A O B m A n t U v
Đề bài
Cho \[α\] và \[β\] là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
- \[\sin α = \sin β\]
- \[\cos α = -\cos β\]
- \[\tan α = -\tan β\]
- \[\cot α = \cot β\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\alpha + \beta = {180^0} \Rightarrow \beta = {180^0} - \alpha \]
+] \[\sin \alpha = \sin \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] = \sin \beta \] nên A đúng.
+] \[\cos \alpha = -\cos \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] = -\cos \beta \] nên B đúng.
+] \[\tan \alpha = - \tan \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] = - \tan \beta \] nên C đúng.
+] \[\cot \alpha = - \cot \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right] = - \cot \beta \] nên D sai.
Loigiaihay.com
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt [bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém [pi ], hơn kém [frac{pi }{2}], …]
1. Lý thuyết
+ Hai góc đối nhau \[\alpha \] và \[ - \alpha \]
\[\sin [ - \alpha ] = - \sin \alpha \];
\[\tan [ - \alpha ] = - \tan \alpha \]
\[\cos [ - \alpha ] = \cos \alpha \];
\[\cot [ - \alpha ] = - \cot \alpha \]
+ Hai góc phụ nhau \[\alpha \] và \[{90^ \circ } - \alpha \]
\[\sin \left[ {{{90}^ \circ } - \alpha } \right] = \cos \alpha \];
\[\tan \left[ {{{90}^ \circ } - \alpha } \right] = \cot \alpha \]
\[\cos \left[ {{{90}^ \circ } - \alpha } \right] = \sin \alpha \];
\[\cot \left[ {{{90}^ \circ } - \alpha } \right] = \tan \alpha \]
+ Hai góc bù nhau \[\alpha \] và \[{180^ \circ } - \alpha \]
\[\sin \left[ {{{180}^ \circ } - \alpha } \right] = \sin \alpha \];
\[\tan \left[ {{{180}^ \circ } - \alpha } \right] = - \tan \alpha \]
\[\cos \left[ {{{180}^ \circ } - \alpha } \right] = - \cos \alpha \];
\[\cot \left[ {{{180}^ \circ } - \alpha } \right] = - \cot \alpha \]
+ Hai góc \[\alpha \] và \[{90^ \circ } + \alpha \]
\[\sin \left[ {{{90}^ \circ } + \alpha } \right] = \cos \alpha \];
\[\tan \left[ {{{90}^ \circ } + \alpha } \right] = - \cot \alpha \]
\[\cos \left[ {{{90}^ \circ } + \alpha } \right] = - \sin \alpha \];
\[\cot \left[ {{{90}^ \circ } + \alpha } \right] = - \tan \alpha \]
+ Hai góc \[\alpha \] và \[{180^ \circ } + \alpha \]
\[\sin \left[ {{{180}^ \circ } + \alpha } \right] = - \sin \alpha \];
\[\tan \left[ {{{180}^ \circ } + \alpha } \right] = \tan \alpha \]
\[\cos \left[ {{{180}^ \circ } + \alpha } \right] = - \cos \alpha \];
\[\cot \left[ {{{180}^ \circ } + \alpha } \right] = \cot \alpha \]
Chú ý: Với \[k \in \mathbb{Z}\], ta có:
\[\sin \left[ {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right] = \sin \alpha \];
\[\tan \left[ {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right] = \tan \alpha \]
\[\cos \left[ {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right] = \cos \alpha \];
\[\cot \left[ {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right] = \cot \alpha \]
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, khi đó ta có
\[\sin A = \sin [{180^ \circ } - A] = \sin [B + C]\]
\[\sin \frac{A}{2} = \cos \left[ {{{90}^ \circ } - \frac{A}{2}} \right] = \cos \left[ {\frac{{B + C}}{2}} \right]\]
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác \[\sin {570^ \circ },\cos [ - {1035^ \circ }],\tan [{1500^ \circ }].\]
\[\begin{array}{l}\sin {570^ \circ } = \sin [{360^ \circ } + {180^ \circ } + {30^ \circ }] = \sin [{180^ \circ } + {30^ \circ }] = - \sin {30^ \circ } = - \frac{1}{2}\\\cos [ - {1035^ \circ }] = \cos [ - {3.2.180^ \circ } + {45^ \circ }] = \cos [{45^ \circ }] = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan [{1500^ \circ }] = \tan [{8.180^ \circ } + {60^ \circ }] = \tan [{60^ \circ }] = \sqrt 3 .\end{array}\]