Giải bài 48 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn [M,N là các tiếp điểm]...
Xem lời giải Tia bắt nguồn từ điểm đó và đi qua tâm của đường tròn là tia phân giác của các góc mà hai tiếp tuyến tạo ra.
- Tia xuất phát từ tâm của đường tròn và đi qua điểm giao là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính khi đi qua tiếp điểm.
\>> Xem thêm: Tìm hiểu về sự xác định đường tròn – Toán học
2. Đường tròn nội tiếp tam giác và đường tròn bàng tiếp tam giác
2.1. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Một đường tròn có tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.
2.2. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Khi một đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại, ta gọi nó là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của một đường phân giác nội và hai đường phân giác ngoại của tam giác.
\>> Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai – Toán học 9
3. Các dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh các đường vuông góc, song song và các đoạn thẳng bằng nhau
Dùng tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh
Dạng 2: Chứng minh đường tiếp tuyến. Tìm độ dài, số đo góc…
Áp dụng khái niệm, tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau; đường tròn nội tiếp, bàng tiếp và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Bài 1. Cho đường tròn [O; R] và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [B, C là các tiếp điểm]
- Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
- Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh OE.OA = .
- Trên cung nhỏ BC của đường tròn [O; R] lấy điểm K bất kì [K khác B, C]. Tiếp tuyến tại K của đường tròn [O, R] cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
Giải
- AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn [O] nên:
⇒ B, C nằm trên đường tròn đường kính OA
Vậy 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA.
- AB, AC là hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm nên:
AB = AC ⇒ △ABC cân tại A.
Cũng có: OA là tia phân giác của góc BAC [tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm]
Suy ra: OA là đường cao của △ABC
⇒ OA ⊥ BC hay OA ⊥ BE
Xét △AOB vuông tại B, đường cao BE, ta có:
OA.OE = [đpcm]
- PB, PK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm P nên PB = PK
QC, QK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm Q nên QC = QK
Do đó, chu vi tam giác APQ
Vậy chu vi tam giác APQ luôn bằng 4R không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
Bài 2. Cho đường tròn [O] đường kính AB = 10. Dây cung CD vuông góc với AB tại E sao cho AE = 1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn [O] cắt nhau tại K, AK và CE cắt nhau tại M.
- Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK.
- Tính BK.
[Đề thi vào khối THPT chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2011]
Giải
- Ta có: OA = OC [=R] ⇒ △AOC cân tại O
KB, KC là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm K ⇒ OK là tia phân giác của góc BOC
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt đường tròn tại B, C phân biệt. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với OA cắt đường tròn E và F [E thuộc đoạn DF]. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh:
- 5 điểm A, E, M, O, F cùng thuộc một đường tròn.
- AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn [O].
[Đề thi vào lớp chuyên toán Đại học Sư phạm TP HCM năm 2006]
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O [AB