Table of Contents
Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ở chương trình Toán lớp 7 sẽ giúp các em nắm thêm kiến thức cũng như cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức cùng với vận dụng làm nhiều bài tập sẽ giúp ích cho các em tích lũy kinh nghiệm toán học. Cùng tham khảo ở dưới nhé.
I. Giá trị lớn nhất của biểu thức là gì?
- Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức X, ta làm như sau:
+ Chứng minh X ≤ n với n là hằng số
+ Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu: max X là giá trị lớn nhất của X.
II. Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức dựa vào tính chất |a| ≥ 0. Ta biến đổi về dạng X ≤ y [với y là số đã biết] từ đó suy ra giá trị lớn nhất của X là y.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức
A = 2024 - |4x + 16|
Bài làm:
Ta có: A = 2024 - |4x + 16|
Vì |4x + 16| ≥ 0, ∀x
⇒ - |4x + 16| ≤ 0, ∀x
⇒ - |4x + 16| + 2024 ≤ 2024 , ∀x
⇒ 2024 - | 4x + 16| ≤ 2024 , ∀x
Suy ra A ≤ 2024, ∀x
Vậy GTLN của A là 2024, khi |4x + 16| = 0. Tức là 4x + 16 = 0 hay x = -4
2. Dạng 2: Tìm giá trị của biểu thức của biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:
∀x, y ∈ , ta có:
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức
B = | x + 2021| - | x + 2019|
Bài làm:
Ta có: B = | x + 2021| - | x + 2019| ≤ |[x + 2021] - [ x + 2019]| [Áp dụng tính chất ở phần lý thuyết].
Vì |[x + 2021] - [ x + 2019]| = | x + 2021 - x - 2019| = |2| = 2
Suy ra B ≤ 2
Vậy GTLN của B là 2
III. Bài tập vận dụng tìm giá trị lớn nhất của biểu thức lớp 7
1. Phần trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất [GTLN] của biểu thức
Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = -3 - |1,6 – x|
A. – 2
B. -3,2
C. -3
D. -1
ĐÁP ÁNĐáp án: C
Câu 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức là
A.2
B.
C. 5
D.
ĐÁP ÁNĐáp án: D
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = 5 - |5x + 3|
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
ĐÁP ÁNĐáp án : C
Câu 4: Tìm GTLN của biểu thức sau: E = |x + 5000| - |x – 3000|
A. 8000
B. 5000
C. 7000
D. 6000
ĐÁP ÁNĐáp án: A
Câu 5: Tìm GTLN của biểu thức sau: L = 15 - 4|x – 3|
A. 13
B. 14
C. 19
D. 15
ĐÁP ÁNĐáp án: D
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P = 9 - |7x + 3|
A. 9
B. 7
C. 5
D. 3
ĐÁP ÁNĐáp án: A
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: Z = 2,25− |1+2x|
A. 2,26
B. 2,2
C. 2,25
D. 1,24
ĐÁP ÁNĐáp án: C
2. Phần tự luận tìm giá trị lớn nhất [GTLN] của biểu thức
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức D = |x + 4000| - |x – 1000|
ĐÁP ÁNTa có:
D = |x + 4000| - |x – 1000| ≤ |x + 4000 – [x – 1000]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]
Vì | x + 4000 – [x – 1000]| = | x + 4000 – x + 1000| = |5000| = 5000
Suy ra D ≤ 5000
Vậy GTLN của D là 5000.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
ĐÁP ÁNDo |2x−3| ≥0 với ∀x nên ta có:
3 + |2x−3| ≥ 3 + 0 = 3
Suy ra: ≤
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: |2x−3|= 0 ⇔ x = 2x - 3 = 0 ⇔ x =
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức E là khi x =
Bài 3: Tìm giá trị của x và y để biểu thức có giá trị lớn nhất.
ĐÁP ÁNVì |2x+7| ≥0 ; |5y+9| ≥ 0 với ∀ x, y nên ta có: ; ;
|2x+7| + |5y+9| ≥0 ; ∀x, y
⇒ |2x+7| + |5y+9| + 14 ≥ 0 + 14; ∀ x, y
⇒ ≤ , ∀x, y;
Suy ra: ≤ , ∀x, y;
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy F đạt GTLN là khi x= và y=
Bài 4: Giá trị lớn nhất của biểu thức G = -2 - |1,6 – x|
ĐÁP ÁNG = -2 - |1,6 – x|
Vì |1,6 – x| ≥ 0; ∀ x
⇒ -|1,6 – x| ≤ 0; ∀ x
⇒ - 2 -|1,6 – x| ≤ - 2 – 0 = -2; ∀x
Do đó G ≤ - 2; ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 1,6 – x = 0 ⇒ x = 1,6
Vậy giá trị lớn nhất của G là -2 khi x = 1,6.
Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức J = |x + 500| - |x – 300|
ĐÁP ÁNTa có:
D = |x + 500| - |x – 300| ≤ |x + 500 – [x – 300]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]
Vì | x + 500 – [x – 300]| = | x + 500 – x + 300| = |800| = 800
Suy ra D ≤ 800
Vậy GTLN của D là 800.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất P = 3 - |7x + 5|
ĐÁP ÁNTa có: P = 3 - |7x + 5|
Vì |7x + 5| ≥ 0 , ∀ x;
⇒ -|7x + 5| ≤ 0, ∀ x
⇒ -|7x + 5| + 3 ≤ 3, ∀ x
⇒ 3 - |7x + 3| ≤ 3, ∀ x
Suy ra B ≤ 3, ∀ x
Vậy GTLN của B là 3, khi |7x + 5| = 0, nghĩa là 7x + 5 = 0 ⇒ x =
Bài 7: Giá trị lớn nhất của biểu thức là bao nhiêu?
ĐÁP ÁNTa có: |2x - 3| ≥ 0 ,∀ x
⇒ |2x – 3| + 5 ≥ 0 + 5 = 5, ∀ x
⇒ , ∀ x [lấy 1 chia cả hai vế, bất đẳng thức đổi dấu]
Suy ra R ≤ , ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 2x – 3 = 0 hay x =
Vậy giá trị lớn nhất của R là khi x =
Trên đây là cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức cùng một số dạng bài tập thường gặp. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn thuận lợi trong quá trình học tập và giúp cho các bạn có thể dễ dàng giải một số dạng toán liên quan đến bài viết này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
Hướng dẫn Giải:
A = |x + 22| + |x + 12| + |x + 1944|
A = |x + 22| + |- x – 12| + |x + 1994| ≥ |x + 22| + |- x – 12 + x + 1994|
A ≥ |x + 22| + |1982|
A ≥ |x + 22| + 1982
=> A ≥ 1982
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: [-x – 12][x + 1994] ≥ 0 và x + 22 = 0
=> [-x – 12][x + 1994] ≥ 0 và x = – 22.
=> x = – 22 là thỏa mãn.
Vậy, với x = -22 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là: 1982.
Tìm hiểu về bài tập tìm giá trị nhỏ nhất và phương pháp làm bài
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức là dạng toán nằm trong chương trình nâng cao lớp 7 hoặc câu khó của đề thi học kì 2 Toán 7.
Bài tập trên chúng tôi vừa đưa ra là dạng bài tập cơ bản, chưa cần sử dụng nhiều kĩ năng làm bài. Bởi lũy thừa cao nhất vẫn nằm ở bậc nhất. Còn đối với lũy thừa cao hơn thì phương pháp giải nó không còn giống nữa.
Đây là dạng bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có chứa dấu trị tuyệt đối. Trị tuyệt đối là dấu tương đối đặc biệt trong toán học. Do đó cách giải của dạng này cũng đặc biệt không kém.
Trong bài này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp giải bài tập với lũy thừa của x là bậc 1. Mấu chốt để làm bài này là biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối thì biểu thức đó cũng bằng biểu thức đối của nó.
Ví dụ, có biểu thức a thì │a│=│-a│. Từ đó, học sinh sẽ tìm cách biến đổi có điều kiện cho biểu thức để tìm ra giá trị nhỏ nhất có thể. Mỗi bài toán sẽ có một cách biến đổi linh hoạt nhưng đều dựa vào quy tắc ở trên.
Hi vọng các bạn có thể lĩnh hội và hoàn thành thật tốt dạng toán này nhé!
Bài tập vận dụng
Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra những bài tập ví dụ tương tự. Các bạn hãy áp dụng lý thuyết ở trên và phần bài tập ví dụ để hoàn thiện những bài tập này nhé. Tìm giá trị nhỏ nhất của những biểu thức sau:
A = │x + 1015│ + │x+2021│ + │x + 4050│
B = 0,5 – │x – 3,5│
C = 5 – │6x – 3│ + │12 + 6x│
D = -2│5x – 2│ + 4
Trần Thị Nhung
Tải tài liệu miễn phí ở đây