Bài 3. Cho phương trình:
\[{x^2} – 4mx + 9{[m – 1]^2} = 0\]
a] Xem xét với giá trị nào của \[m\], phương trình trên có nghiệm.
b] Giả sử \[x_1,x_2\] là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \[x_1\] và \[x_2\] không phụ thuộc vào \[m\].
c] Xác định \[m\] để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \[4\].
a] \[Δ’ = 4m^2– 9[m-1] = -5m^2+ 18m – 9 ≥ 0\]
\[\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3\]
Phương trình có nghiệm nếu \[m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\]
b] Với \[m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\] phương trình có các nghiệm \[x_1,x_2\] thỏa mãn
\[x_1+x_2= 4m\] [1] và \[x_1.x_2= 9[m-1]^2\] [2]
Quảng cáo - Advertisements
$mx^2-[2m+3]x+m-4=0$ [1]
Để phương trình [1] là phương trình bậc hai $⇔m\neq0$
a. $\Delta=[-[2m+3]]^2-4.m.[m-4]$
$=4m^2+12m+9-4m^2+16m$
$=28m+9$
Để phương trình có hai nghiệm [có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt]
$⇔\Delta≥0$
$⇔28m+9≥0$
$⇔m\ge\dfrac{-9}{28}$
Vậy để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $m\ge\dfrac{-9}{28}$
b. Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{2m+3}{m}\\x_1.x_2=\dfrac{m-4}{m}\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1+x_2=2+\dfrac{3}{m}\\x_1.x_2=1-\dfrac{4}{m}\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}\dfrac{3}{m}=x_1+x_2-2[1]\\\dfrac{4}{m}=1-x_1.x_2[2]\end{cases}$
Từ [1] $\Rightarrow m=\dfrac{3}{x_1+x_2-2}$
Từ [2] $\Rightarrow m=\dfrac{4}{1-x_1.x_2}$
$\Rightarrow \dfrac{3}{x_1+x_2-2}=\dfrac{4}{1-x_1.x_2}$
$⇔3-3x_1.x_2=4[x_1+x_2]-8$
$⇔4[x_1+x_2]+3x_1.x_2=11$
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1,x_2$ không phụ thuộc vào $m$ là $4[x_1+x_2]+3x_1.x_2=11$
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m Toán học lớp 9 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m.
A. Phương pháp giải
Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau:
B1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 [∆ ≥ 0]
B2: áp dụng Vi-et tìm:
B3: Biến đổi kết quả không chứa tham số nữa
Ví dụ 1: Cho phương trình x2-2[m-1]x+m-3=0 [m là tham số]. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
Giải
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Lấy [1] – [2]: x1 + x2 - 2 x1x2 = 4 không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 + [2m – 1]x + m – 1 = 0 [m là tham số]. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
Giải
Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Lấy [1] + [2]: 2[x1 + x2] +4x1x2 = -1 không phụ thuộc vào m
B. Bài tập
Câu 1: Cho phương trình [m + 2]x2 - [m + 4]x + 2 - m = 0 [m là tham số]. Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.
A. 3[x1 + x2] - x1x2 = 4
B. [x1 + x2] + 2x1x2 = 0
C. 2[x1 + x2] - x1x2 = 3
D. [x1 + x2] + x1x2 = 2
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Lấy [1] - [2]: 2[x1 + x2] - x1x2 = 3 không phụ thuộc vào m
Đáp án đúng là C
Câu 2: Cho phương trình x2 - 2[2m + 1]x + 3 – 4m = 0 [m là tham số]. Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.
A. x1 + x2 - x1x2 = 4
B. x1 + x2 + x1x2 = 5
C. x1 + x2 - x1x2 = 3
D. x1 + x2 + x1x2 = 2
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Lấy [1] + [2]: x1 + x2 + x1x2 = 5 không phụ thuộc vào m
Đáp án đúng là B
Câu 3: Cho phương trình mx2 + 2[m – 2]x + m – 3 = 0 [m là tham số]. Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.
A. 2[x1 + x2] - x1x2 = 3
B. x1 + x2 - 4x1x2 = 2
C. x1 + x2 - 3x1x2 = 1
D. 3[x1 + x2] + 4x1x2 = -2
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2
Khi đó theo Vi-ét ta có:
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
Đáp án đúng là D
Câu 4: Cho phương trình [m – 4]x2 - 2[m – 2]x + m – 1 = 0 [m là tham số]. Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.
A. 3[x1 + x2] - 4x1x2 = 2
C. x1 + x2 - x1x2 = 2
B. x1 + x2 - 4x1x2 = 0
D. 3[x1 + x2] + 4x1x2 = -2
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Lấy [1] - [2]: 3[x1 + x2] - 4x1x2 = 2 không phụ thuộc vào m
Đáp án là A
Câu 5: Cho phương trình x2 - 2[m – 1]x + m2 – 3m = 0 [m là tham số]. Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
A. [x1 + x2]2 - x1x2 - [x1 + x2] = 5
B. [x1 + x2]2 - 2x1x2 - 4[x1 + x2] = 8
C. [x1 + x2]2 - 4x1x2 - 2[x1 + x2] = 6
D. [x1 + x2]2 - 4x1x2 - 2[x1 + x2] = 8
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Lấy [1] - [2]: [x1 + x2]2 - 4x1x2 = 4m + 4[*]
Mặt khác từ: x1 + x2 = 2m - 2 ⇒ 2[x1 + x2] = 4m - 4 ⇒ 2[x1 + x2] + 4 = 4m. Thay vào [*] ta được:
[x1 + x2]2 - 4x1x2 = 2[x1 + x2] + 4 + 4
⇔ [x1 + x2]2 - 4x1x2 - 2[x1 + x2] = 8 không phụ thuộc vào m
Đáp án đúng là D
Câu 6: Cho phương trình [m – 1]x2 - 2[m + 1]x + m = 0 [m là tham số]. Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.
A. x1 + x2 - x1x2 = 2
B. x1 + x2 - 4x1x2 = -2
C. x1 + x2 - 3x1x2 = -1
D. x1 + x2 + 5x1x2 = 7
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Lấy [1] - [2]:
Mặt khác từ:
Thay vào [*] ta được: x1 + x2 - 2x1x2 = 2x1x2 - 2 không phụ thuộc vào m
Đáp án đúng là B
Câu 7: Cho phương trình x2 + 2[m + 1]x + 2m = 0 [m là tham số]. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
A. [x1 + x2] + x1x2 = -2
B. 2[x1 + x2] + x1x2 = 0
C. [x1 + x2] + 2x1x2 = -1
D. [x1 + x2] - x1x2 = -2
Giải
Vì ∆ꞌ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có :
Lấy [1] + [2]: [x1 + x2] + x1x2 = -2 không phụ thuộc vào m
Đáp án đúng là A
Câu 8: Cho phương trình 2x2 + [2m – 1]x + m – 1 = 0 [m là tham số]. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
A. [x1 + x2] - 4x1x2 = -4
B. 2[x1 + x2] + 4x1x2 = 0
C. 2[x1 + x2] + 4x1x2 = -1
D. [x1 + x2] - x1x2 = 2
Giải
Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-et ta có :
Lấy [1] + [2]: 2[x1 + x2] +4x1x2 = -1 không phụ thuộc vào m
Đáp án đúng là C