^2} – x – 6} .$
   3. $y = {\log _3}\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x – 2}}.$
   1. Lập điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne – 1}\\ {\frac{{x – 3}}{{x + 1}} > 0} \end{array}} \right.$ Suy ra $D = [ – \infty , – 1] \cup [3, + \infty ].$
   2. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x – 1}}{{x + 5}} \ge 0}\\ {{x^2} – x – 6 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < \frac{{x – 1}}{{x + 5}} \le 1}\\ {x < – 2\: {\rm{hoặc}}\:x > 3} \end{array}} \right.$ Suy ra $D = [3, + \infty ].$
   3. $\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x – 2}} > 0.$ Suy ra $D = [ – 3, – 1] \cup [2, + \infty ].$

   Ví dụ 7: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \log \left[ { – {x^2} + 3x + 4} \right]$ $ + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – x – 6} }}.$

   Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – {x^2} + 3x + 4 > 0}\\ {{x^2} – x – 6 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 1 < x < 4}\\ {x < – 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 3 < x < 4.$ Tập xác định của hàm số là $D = [3;4].$ [ads] Ví dụ 8: Tìm miền xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_3}\left[ {\sqrt {{x^2} – 3x + 2} + 4 – x} \right]} .$

   Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 3x + 2 \ge 0}\\ {\sqrt {{x^2} – 3x + 2} + 4 – x \ge 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1\:{\rm{hoặc}}\:x \ge 2}\\ {\sqrt {{x^2} – 3x + 2} \ge x – 3} \end{array}} \right.$ Giải ${\sqrt {{x^2} – 3x + 2} \ge x – 3}$, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 3x + 2 \ge 0}\\ {x \le 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {2 \le x \le 3} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 3}\\ {{x^2} – 3x + 2 \ge {{[x – 3]}^2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 3}\\ {3x \ge 7} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge 3.$ Suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {x \ge 2} \end{array}} \right.$ Vậy $D = [ – \infty ,1] \cup [2, + \infty ].$

   Ví dụ 9: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_2}\left[ {\frac{1}{{1 – x}} – \frac{1}{{1 + x}}} \right]} .$

   Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \pm 1}\\ {\frac{1}{{1 – x}} – \frac{1}{{1 + x}} > 0}\\ {{{\log }_2}\left[ {\frac{1}{{1 – x}} – \frac{1}{{1 + x}}} \right] \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \pm 1}\\ {\frac{{2x}}{{1 \cdot {x^2}}} > 0}\\ {\frac{{2x}}{{1 – {x^2}}} \ge 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \pm 1}\\ {\frac{{{x^2} + 2x – 1}}{{1 – {x^2}}} \ge 0} \end{array}} \right.$ Xét dấu của $P = \frac{{{x^2} + 2x – 1}}{{1 – {x^2}}}$ bằng phương pháp khoảng:

   Vậy tập xác định của hàm số là $D = [ – 1 – \sqrt 2 , – 1] \cup [ – 1 + \sqrt 2 ,1].$

   Ví dụ 10: Tìm tập xác định của hàm số: $y = {2^{\sqrt {\left| {x – 3} \right| – |8 – x|} }}$ $ + \sqrt {\frac{{ – {{\log }_{0,3}}[x – 1]}}{{\sqrt {{x^2} – 2x – 8} }}} .$

   Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {|x – 3| – |8 – x| \ge 0}\\ {x – 1 > 0}\\ {{{\log }_{0,3}}[x – 1] \le 0}\\ {{x^2} – 2x – 8 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{[x – 3]}^2} \ge {{[8 – x]}^2}}\\ {x > 1}\\ {x – 1 \ge 1}\\ {x < – 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge \frac{{11}}{2}.$ Vậy $D = \left[ {\frac{{11}}{2}, + \infty } \right].$

   Ví dụ 11: Với các giá trị nào của $m$ thì hàm số sau đây xác định với mọi $x ∈ R$: $y = \log \sqrt {\cos 2x + m\cos x + 4} .$

   Đặt $t = \cos x$, $ – 1 \le t \le 1$, ta có: $\cos 2x + m\cos x + 4$ $ = 2{\cos ^2}x – 1 + m\cos x + 4$ $ = 2{t^2} + mt + 3.$ Hàm số đã cho xác định với mọi $x$ thuộc $R$ khi và chỉ khi $2{t^2} + mt + 3 > 0$ $\forall t \in \left[ { – 1,1} \right].$ Đặt $f[t] = 2{t^2} + mt + 3$, ta có: $f[t] > 0$ $\forall t \in \left[ { – 1,1} \right]$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta < 0\:\left[ 1 \right]\\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta \ge 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1 < 1 < {t_1} \le {t_2}}\\ {{t_1} \le {t_2} < – 1 < 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \end{array} \right.\:\left[ 2 \right]$ Ta có: $\Delta = {m^2} – 24$, $f[1] = m + 5$, $f[ – 1] = – m + 5.$ Dấu $Δ$:

   $[1] \Leftrightarrow – 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 $ $[3].$ $\left[ 2 \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le – 2\sqrt 6 \:{\rm{hoặc}}\:m \ge 2\sqrt 6 \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f[1] > 0}\\ {\frac{s}{2} – 1 > 0} \end{array}} \right.\:{\rm{hoặc}}\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f[ – 1] > 0}\\ {\frac{s}{2} + 1 < 0} \end{array}} \right. \end{array} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f[1] > 0}\\ {\frac{s}{2} – 1 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m + 5 > 0}\\ { – \frac{m}{4} – 1 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 5 < m < – 4.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f[ – 1] > 0}\\ {\frac{s}{2} + 1 < 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { – m + 5 > 0}\\ { – \frac{m}{4} + 1 < 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 4 < m < 5.$ Suy ra $[2] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 5 < m \le – 2\sqrt 6 }\\ {2\sqrt 6 \le m < 5} \end{array}} \right.$ Hợp các tập nghiệm ở $[3]$ và $[4]$ ta có $ – 5 < m < 5.$ Vậy $D = [ – 5;5].$

   Ví dụ 12: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_3}\left[ {\frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}}} \right]} .$

   Hàm số xác định khi: ${\log _3}\left[ {\frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}}} \right] \ge 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}} \ge 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{\log _a^2x – {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_a}x \ge 1}\\ { – 1 < {{\log }_a}x \le 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge a\\ \frac{1}{a} < x \le 1 \end{array} \right.\:{\rm{nếu}}\:a > 1\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \le a\\ 1 \le x < \frac{1}{a} \end{array} \right.\:{\rm{nếu}}\:0 < a < 1 \end{array} \right.$ Vậy: + Với $a>1$: $D = \left[ {\frac{1}{a},1} \right] \cup [a, + \infty ].$ + Với $0 1$ $ \Leftrightarrow \quad {x^2} – 2x + 3m – 1 > 0$ $\forall x \in R.$ Vì $a = 1 > 0$ nên $\Delta ‘ < 0$ $ \Leftrightarrow 1 – [3m – 1] < 0$ $ \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}.$ Với $m > \frac{2}{3}$, hàm số đã cho xác định $\forall x \in R.$

   Ví dụ 14: Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt {mx – m + 1} }}{{\log \left[ {[m – 1]x – m + 3} \right]}}.$

   1. Tìm tập xác định của hàm số khi $m = 2.$
   2. Tìm các giá trị của $m$ sao cho hàm số xác định $\forall x \ge 1.$
   1. Với $m = 2$ ta có $y = \frac{{\sqrt {2x – 1} }}{{\log [x + 1]}}$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge \frac{1}{2}}\\ {x + 1 > 0}\\ {x + 1 \ne 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}.$ Vậy $D = \left[ {\frac{1}{2}, + \infty } \right].$
   2. Hàm số xác định với mọi $x \ge 1$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { mx – m + 1 \ge 0\:[1]}\\ {[m – 1]x – m + 3 > 0\:[2]}\\ {[m – 1]x – m + 3 \ne 1\:[3]} \end{array}} \right.$ $\forall x \ge 1.$ Giải bất phương trình, ta có: $[1] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 0}\\ {x \in R} \end{array}} \right.}\\ {m > 0}\\ {x \ge \frac{{m – 1}}{m} = 1 – \frac{1}{m}} \end{array}} \right.$ $[1]$ có tập nghiệm là: + Nếu $m = 0$ thì ${s_1} = R.$ + Nếu $m > 0$ thì ${s_1} = \left[ {\frac{{m – 1}}{m}, + \infty } \right].$ Nếu $m = 1$ thì $[2]$ và $[3]$ đều thỏa mãn điều kiện. Nếu $m < 1$ thì $[2]$ không thỏa $\forall x \ge 1.$ Nếu $m > 1$ thì $[2] \Leftrightarrow x > \frac{{m – 3}}{{m – 1}}.$ Vì $\frac{{m – 3}}{{m – 1}} < 1$, $\forall m > 1$ nên $[2]$ thỏa $\forall x \ge 1.$ Với $m > 1$ thì $[3] \Leftrightarrow x \ne \frac{{m – 2}}{{m – 1}}$ thỏa $\forall x \ge 1.$ Đáp số: $m \ge 1.$

   Hàm số logarit đồng biến trên tập xác định khi nào?

   Để xác định nhanh tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số Logarit và hàm số mũ, bạn có thể áp dụng 2 chú ý sau: Hàm số Logarit và hàm số mũ có cơ số a > 1 thì luôn luôn đồng biến. Ngược lại, Hàm số Logarit và hàm số mũ có cơ số a < 1 thì luôn luôn nghịch biến.nullHàm Logarit và Hàm số mũ: Lý thuyết và Bài tập ví dụ - Mytourmytour.vn › ly-thuyet-ve-ham-logarit-va-ham-so-mu-bai-tap-thuc-hanhnull

   Tập xác định của ham MU là gì?

   2.1. Tập xác định của hàm số mũ Hiểu đơn giản, tập xác định của hàm số mũ là tập hợp các giá trị làm cho hàm số mũ có nghĩa. Với hàm số mũ y=ax[a>0,a≠1] y = a x [ a > 0 , a ≠ 1 ] thì không có điều kiện.null3 bước tìm nhanh tập xác định của hàm số mũ không nguyên - Vuihoc.vnvuihoc.vn › tin › thpt-tap-xac-dinh-cua-ham-so-mu-khong-nguyen-400null

   Hàm số logarit có dạng như thế nào?

   Hàm Logarit là hàm số là hàm số có dạng y=logax được biểu thị dưới dạng Logarit. Hiểu đơn giản, Logarit là một phép toán nghịch đảo lại lũy thừa hoặc số lần lặp đi lặp lại của một phép nhân nào đó. Trong kiến thức THPT, ta có hàm số y=logax, được đọc là hàm số Logarit có cơ số a.nullLý thuyết hàm Logarit và hàm số mũ | Bài tập ví dụ - CellphoneScellphones.com.vn › sforum › ham-logarit-va-ham-so-munull

   Hàm số mũ nghĩa là gì?

   Trong toán học, hàm mũ là hàm số có dạng y = ax, với cơ số a là số dương khác 1.nullHàm mũ – Wikipedia tiếng Việtvi.wikipedia.org › wiki › Hàm_mũnull