Trong chương trình toán 12, khi xét các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số ta thường bắt gặp các bài toán về phương trình tiếp tuyến đồ thị của hàm số. Đây là một trong những dạng toán cơ bản và thường gặp trong các đề thi, để góp phần giúp các bạn có thêm những kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 580VNX giải quyết dạng toán này, diendanmaytinhcamtay.vn mời các bạn xem bài viết sau đây:
Xem thêm: Viết nhanh phương trình tiếp tuyến của hàm số tại một điểm trên máy tính casio fx 580vnx
Bài toán: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $latex [C]:y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3$ tại điểm $latex A$ có tung độ bằng 21 có phương trình là:
|
Lời giải:
Ta có tiếp tuyến của hàm số $latex y=f[x]$ tại điểm $M[{{x}_{0}};{{y}_{0}}]$ có phương trình tiếp tuyến là: $latex y=f'[{{x}_{0}}][x-{{x}_{0}}]+f[{{x}_{0}}]$ [1]
Như vậy để viết được phương trình tiếp tuyến của hàm số đã cho tại điểm $latex A[{{x}_{A}};21]$ ta cần phải tính $latex f'[{{x}_{A}}]$.
Vì $latex A\in [C]$ nên $latex 21=x_{A}^{4}+2x_{A}^{2}-3$
Ta tính giải phương trình bậc 4 ở trên bằng máy tính CASIO fx 580VNX như sau
Bước 1: Mở chức năng giải phương trình bậc 4
- Cách bấm: w924
- Máy tính hiển thị:
Xem thêm: Chức năng giải phương trình bậc 4 trên Casio fx 580vnx
Bước 2: Nhập hệ số của phương trình $latex x_{A}^{4}+2x_{A}^{2}-24=0$
- Cách bấm:1=0=2=0=p3p21=
- Máy tính hiển thị:
Bước 3: Nhấn phím = và nhận kết quả:
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực là $latex x=\pm 2$.
Với $latex x=2$, để tính $latex f'[2]$ ta thực hiện trên máy như sau:
Bước 1: Nhập biểu thức $latex {{\left. \dfrac{d}{dx}\left[ {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3 \right] \right|}_{x=2}}$ [Lưu ý: chuyển máy tính về chế độ tính toán chung w1 trước khi nhập]
- Cách bấm: qy[^42
- Máy tính hiển thị:
Bước 2: Nhấn phím = và nhận kết quả:
Vậy $latex f'[2]=40$. Thay vào [1] ta được một phương trình tiếp tuyến thoả yêu cầu bài toán là: $latex y=40x-59$
Với $latex x=-2$, thao tác tương tự ta được một phương trình tiếp tuyến là $latex y=-40x-101$.
Vậy ta chọn đáp án B.
Xem thêm sơ lược tính năng nổi trội trên máy tính CASIO fx 580VNX
Bài Viết Tương Tự
Bài toán 1: Giải phương trình $x^2+6x-3=4x\sqrt{2x-1} [1]$ Hướng dẫn giải Cách 1 Điều kiện: …
Bài Viết Tương Tự
Bài toán 1: Giải phương trình $x^2+6x-3=4x\sqrt{2x-1} [1]$ Hướng dẫn giải Cách 1 Điều kiện: …
Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,74,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,259,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,939,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,157,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,381,Đề thi thử môn Toán,48,Đề thi Tốt nghiệp,41,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,210,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,185,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,349,Giáo trình - Sách,80,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,192,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,36,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,50,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,280,Ôn thi vào lớp 10,1,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,5,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,10,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,6,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,129,Toán 11,173,Toán 12,366,Toán 9,64,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,4,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,270,Tuyển sinh lớp 6,7,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
1] KIẾN THỨC NỀN TẢNG
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị [C] và một điểm $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ thuộc đồ thị [C] . Tiếp tuyến của đồ thị [C] tại tiếp điểm M là đường thẳng d có phương trình: $y = f’\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + {y_0}$
2] VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 ]
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = – \frac{1}{x} – \ln x$ tại điểm có hoành độ bằng 2
A. $\frac{1}{2} – \ln 2$
B. $ – \frac{1}{4}$
C. $ – \frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{4}$
GIẢI
Gọi tiếp điểm là $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + {y_0}$
Sử dụng máy tính Casio để tính hệ số góc tiếp tuyên tại điểm có hoành độ bằng 2 $ \Rightarrow k = f’\left[ 2 \right]$
Ta thấy$k = f’\left[ 2 \right] = – 0.25 = – \frac{1}{4}$ .
=>B là đáp án chính xác
Bài 2-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ]
Cho hàm số $y = – {x^3} + 3x – 2$ có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại giao điểm của [C] với trục tung.
A. $y = – 2x + 1$
B. $y = 3x – 2$
C. $y = 2x + 1$
D. $y = – 3x – 2$
GIẢI
Gọi tiếp điểm là $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + {y_0}$ M là giao điểm của đồ thị [C] và trục tung $ \Rightarrow $ M có tọa độ $\left[ {0; – 2} \right]$
Tính $f’\left[ 0 \right] = 0$
Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = 3\left[ {x – 0} \right] – 2 \Leftrightarrow y = 3x – 2$
$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác
Bài 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 ]
Số tiếp tuyến với đồ thị $\left[ C \right]$ : $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đi qua điểm M[1;0] là :
A. 4
B.2
C. 3
D. 1
GIẢI
Gọi tiếp điểm là $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left[ {{x_0}} \right] = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Thế $f’\left[ {{x_0}} \right]$ vào phương trình tiếp tuyến được $y = \left[ {3x_0^2 – 6{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
Tiếp tuyến đi qua điểmM[1;0] $ \Rightarrow 0 = \left[ {3x_0^2 – 6{x_0}} \right]\left[ {1 – {x_0}} \right] + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
$ \Leftrightarrow – 2x_0^3 + 6x_0^2 – 6{x_0} + 2 = 0$
Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên
Ta thấy có 1 nghiệm ${x_0}$ $ \Rightarrow $ Chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất.
=>D là đáp án chính xác
Bài 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ có đồ thị [C]. Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của với hệ số góc nhỏ nhất
A. $y = – 3x + 3$
B. $y = – 3x – 3$
C. y= -3x
D. y=0
GIẢI
Gọi tiếp điểm là $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left[ {{x_0}} \right] = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7
Ta thấy $f’\left[ {\min } \right] = f’\left[ 1 \right] = – 3 \Rightarrow {x_0} = – 3$ $ \Rightarrow {y_0} = {1^3} – {3.1^2} + 2 = 0$
Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = – 3\left[ {x – 1} \right] + 0 \Leftrightarrow y = – 3x + 3$
$ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác
Bài 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$ [C] Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của [C] đến một tiếp tuyến bất kì của [C] . Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là :
A. $3\sqrt 3 $
B. $\sqrt 3 $
C. $\sqrt 2 $
D. $2\sqrt 2 $
GIẢI
Gọi tiếp điểm là $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left[ {{x_0}} \right] = – \frac{1}{{{{\left[ {{x_0} + 1} \right]}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = – \frac{1}{{{{\left[ {{x_0} + 1} \right]}^2}}}\left[ {x – {x_0}} \right] + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left[ {{x_0} + 1} \right]}^2}}}x + y – \frac{{{x_0}}}{{{{\left[ {{x_0} + 1} \right]}^2}}} – \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}} = 0$
Hàm số có tiệm cận đứng x= -1 và tiệm cận ngang y = 1 nên giao điểm hai tiệm cận là I [-1;1].
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có:
$h = d\left[ {I;\left[ d \right]} \right] = \frac{{\left| {\frac{1}{{{{\left[ {{x_0} + 1} \right]}^2}}}\left[ { – 1} \right] + 1 – \frac{{{x_0}}}{{{{\left[ {{x_0} + 1} \right]}^2}}} – \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ {\frac{1}{{{{\left[ {{x_0} + 1} \right]}^2}}}} \right]}^2} + {1^2}} }}$
Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 để tính các giá trị lớn nhất này.
Ta thấy $h\left[ {\max } \right] = \sqrt 2 $
$ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác
Bài 6-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội ]
Hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$ [H], M là điểm bất kì và $M \in \left[ H \right]$ . Tiếp tuyến với [H] tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng :
A. 4
B.5
C. 3
D. 2
GIẢI
Gọi tiếp điểm là $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x – {x_0}} \right] + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left[ {{x_0}} \right] = – \frac{1}{{{{\left[ {{x_0} – 1} \right]}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = – \frac{1}{{{{\left[ {{x_0} – 1} \right]}^2}}}\left[ {x – {x_0}} \right] + \frac{{2{x_0} – 1}}{{{x_0} – 1}}$ [d]
Hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=2 và giao điểm 2 tiệm cận là I [1;2]
Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng $ \Rightarrow E\left[ {1;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}}} \right]$
Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang $ \Rightarrow F\left[ {2{x_0} – 1;2} \right]$
Độ dài $IE = \left| {\overrightarrow {IE} } \right| = \sqrt {{{\left[ {1 – 1} \right]}^2} + \left[ {\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}} – 2} \right]} = \frac{2}{{\left| {{x_0} – 1} \right|}}$
Độ dài $IF = \sqrt {{{\left[ {2{x_0} – 1 – 1} \right]}^2} + {{\left[ {2 – 2} \right]}^2}} = 2\left| {{x_0} – 1} \right|$ Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có :
Diện tích $\Delta IEF$ $ = \frac{1}{2}IE.IF = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\left| {{x_0} – 1} \right|}}.2\left| {{x_0} – 1} \right| = 2$ $ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác
BÀI TẬP T Ự LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{2x – 1}}$ . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng có hệ số góc bằng :
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $ – \frac{1}{3}$
D. $ – \frac{1}{6}$
Bài 2-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 ]
Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị [C] của hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$ sao cho tiếp tuyến của [C] tại M song song với đường thẳng $d:y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
A. $\left[ {0;1} \right],\left[ {2;3} \right]$
B. $\left[ {1;0} \right],\left[ { – 3;2} \right]$
C. $\left[ { – 3;2} \right]$
D. [1;0]
Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ có đồ thị [C] . Tiếp tuyến của [C] tại giao điểm của [C] và trục hoành có phương trình là :
A. y=3x
B. y= 3x-3
C. y= x-3
D. $y = \frac{1}{3}x – \frac{1}{3}$
Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 ]
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 9x – 16$
A. y = 9x – 16
B. y = 9x + 12
C. y = 9x – 10
D. y = 9x – 12
Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 ]
Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị $\left[ C \right]:y = \frac{1}{3}{x^2} – x + \frac{2}{3}$ sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng $y = – \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
A. $M\left[ { – 2;0} \right]$
B. $M\left[ { – 3; – \frac{{16}}{3}} \right]$
C. $\left[ { – 1;\frac{4}{3}} \right]$
D. $M\left[ {\frac{1}{2};\frac{9}{8}} \right]$
Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012]
Cho hàm số $y = \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2}\left[ C \right]$ . Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ biết $f”\left[ {{x_0}} \right] = – 1$
A. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x – \frac{5}{4}\\ y = 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l} y = 3x – \frac{5}{4}\\ y = – 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x – \frac{5}{4}\\ y = 3x – \frac{5}{4} \end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x + \frac{5}{4}\\ y = 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$