Các bài toán về giá trị cos lớp 10 năm 2024

Ta có các công thức: \[\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\] \[\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\] \[\tan \alpha .\cot \alpha = 1;\] \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\]

Vậy chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

• A \[\sin \alpha = \cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\]
• B \[\sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2} = 1\]
• C \[\tan \alpha = \tan \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\]
• D \[\cot \alpha = \cot \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\]

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

+] Đáp án A: đúng

+] Đáp án B: sai, công thức đúng: \[{\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\]

+] Đáp án C: sai, công thức đúng: \[\tan \alpha = \cot \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\]

+] Đáp án D: sai, công thức đúng: \[\cot \alpha = \tan \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\]

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.

Câu 1:

\[\cos {\rm{ }}{44^o},{\rm{ sin }}{50^o},{\rm{ sin }}{70^o},{\rm{ cos }}{55^o}\]

• A \[\cos {44^0} < \sin {50^0} < \sin {70^0} < \cos {55^0}\]
• B \[\cos{44^0} < \cos {55^0} < \sin {50^0} < \sin {70^0}\]
• C \[\cos {55^0} < \cos {44^0} < \sin {50^0} < \sin {70^0}\]
• D \[\cos {55^0} < \cos {44^0} < \sin {70^0} < \sin {50^0}\]

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng \[0 < \alpha < \beta < {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < \sin \beta \\cos\alpha > cos\beta \end{array} \right..\]

Ta có: \[\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\]

Lời giải chi tiết:

\[\cos {\rm{ }}{44^o},{\rm{ sin }}{50^o},{\rm{ sin }}{70^o},{\rm{ cos }}{55^o}\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\cos {\rm{ }}{44^0} = \cos {\rm{ }}\left[ {{{90}^0} - {{46}^0}} \right] = {\rm{sin 4}}{{\rm{6}}^0}\\\cos {\rm{ 5}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{ }}\left[ {{{90}^0} - {{35}^0}} \right] = {\rm{sin 3}}{{\rm{5}}^0}\end{array} \right.\]

Vì \[{35^0} < {46^0} < {50^0} < {70^0}\]\[ \Rightarrow {\rm{sin 3}}{5^o} < \sin {\rm{ }}{46^o} < {\rm{sin }}{50^o} < {\rm{sin }}{70^o}\]

\[ \Rightarrow {\rm{cos }}{55^o} < \cos {\rm{ }}{44^o} < {\rm{sin }}{50^o} < {\rm{sin }}{70^o}.\]

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[{\rm{sin }}{49^o},{\rm{ cos }}{15^o},{\rm{ sin }}{65^o},{\rm{ cos }}{50^o},{\rm{ }}\cos {\rm{ }}{42^o}\]

• A \[\sin {49^0} < \sin {65^0} < \cos {15^0} < \cos {50^0} < \cos {42^0}\]
• B \[\cos {50^0} < \cos {42^0} < \sin {49^0} < \sin {65^0} < \cos {15^0}\]
• C \[\cos {50^0} < \cos {42^0} < \cos {15^0} < \sin {49^0} < \sin {65^0}\]
• D \[\cos {15^0} < \cos {42^0} < \cos {50^0} < \sin {49^0} < \sin {65^0}\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng \[0 < \alpha < \beta < {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < \sin \beta \\cos\alpha > cos\beta \end{array} \right..\]

Ta có: \[\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\]

Lời giải chi tiết:

\[{\rm{sin }}{49^o},{\rm{ cos }}{15^o},{\rm{ sin }}{65^o},{\rm{ cos }}{50^o},{\rm{ }}\cos {\rm{ }}{42^o}\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}sin{\rm{ }}{49^0} = \cos {\rm{ }}\left[ {{{90}^0} - {{41}^0}} \right] = {\rm{sin 4}}{{\rm{1}}^0}\\sin{\rm{ 6}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{ }}\left[ {{{90}^0} - {{25}^0}} \right] = {\rm{sin 2}}{{\rm{5}}^0}\end{array} \right.\]

Vì \[{15^0} < {25^0} < {41^0} < {42^0} < {50^0}\]\[ \Rightarrow \cos {\rm{ }}{50^o} < \cos {\rm{ }}{42^o}{\rm{ < }}\cos {\rm{ 4}}{{\rm{1}}^o}{\rm{ < }}\cos {\rm{ 2}}{{\rm{5}}^o} < \cos {15^0}\]

\[ \Rightarrow {\rm{cos }}{50^0} < \cos {\rm{ }}{42^0} < {\rm{sin }}{49^0} < {\rm{sin }}{65^0}{\rm{ < cos }}{15^0}\]

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \[\alpha \] với \[0 < \alpha < {90^0}\] biết:

Câu 1:

\[\sin \alpha = \frac{2}{3}\]

• A \[\cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]
• B \[\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]
• C \[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]
• D \[\cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

Ta có: \[0 < \alpha < {90^0}\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha > 0\\\tan \alpha > 0\\\cot \alpha > 0\end{array} \right..\]

\[\sin \alpha = \frac{2}{3}\]

*\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{2}{3}} \right]^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\]\[ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]

*\[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\]

*\[\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[\tan \alpha = \frac{4}{3}\]

• A \[\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha = \pm \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{3}{4}\]
• B \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha = \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{3}{4}\]
• C \[\sin \alpha = \pm \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{3}{4}\]
• D \[\sin \alpha = \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{3}{4}\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

Ta có: \[0 < \alpha < {90^0}\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha > 0\\\tan \alpha > 0\\\cot \alpha > 0\end{array} \right..\]

\[\tan \alpha = \frac{4}{3}\]

* \[\tan \alpha .\cot \alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow \cot \alpha = 1:tan\alpha = 1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\]

* \[1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]\[ \Leftrightarrow 1 + {\left[ {\frac{4}{3}} \right]^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{25}}{9}\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{9}{{25}}\]\[ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}\]

*\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^2} + {\sin ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\]\[ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}\]

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \[\alpha \] biết:

Câu 1:

\[\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\]

• A \[\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha = \frac{5}{{12}}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{{12}}{5}\]
• B \[\cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha = \pm \frac{5}{{12}}\,\,;\,\,\cot \alpha = \pm \frac{{12}}{5}\]
• C \[\cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha = \pm \frac{{12}}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha = \pm \frac{5}{{12}}\]
• D \[\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha = \frac{{12}}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{5}{{12}}\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.\]

Lời giải chi tiết:

\[\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\]

Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\left[ {\frac{5}{{13}}} \right]^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}\]\[ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}\]

Lại có: \[{\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\] \[ \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{{169}}{{144}} - 1 = \frac{{25}}{{144}}\] \[ \Rightarrow \tan \alpha = \pm \frac{5}{{12}}\]

\[ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \pm \frac{{12}}{5}\]

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[\tan \alpha = \frac{{12}}{{35}}\]

• A \[\cot \alpha = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\cos \alpha = \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\sin \alpha = \frac{{12}}{{37}}\]
• B \[\cot \alpha = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\sin \alpha = \pm \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{37}}\]
• C \[\cot \alpha = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\cos \alpha = \pm \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\sin \alpha = \pm \frac{{12}}{{37}}\]
• D \[\cot \alpha = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\sin \alpha = \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\cos \alpha = \frac{{12}}{{37}}\]

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.\]

Lời giải chi tiết:

\[\tan \alpha = \frac{{12}}{{35}}\]

Ta có: \[\tan \alpha .\cot \alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{12}}{{35}} = \frac{{35}}{{12}}\]

Lại có: \[1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]\[ \Leftrightarrow 1 + {\left[ {\frac{{12}}{{35}}} \right]^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{1369}}{{1225}}\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{1225}}{{1369}}\]\[ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{35}}{{37}}\]

\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{35}}{{37}}} \right]^2} + {\sin ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{{1225}}{{1369}} = \frac{{144}}{{1369}}\]\[ \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{12}}{{37}}\]

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \[\alpha \] biết:

Câu 1:

\[{\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{4}\]

• A \[\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha = \pm \frac{{16}}{{15}}\,\,;\,\,\cot \alpha = \pm \frac{{15}}{{16}}\]
• B \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha = \frac{{16}}{{15}}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{{15}}{{16}}\]
• C \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha = \frac{{15}}{{16}}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{{16}}{{15}}\]
• D \[\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha = \pm \frac{{15}}{{16}}\,\,;\,\,\cot \alpha = \pm \frac{{16}}{{15}}\]

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[{\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{4}\]

*\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left[ {\frac{3}{4}} \right]^2} = 1\]\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\]\[ \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{4}{5}\]

*\[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \pm \frac{4}{5}:\frac{3}{4} = \pm \frac{{16}}{{15}}\]

*\[\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\left[ { \pm \frac{{16}}{{15}}} \right] = \pm \frac{{15}}{{16}}\]

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[cot\alpha = \frac{8}{{15}}\]

• A \[\tan \alpha = \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\sin \alpha = \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\cos \alpha = \frac{8}{{17}}\]
• B \[\tan \alpha = \pm \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\cos \alpha = \pm \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\sin \alpha = \pm \frac{8}{{17}}\]
• C \[\tan \alpha = \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\cos \alpha = \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\sin \alpha = \frac{8}{{17}}\]
• D \[\tan \alpha = \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\sin \alpha = \pm \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\cos \alpha = \pm \frac{8}{{17}}\]

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[cot\alpha = \frac{8}{{15}}\]

* \[\tan \alpha .\cot \alpha = 1 \Leftrightarrow tan\alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{\frac{8}{{15}}}} = \frac{{15}}{8}\]

* \[1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\]\[ \Leftrightarrow 1 + {\left[ {\frac{8}{{15}}} \right]^2} = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{si{n^2}\alpha }} = \frac{{289}}{{225}}\]\[ \Rightarrow si{n^2}\alpha = \frac{{225}}{{289}}\]\[ \Rightarrow sin\alpha = \pm \frac{{15}}{{17}}\]

*\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{15}}{{17}}} \right]^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{{225}}{{289}} = \frac{{64}}{{289}}\]\[ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{8}{{17}}\]

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Giá trị của biểu thức \[P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\] bằng

• A \[0\]
• B \[1\]
• C \[2\]
• D \[3\]

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+] Sử dụng công thức: \[\sin \alpha = \cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right];\;\;{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\[\begin{array}{l}P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\\ = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\sin ^2}{40^0} + {\sin ^2}{20^0}\\ = \left[ {{{\cos }^2}{{20}^0} + {{\sin }^2}{{20}^0}} \right] + \left[ {{{\cos }^2}{{40}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right]\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}\]

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 1:

\[A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\]

• A \[A=0\]
• B \[A = \frac{7}{2}\]
• C \[A = \frac-{7}{2}\]
• D \[A = \frac{5}{2}\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đặc biệt: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\\\tan \alpha = \cot \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[\,\,A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{15^0}\\\,\,\,\,\, = \left[ {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right] + \left[ {{{\sin }^2}{{25}^0} + {{\cos }^2}25} \right] + \left[ {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right] + {\sin ^2}{45^0}\\\,\,\,\, = 1 + 1 + 1 + {\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]^2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.\end{array}\]

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\]

• A \[B=0\]
• B \[B=1\]
• C \[B = \frac{7}{2}\]
• D \[B =- \frac{7}{2}\]

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đặc biệt: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\\\tan \alpha = \cot \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[\,\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}\\\,\,\,\,\, = \tan {10^0}.cot{10^0} - \tan {20^0}.\cot {20^0}\\\,\,\,\,\, = 1 - 1 = 0.\end{array}\]

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Biết \[{0^0} < \alpha < {90^0}\]. Giá trị bủa biểu thức \[\left[ {\sin \alpha + 3\,\cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]} \right]:\left[ {\sin \alpha - 2\cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]} \right]\] bằng:

• A \[ - 4\]
• B \[4\]
• C \[\frac{{ - 3}}{2}\]
• D \[\frac{3}{2}\].

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: \[\sin \alpha = \cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right];\,\,\,\,\cos \alpha = \sin \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right].\]

Lời giải chi tiết:

\[\begin{array}{l}\left[ {\sin \alpha + 3\,\cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]} \right]:\left[ {\sin \alpha - 2\cos \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]} \right] = \left[ {\sin \alpha + 3\sin \alpha } \right]:\left[ {\sin \alpha - 2\sin \alpha } \right]\\ = \left[ {4\sin \alpha } \right]:\left[ { - \sin \alpha } \right] = - 4.\end{array}\]

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tính số đo góc nhọn \[\alpha \] biết \[10{\sin ^2}\alpha + 6{\cos ^2}\alpha = 8\].

• A \[\alpha = {30^0}.\]
• B \[\alpha = {45^0}.\]
• C \[\alpha = {60^0}.\]
• D \[\alpha = {120^0}.\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\forall \alpha \].

- Tính \[\sin \alpha \], từ đo suy ra số đo góc \[\alpha \].

Lời giải chi tiết:

Ta có: \[10{\sin ^2}\alpha + 6{\cos ^2}\alpha = 8\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha + 6\left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right] = 8\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha + 6 = 8\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\]

\[Do\,\,\alpha < {90^0} \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

Vậy \[\alpha = {45^0}.\]

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Hãy đơn giản các biểu thức:

Câu 1:

\[1 - {\sin ^2}x\]

• A \[{\cos ^2}x\]
• B \[{\tan ^2}x\]
• C \[{\cot ^2}x\]
• D \[ - {\cos ^2}x\]

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[1 - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\]

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[\sin x - \sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\]

• A \[{\tan ^3}x\]
• B \[{\cos ^3}x\]
• C \[{\cot ^3}x\]
• D \[{\sin ^3}x\]

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[\sin x - \sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\]\[ = \sin x\left[ {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right]\]\[ = \sin x.{\sin ^2}x = {\sin ^3}x\]

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

\[{\tan ^2}x - {\sin ^2}x.{\tan ^2}x\]

• A \[{\cos ^2}x\]
• B \[{\tan ^2}x\]
• C \[{\cot ^2}x\]
• D \[{\sin ^2}x\]

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[{\tan ^2}x - {\sin ^2}x.{\tan ^2}x\]\[ = {\tan ^2}x\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right]\]\[ = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{co{s^2}x}}.co{s^2}x = {\sin ^2}x\]

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho biểu thức \[A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }}\] với \[\alpha \ne {45^0}\]

1. Chứng minh rằng \[A = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

1. Tính giá trị của A biết \[\tan \alpha = \frac{1}{3}\].

• A \[{\rm{b]}}\,\,A = \frac{1}{2}\]
• B \[{\rm{b]}}\,\,A = - \frac{1}{2}\]
• C \[{\rm{b]}}\,\,A = \frac{3}{2}\]
• D \[{\rm{b]}}\,\,A = - \frac{3}{2}\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\]

Sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

1. Chứng minh rằng \[A = \frac{{\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha }}{{\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha }}\]

\[\begin{array}{l}A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{\left[ {\sin \alpha - \cos \alpha } \right]\left[ {\sin \alpha + \cos \alpha } \right]}}\\ = \frac{{{{\left[ {\sin \alpha - \cos \alpha } \right]}^2}}}{{\left[ {\sin \alpha - \cos \alpha } \right]\left[ {\sin \alpha + \cos \alpha } \right]}}\\ = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\,\,\,\,\,\left[ {dpcm} \right].\end{array}\]

1. Tính giá trị của A biết \[\tan \alpha = \frac{1}{3}\].

Theo ý a ta có: \[A = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 1}}\]

Thay \[\tan \alpha = \frac{1}{3}\] vào A ta được: \[A = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{3} - 1}}{{\frac{1}{3} + 1}} = - \frac{1}{2}\]

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Tính giá trị của các biểu thức:

Câu 1:

\[A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\]

• A \[A = 1\]
• B \[A = 2\]
• C \[A = 0\]
• D \[A = \frac{1}{2}\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\]\[\,\tan \alpha .cot\alpha = 1.\]

Cho \[\angle B + \angle C = {90^0}.\] Khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C\\\cos B = \sin C\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\]

\[A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\]\[ = \frac{{\sin {{49}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.cot{28^0}\]\[ = 1 + 1 = 2.\]

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\]

• A \[B = 1\]
• B \[B = 2\]
• C \[B = 0\]
• D \[B = \frac{1}{2}\]

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\]\[\,\tan \alpha .cot\alpha = 1.\]

Cho \[\angle B + \angle C = {90^0}.\] Khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C\\\cos B = \sin C\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\]

\[\begin{array}{l}B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\\ = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + si{n^2}{20^0} + si{n^2}{10^0}\\ = \left[ {{{\cos }^2}{{20}^0} + si{n^2}{{20}^0}} \right] + \left[ {{{\cos }^2}{{10}^0} + si{n^2}{{10}^0}} \right]\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}\]

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tính giá trị của các biểu thức:

Câu 1:

\[C = {[3\sin \alpha + 4\cos \alpha ]^2} + {\left[ {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right]^2}\]

• A \[C = 5\]
• B \[C = 9\]
• C \[C = 25\]
• D \[C = 16\]

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[C = {[3\sin \alpha + 4\cos \alpha ]^2} + {\left[ {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right]^2}\]

\[\begin{array}{l}C = {\left[ {3\sin \alpha + 4\cos \alpha } \right]^2} + {\left[ {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right]^2}\\ = 9{\sin ^2}\alpha + 24\sin \alpha \cos \alpha + 16{\cos ^2}\alpha + 16{\sin ^2}\alpha - 24\sin \alpha \cos \alpha + 9{\cos ^2}\alpha \\ = 25{\sin ^2}\alpha + 25{\cos ^2}\alpha \\ = 25\left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right] = 25.\end{array}\]

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Cho biết \[\tan \alpha = \frac{2}{3}\]. Tính giá trị biểu thức: \[M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}\]

• A \[M = - \frac{1}{3}\]
• B \[M = - 1\]
• C \[M = - \frac{{89}}{{459}}\]
• D \[M = - \frac{{72}}{{459}}\]

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết:

\[M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3}}{{\frac{{27{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}\]

Thay \[\tan \alpha = \frac{2}{3}\] vào biểu thức \[M\] ta có:

\[M = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}} = \frac{{{{\left[ {\frac{2}{3}} \right]}^3} + 3}}{{27{{\left[ {\frac{2}{3}} \right]}^3} - 25}} = - \frac{{89}}{{459}}.\]

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Tính giá trị biểu thức:

Câu 1:

\[M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\]

• A \[M = 3\]
• B \[M = \frac{5}{2}\]
• C \[M = \frac{3}{2}\]
• D \[M = \frac{7}{2}\]

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau: \[\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\]

Sử dụng công thức lượng giác: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

\[M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\]

\[\begin{array}{l}M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\\ = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\cos ^2}{44^o} + {\cos ^2}{43^o} + {\cos ^2}{42^o}\\ = \left[ {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{42}^o} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{42}^o}} \right] + \left[ {{{\sin }^2}{{43}^o}{\rm{ + co}}{{\rm{s}}^2}{{43}^o}} \right] + \left[ {{\rm{ }}{{\sin }^2}{{44}^o} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{44}^o}} \right] + {\sin ^2}{45^o}\\ = 1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\end{array}\]

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\[N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\]

• A \[N = \frac{1}{2}\]
• B \[N = 1\]
• C \[N = - 1\]
• D \[N = - \frac{1}{2}\]

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau: \[\alpha + \beta = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \beta \\\cos \alpha = \sin \beta \end{array} \right.\]

Sử dụng công thức lượng giác: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

\[N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\]

\[\begin{array}{l}N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\\ = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\sin ^2}{35^o} - {\sin ^2}{25^o} + {\sin ^2}{15^0}\\ = \left[ {{{\cos }^2}{{15}^o} + si{n^2}{{15}^0}} \right] - \left[ {{{\cos }^2}{{25}^o} + si{n^2}{{25}^0}} \right] + \left[ {{{\cos }^2}{{35}^o} + si{n^2}{{35}^0}} \right] - {\cos ^2}{45^o}\\ = 1 - 1 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\end{array}\]

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

• A \[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3};\,\,\tan \alpha = - \frac{2}{3};\,\,\cot \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]
• B \[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3};\,\,\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5};\,\,\cot \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]
• C \[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{3};\,\,\tan \alpha = \sqrt 2 ;\,\,\cot \alpha = \frac{1}{2}\]
• D \[\cos \alpha = \frac{1}{3};\,\,\tan \alpha = 2;\,\,\cot \alpha = \frac{1}{2}\]

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

1. \[1 + {\rm{ }}{\tan ^2}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\] b] \[1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\]

1. \[{\cos ^4}x-{\rm{ si}}{{\rm{n}}^4}x = 2{\cos ^2}x{\rm{ }} - 1\] d] \[{\sin ^6}x + {\cos ^6}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1 - {\rm{ }}3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\end{array} \right..\]

Sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

1. \[1 + {\rm{ }}{\tan ^2}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]

\[VT = 1 + {\rm{ }}{\tan ^2}x\]\[ = 1 + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\]\[ = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\]\[ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = VP\][đpcm]

1. \[1 + {\cot ^2}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\]

\[VT = 1 + {\cot ^2}x{\rm{ }} = 1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\]\[ = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\] [đpcm]

1. \[{\cos ^4}x--{\sin ^4}x = 2{\cos ^2}x{\rm{ }} - 1\]

\[\begin{array}{l}{\cos ^4}x--{\sin ^4}x = \left[ {{{\cos }^2}x--{{\sin }^2}x} \right]\left[ {{{\cos }^2}x{\rm{ + }}{{\sin }^2}x} \right]\\ = {\cos ^2}x--{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - \left[ {1 - {{\cos }^2}x{\rm{ }}} \right]\\ = 2{\cos ^2}x{\rm{ }} - 1\,\,\,\,\left[ {dpcm} \right]\end{array}\]

1. \[{\sin ^6}x + {\cos ^6}x{\rm{ }} = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\]

\[\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = \left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]\left[ {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right]\\ = \left[ {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right] - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\ = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\ = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\,\,\,\,\left[ {dpcm} \right]\end{array}\]

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \[\alpha \].

1. \[{\left[ {\cos \alpha - \sin \alpha } \right]^2} + {\left[ {\cos \alpha + \sin \alpha } \right]^2}\]

1. \[\frac{{{{[c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha ]}^2} - {{[c{\rm{os}}\alpha + \sin \alpha ]}^2}}}{{c{\rm{os}}\alpha .\sin \alpha }}\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]

Sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

1. \[{\left[ {\cos \alpha - {\rm{sin}}\alpha } \right]^2} + {\left[ {\cos \alpha - {\rm{sin}}\alpha } \right]^2}\]

\[\begin{array}{l}{\left[ {\cos \alpha - {\rm{sin}}\alpha } \right]^2} + {\left[ {\cos \alpha + {\rm{sin}}\alpha } \right]^2}\\ = {\cos ^2}\alpha - 2{\rm{sin}}\alpha .\cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2{\rm{sin}}\alpha \cos \alpha + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \\ = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + 2{\cos ^2}\alpha = 2\left[ {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right] = 2.1 = 2.\end{array}\]

Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \[\alpha \].

1. \[\frac{{{{\left[ {\cos \alpha - \sin \alpha } \right]}^2} - {{\left[ {\cos \alpha + \sin \alpha } \right]}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\]

\[\begin{array}{l}\frac{{{{\left[ {\cos \alpha - \sin \alpha } \right]}^2} - {{\left[ {\cos \alpha + \sin \alpha } \right]}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{{{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{ - 4\sin \alpha \cos \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = - 4.\end{array}\]