Một người gửi vào ngân hàng số tiền \[A\] đồng, lãi suất \[r\] mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức không kì hạn. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau \[N\] tháng?
Phương pháp xây dựng công thức:
Gọi \[{T_N}\] là số tiền cả vốn lẫn lãi sau \[N\] tháng. Ta có:
- Sau 1 tháng \[\left[ {k = 1} \right]:{T_1} = A + A.r = A\left[ {1 + r} \right]\].
- Sau 2 tháng \[\left[ {k = 2} \right]:{T_2} = A\left[ {1 + r} \right] + A\left[ {1 + r} \right].r = A{\left[ {1 + r} \right]^2}\]
…
- Sau \[N\] tháng \[\left[ {k = N} \right]:{T_N} = A{\left[ {1 + r} \right]^N}\]
Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau \[N\] tháng là:
\[{T_N} = A{\left[ {1 + r} \right]^N}\]
Lãi suất thường được cho ở dạng \[a\% \] nên khi tính toán ta phải tính \[r = a:100\] rồi mới thay vào công thức.
Dạng 2: Bài toán tiết kiệm [Thể thức lãi kép có kỳ hạn]
Một người gửi vào ngân hàng số tiền \[A\] đồng, lãi suất \[r\] mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức có kì hạn \[m\] tháng. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau \[N\] kì hạn?
Phương pháp:
Bài toán này tương tự bài toán ở trên, nhưng ta sẽ tính lãi suất theo định kỳ \[m\] tháng là: \[r' = m.r\].
Sau đó áp dụng công thức \[{T_N} = A{\left[ {1 + r'} \right]^N}\] với \[N\] là số kì hạn.
Trong cùng một kì hạn, lãi suất sẽ gống nhau mà không được cộng vào vốn để tính lãi kép.
Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm \[100\] triệu vào ngân hàng theo mức kì hạn \[6\] tháng với lãi suất \[0,65\% \] mỗi tháng. Hỏi sau \[10\] năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi, biết rằng người đó không rút tiền trong \[10\] năm đó.
Giải:
- Số kỳ hạn \[N = \dfrac{{10.12}}{6} = 20\] kỳ hạn.
- Lãi suất theo định kỳ \[6\] tháng là \[6.0,65\% = 3,9\% \].
Số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau \[10\] năm là: \[T = 100{\left[ {1 + 3,9\% } \right]^{20}} = 214,9\] [triệu]
Dạng 3: Bài toán tích lũy [Hàng tháng [quý, năm,…] gửi một số tiền cố định vào ngân hàng]
Một người gửi vào ngân hàng số tiền \[A\] đồng mỗi tháng với lãi suất mỗi tháng là \[r\]. Hỏi sau \[N\] tháng, người đó có tất cả bao nhiêu tiền trong ngân hàng?
Phương pháp xây dựng công thức:
Gọi \[{T_N}\] là số tiền có được sau \[N\] tháng.
- Cuối tháng thứ 1: \[{T_1} = A\left[ {1 + r} \right]\].
- Đầu tháng thứ 2: \[A\left[ {1 + r} \right] + A = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^2} - 1} \right]\]
- Cuối tháng thứ 2: \[{T_2} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^2} - 1} \right] + \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^2} - 1} \right].r = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^2} - 1} \right]\left[ {1 + r} \right]\]
…
- Đầu tháng thứ N: \[\dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^N} - 1} \right]\]
- Cuối tháng thứ \[N:{T_N} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^N} - 1} \right]\left[ {1 + r} \right]\].
Vậy sau \[N\] tháng, số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được là:
\[{T_N} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^N} - 1} \right]\left[ {1 + r} \right]\]
Dạng 4: Bài toán trả góp.
Một người vay ngân hàng số tiền \[T\] đồng, lãi suất định kì là \[r\]. Tìm số tiền \[A\] mà người đó phải trả cuối mỗi kì để sau \[N\] kì hạn là hết nợ.
Phương pháp xây dựng công thức:
- Sau 1 tháng, số tiền gốc và lãi là \[T + T.r\], người đó trả \[A\] đồng nên còn:$T + T.r - A = T\left[ {1 + r} \right] - A$
- Sau 2 tháng, số tiền còn nợ là: $T\left[ {1 + r} \right] - A + \left[ {T\left[ {1 + r} \right] - A} \right].r - A = T{\left[ {1 + r} \right]^2} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^2} - 1} \right]$
- Sau 3 tháng, số tiền còn nợ là: $T{\left[ {1 + r} \right]^3} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^3} - 1} \right]$
- Sau \[N\] tháng, số tiền còn nợ là: $T{\left[ {1 + r} \right]^N} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left[ {1 + r} \right]}^N} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow A = \dfrac{{T{{\left[ {1 + r} \right]}^N}.r}}{{{{\left[ {1 + r} \right]}^N} - 1}}$
Tài liệu gồm 23 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề bài toán lãi suất và tăng trưởng, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2.
- KIẾN THỨC TRỌNG TÂM II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI + Bài toán 1. Công thức lãi kép. + Bài toán 2. Công thức tăng trưởng dân số. + Bài toán 3. Hao mòn tài sản, diện tích rừng bị giảm. + Bài toán 4. Tăng trưởng của bèo, của vi khuẩn. + Bài toán 5. Tiền gửi tiết kiệm. + Bài toán 6. Trả góp hàng tháng. + Bài toán 7. Một số dạng toán khác. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
- Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]