Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là [-1; -2]; [0;0]; [-1; 2] … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax+by≤c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax+by=c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:
+ Một nửa mặt phẳng [không kể bờ d] gồm các điểm có tọa độ x;y thỏa mãn ax+by>c;
+ Một nửa mặt phẳng [không kể bờ d] gồm các điểm có tọa độ x;ythỏa mãn ax+by 1010 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy có hệ x0 và x−y1010là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 3. Cho hệ bất phương trình x≥0y≥0x+y≤1202x+y≤180
- Tìm 2 nghiệm của hệ trên.
- Cho Fx;y=2x+2y. Tìm giá trị lớn nhất của Fx;y.
Hướng dẫn giải
- Chọn [x; y] = [1; 1].
Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp [1; 1] là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0.
Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình y ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp [1; 1] là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.
Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 120 ta được 1 + 1 ≤ 120 là mệnh đề đúng. Do đó cặp [1; 1] là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 120.
Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình 2x + y ≤ 180 ta được 2. 1 + 1 ≤ 180 là mệnh đề đúng. Do đó cặp [1; 1] là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 180.
Vậy [x; y] = [1; 1] là nghiệm của hệ bất phương trình x≥0y≥0x+y≤1202x+y≤180.
Tương tự ta chọn được [x; y] = [2; 2] thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ đã cho. Do đó [2; 2] là nghiệm của hệ bất phương trình x≥0y≥0x+y≤1202x+y≤180.
Vậy 2 nghiệm của hệ trên là [1; 1] và [2; 2].
b]
- Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0.
+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.
+ Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.
- Tương tự, miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.
- Miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 120:
+ Vẽ đường thẳng d1: x + y = 120.
+ Vì 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O[0; 0] thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 120.
Do đó, miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa gốc tọa độ O.
- Miền nghiệm D4 của bất phương trình 2x + y ≤ 180:
+ Vẽ đường thẳng d2: 2x + y = 180.
+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 180 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O[0; 0] thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 180.
Do đó, miền nghiệm D4 của bất phương trình 2x + y ≤ 180 là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa gốc tọa độ O.
Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Bài 4. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
- 0.x + 7y < 8;
- x2 + y ≥ – 18;
- 3x + 0y2 < 19;
- 4x – 5 < 3y.
Hướng dẫn giải
Các bất phương trình là bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
- 0.x + 7y < 8 có dạng ax + by < c với a = 0, b = 7 và c = 8. . Do đó a] là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- x2 + y ≥ – 18 là bất phương trình bậc hai nên b] không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- 3x + 0y2 < 19 ⇔ 3x < 19 có dạng ax + by < c với a = 3, b = 0 và c = 19. Do đó c] là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- 4x – 5 < 3y ⇔ 4x – 3y < 5 có dạng ax + by < c với a = 4, b = – 3 và c = 5. Do đó d] là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy các bất phương trình a, c, d là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 5. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 2x – y < 10. Cặp nghiệm nào sau đây là nghiệm của bất phương trình trên?
[x; y] = [2; 5], [4; 8], [10; 6], [4; –7], [11; 12].
Hướng dẫn giải
Thay [x; y] = [2; 5] vào bất phương trình ta có: 2.2 – 5 < 10 [luôn đúng]. Do đó cặp số [2;5] là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Thay [x; y] = [4; 8] vào bất phương trình ta có: 2.4 – 8 < 10 [luôn đúng]. Do đó cặp số [4;8] là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Thay [x; y] = [10; 6] vào bất phương trình ta có: 2.10 – 6 < 10 [vô lí]. Do đó cặp số [5;6] không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Thay [x; y] = [4; –7] vào bất phương trình ta có: 2.4 – [– 7] < 10 [vô lí]. Do đó cặp số [4;–7] không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Thay [x; y] = [11; 12] vào bất phương trình ta có: 2.11 – 12 < 10 [vô lí]. Do đó cặp số [11;12] không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy ta có cặp nghiệm thỏa mãn là: [x; y] = [2; 5], [4; 8].
Bài 6. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 4x+y≤15.
- Chỉ ra 2 nghiệm của bất phương trình trên.
- Với x = 0 thì có bao nhiêu giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.
Hướng dẫn giải
- Chọn [x; y] = [0; 0]
Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 0 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp [0; 0] là nghiệm của bất phương trình.
Chọn [x; y] = [0; 1]
Thay x = 0 và y = 1 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 1 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp [0; 1] là nghiệm của bất phương trình.
Vậy hai cặp nghiệm của bất phương trình: x;y=0;0,0;1.
- Với x = 0 thì bất phương trình trở thành: y≤15 và có vô số giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.
B2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1. Bạn Lan để dành được 300 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ học sinh khó khăn, bạn Lan đã ủng hộ x tờ tiền loại 10 nghìn đồng, y tờ tiền loại 20 nghìn đồng từ tiền để dành của mình. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào diễn tả giới hạn về tổng số tiền mà bạn Lan đã ủng hộ.
- x + y < 300;
- 10x + y < 300;
- 10x + 20y > 300;
- 10x + 20y ≤ 300.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số tiền mệnh giá 10 nghìn đồng là: 10x [nghìn đồng]
Số tiền mệnh giá 20 nghìn đồng là: 20y [nghìn đồng]
Tổng số tiền bạn Lan đã ủng hộ là: 10x + 20y [nghìn đồng]
Vì tổng số tiền Lan ủng hộ không vượt quá số tiền Lan để dành được là 300 nghìn đồng nên ta có bất phương trình: 10x + 20y ≤ 300
Vậy ta chọn đáp án D.
Bài 2. Miền không gạch chéo trong hình vẽ dưới đây [không chứa bờ], biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
- x−y≥−22x−y≥1
- x−y>−22x−y−22x−y 7[x – 4y] + 1?
- 4x – 27y + 1 > 0;
- 4x – 27y + 1 ≥ 0;
- 4x – 27y < –1;
- 4x – 27y + 1 ≤ 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
3x – y > 7[x – 4y] + 1
⇔ 3x – y > 7x – 28y + 1
⇔ 0 > 7x – 3x – 28y + y + 1
⇔ 4x – 27y + 1 < 0
⇔ 4x – 27y < –1.
Vậy ta chọn phương án C.
Bài 4. Miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1 là miền không bị gạch trong hình vẽ nào sau đây?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng x + y = 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.
Với cặp số [x;y] = [0;0] ta có: 0 + 0 = 0 < 1 nên cặp số [x ; y ] = [0;0] là nghiệm của bất phương trình x + y < 1.
Do đó điểm O[0;0] thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = 1, chứa điểm O[0;0] [không kể bờ].