1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:
[1] [hay ]
trong đó p[x], q[x] là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q[x] ≡ 0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q[x] ≠0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Cách giải:
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của [1] với thừa số
Ta được:
[*]
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số . Vậy ta viết lại phương trình [*] như sau:
Lấy tích phân hai vế ta được:
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Lưu ý: hàm p[x] là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
Ví dụ: Giải phương trình
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số .
Ta đươc:
Hay:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli [pp tìm nghiệm dưới dạng tích]
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Hay: [*]
Phương trình [*] có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình [*], ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u[x] sao cho [**]
Ta dễ dàng tìm được hàm u[x] thỏa [**] vì [**] chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có:
Như vậy ta tìm được hàm u[x] nên từ [*] ta sẽ có:
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange [pp biến thiên hằng số]
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u[x] là nghiệm phương trình [**] – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình [1] lại là: chỉ sai khác so với u[x] ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v[x].
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v[x] sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình [1]:
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất [1] có dạng:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: . Từ đó tìm được v[x].
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v[x], ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v[x] và chỉ còn lại v’[x]. Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v[x] thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: [1]
Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. [Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé]
Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với [1]. Ta có:
Hay:
Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Ta có: . Thế vào phương trình [1] ta có:
.
[Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v[x]].
Từ đó:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
Ví dụ 2: Giải phương trình: [2]
Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: [*]
Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình [*] ta sẽ có:
Hay: [2′]
Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:
Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với [2′]:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] có dạng:
Ta có: Thế vào pt [2′] ta có:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] là:
4. Phương trình Bernoulli:
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:
[4]
Cách giải:
Nhân 2 vế của pt [4] cho . Ta có:
[4′]
Khi đó, ta đặt: . Ta có:
Thế vào phương trình [4′] ta có:
Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!
Ví dụ: Giải phương trình: [1]
Ta viết lại phương trình:
Đây là phương trình Bernoulli với
Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với ta có: [*]
Ta đặt . Thế vào [*] ta có:
[**] [phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x].
– Giải pt thuần nhất liên kết với [**] ta được:
– Nghiệm tổng quát của pt[**] có dạng: .
Thế vào [**] ta tìm được:
Vậy nghiệm tổng quát của pt [**] là:
Từ đó, nghiệm tổng quát của [1] là:
5. Phương trình Ricatti:
Là phương trình vi phân có dạng:
Nhìn chung, nghiệm của phương trình không biểu diễn được ở dạng hàm sơ cấp. Tuy nhiên, nếu ta biết được 1 nghiệm riêng nào đó của phương trình, giả sử thì bằng cách biến đổi: ta sẽ đưa được pt về phương trình Bernoulli.
Khi đó:
Thế vào pt ta có:
[*]
Do là 1 nghiệm của phương trình nên từ [*] ta có:
[**]
Rõ ràng [**] chính là phương trình Bernulli với z là hàm theo biến số x