Tài liệu gồm 121 trang, bao gồm tóm tắt lý thuyết, phân dạng và bài tập chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác trong chương trình môn Toán lớp 10 GDPT 2018 [chương trình SGK mới].
CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. CHỦ ĐỀ 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180. Vấn đề 1. Tính giá trị của một biểu thức. Hai góc phụ nhau, bù nhau. Vấn đề 2. Dấu của một biểu thức lượng giác. Vấn đề 3. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của một biểu thức lượng giác. Vấn đề 4. Đơn giản một biểu thức lượng giác. Vấn đề 5. Chứng minh một đẳng thức lượng giác. Vấn đề 6. Chứng minh một biểu thức độc lập đối với x. CHỦ ĐỀ 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. Vấn đề 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG. + Bài toán. Cho biết một số yếu tố của tam giác vuông. Tính các yếu tố còn lại. Vấn đề 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG. + Bài toán 1. Biết hai cạnh và góc xen giữa, tính độ dài cạnh còn lại. + Bài toán 2. Biết độ dài ba cạnh của một tam giác, tính các góc của tam giác. + Bài toán 3. Biết độ dài một cạnh và số đo hai góc của một tam giác hoặc biết độ dài hai cạnh và một góc [không xen giữa] tính độ dài cạnh còn lại. + Bài toán 4. Tìm diện tích của tam giác. Tìm độ dài đường cao, tìm bán kính đường tròn nội – ngoại tiếp tam giác. + Bài toán 5. Giải tam giác và các ứng dụng vào thực tế. + Bài toán 6. Chứng minh các hệ thức trong tam giác.
File WORD [dành cho quý thầy, cô]: TẢI XUỐNG
- Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với \[cosin\] của góc xen giữa chúng.
Ta có các hệ thức sau:
$$\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, [1] \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, [2] \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, [3] \cr} $$
Hệ quả của định lí cosin:
\[\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\]
\[\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\]
\[\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\]
Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:
Cho tam giác \[ABC\] có các cạnh \[BC = a, CA = b\] và \[AB = c\]. Gọi \[m_a,m_b\] và \[m_c\] là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh \[A, B, C\] của tam giác. Ta có
\[{m_{a}}{2}\] = \[\dfrac{2.[b{2}+c^{2}]-a^{2}}{4}\]
\[{m_{b}}{2}\] = \[\dfrac{2.[a{2}+c^{2}]-b^{2}}{4}\]
\[{m_{c}}{2}\] = \[\dfrac{2.[a{2}+b^{2}]-c^{2}}{4}\]
2. Định lí sin
Định lí: Trong tam giác \[ABC\] bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là
\[\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\]
với \[R\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Công thức tính diện tích tam giác
Diện tích \[S\] của tam giác \[ABC\] được tính theo một trong các công thức sau
\[S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \] \[= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,[1]\]
\[S = \dfrac{abc}{4R}\, \,[2]\]
\[S = pr\, \,[3]\]
\[S = \sqrt{p[p - a][p - b][p - c]}\] [công thức Hê - rông] \[[4]\]
Trong đó:\[BC = a, CA = b\] và \[AB = c\]; \[R, r\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bk đường tròn nội tiếp và \[S\] là diện tích tam giác đó.
3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc
Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm các yếu tố [góc, cạnh] chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.
Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các góc, cạnh đã cho với các góc, các cạnh chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.
Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:
- Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.
\=> Dùng định lí sin để tính cạnh còn lại.
- Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa
\=> Dùng định lí cosin để tính cạnh thứ ba.
Sau đó dùng hệ quả của định lí cosin để tính góc.
- Giải tam giác khi biết ba cạnh
Đối với bài toán này ta sử dụng hệ quả của định lí cosin để tính góc:
\[\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\]
\[\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\]
\[cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\]
Chú ý:
1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài [tức là yếu tố góc không được quá 2]