A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta sử dụng :
- Tính chất về góc của một tam giác, một tứ giác: Tổng các góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$, tổng các góc trong một tứ giác bằng $360^{\circ}$.
- Khái niệm: Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{\circ}$.
- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 1: Tìm x ở trên hình a và b
Hướng dẫn:
a] Áp dụng tính chất về góc cho tứ giác OPSR ta được:
$\widehat{O}+\widehat{P}+\widehat{S}+\widehat{R}=360^{\circ}$
Hay $x+x+65^{\circ}+95^{\circ}=360^{\circ}\Leftrightarrow 2x+160^{\circ}=360^{\circ}\Leftrightarrow x=100^{\circ}$
b] Áp dụng tính chất về góc trong tứ giác MNPQ ta được:
$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360^{\circ}$
Hay $3x+4x+x+2x=360^{\circ}\Leftrightarrow 10x=360^{\circ}\Leftrightarrow x=36^{\circ}$
Ví dụ 2: Góc kề bù với một góc trong của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác.
a] Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình.
b] Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác.
Hướng dẫn:
a] Áp dụng tính chất về góc trong tứ giác ABCD ta được:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$
$\Rightarrow 75^{\circ}+90^{\circ}+120^{\circ}+\widehat{D}=360^{\circ}$
$\Leftrightarrow \widehat{D}=75^{\circ}$
Vì mỗi góc ngoài kề bù với một góc của tứ giác nên:
$\widehat{A_{1}}=180^{\circ}-\widehat{A}=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$
$\widehat{B_{1}}=180^{\circ}-\widehat{B}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$
$\widehat{C_{1}}=180^{\circ}-\widehat{C}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$
$\widehat{D_{1}}=180^{\circ}-\widehat{D}=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$
b] Nhận xét: Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng $360^{\circ}$
B. Bài tập & Lời giải
1. Cho tứ giác ABCD có: $\widehat{B}=120^{\circ};\widehat{C}=50^{\circ};\widehat{D}=90^{\circ}$. Tính góc A và góc ngoài tứ giác tại đỉnh A.
2. Tứ giác BCDE có: $\widehat{B}=120^{\circ};\widehat{C}=50^{\circ}; \widehat{D}-\widehat{E}=40^{\circ}$. Tính $\widehat{D};\widehat{E}$
3. Tính các góc của tứ giác EFGH biết:
$\widehat{E}:\widehat{F}:\widehat{G}:\widehat{H}=1:2:4:5$
Xem lời giải
1. Các kiến thức cần nhớ
Tứ giác
Định nghĩa : Tứ giác $ABCD$ là một hình gồm bốn đoạn thẳng $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA,$ trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
Tứ giác lồi
Định nghĩa: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.
Ví dụ: Tứ giác \[ABCD\] [hình 1] là tứ giác lồi
Tổng các góc của một tứ giác
Định lý : Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360^0}.$
Ví dụ: Tứ giác \[ABCD\] có \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \]
Chú ý: Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.
Ví dụ: Góc \[CBx\] là góc ngoài tại đỉnh \[B\] của tứ giác \[ABCD\] \[ \Rightarrow \widehat {CBx} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\]
Đa giác đều
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng tính chất về các góc của một tứ giác để tính góc
Phương pháp:
Ta sử dụng các kiến thức:
+ Tổng bốn góc của một tứ giác bằng${360^0}$ .
+ Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên quan đến các cạnh của một tứ giác
Phương pháp:
Ta sử dụng các kiến thức sau:
+ Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
+ Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
+ Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
Nghĩa là: Trong tam giác \[ABC\] ta có $\left| {AB-AC} \right| < BC < AB + AC$.
1. Định nghĩa:
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC,
CD, DA, trong đó bất kì đoạn thẳng nào cũng không
cùng nằm trên một đường thẳng.
2. Tứ giác lồi:
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt
phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào
của tứ giác [ hình a].
3. Tổng các góc của một tứ giác:
Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600
4.Bài tập:
Bài 1. Tìm x ở hình 5, hình 6:[SGK]
Bài giải:
a] x = 3600 - [1100 + 1200 + 800] = 500
b] x = 3600 – [900 +900+ 900] = 900
c] x = 3600 – [900 + 900 + 650] =1150
d] x = 3600 – [750 + 1200 +900] = 750
vì = 1800 - 600 =1200
= 1800 – 1050 = 750
Ở hình 6.
a] 2x = 3600 – [650 + 950]
x =1000
b] 2x + 3x + 4x + x = 3600
10x = 3600
x = 360
Bài 2. Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác.
a] Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 7a.
b] Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 7b [tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài] : + ++=?
c] Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác?
Bài giải:
a] Góc ngoài còn lại: =3600 – [750 + 900 + 1200] = 750
Ta tính được các góc ngoài tại các đỉnh A, B, C, D lần lượt là:
1050, 900, 600, 1050
b]Hình 7b SGK:
Tổng các góc trong + ++=3600
Nên tổng các góc ngoài
+ ++=[1800 - ] + [1800 - ] + [1800 - ] + [1800 - ]
=[1800.4 - [ +++ ]
=7200 – 3600 =3600
c] Nhận xét: Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng 3600
Bài 3. Ta gọi tứ giác ABCD trên hình 8 có AB = AD, CB = CD là hình "cái diều"
a] Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD.
b] Tính , biết rằng = 1000 và = 600 .
Bài giải:
a] Ta có: AB = AD [gt] => A thuộc đường trung trực của BD
CB = CD [gt] => C thuộc đường trung trực của BD.
Vậy AC là đường trung trực của BD.
b] Xét ∆ ABC và ∆ADC có AB = AD [gt]
BC = DC [gt]
AC cạnh chung
nên ∆ ABC = ∆ADC [c.c.c]
Suy ra:
Ta có + = 3600 – [1000 + 600] = 2000
Do đó = 1000
Bài 4. Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại các tứ giác ở hình 9, hình 10 vào vở.
Bài giải:
Vẽ lại các tứ giác ở hình 9, hình 10 sgk vào vở
* Cách vẽ hình 9: Vẽ tam giác ABC trước rồi vẽ tam giác ACD [hoặc ngược lại].
- Vẽ đoạn thẳng AC = 3cm.
- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC, vẽ cung tròn tâm A bán kính 1,5cm với cung tròn tâm C bán kính 2cm.
- Hai cung tròn trên cắt nhau tại B.
- Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC.
Tương tự ta sẽ được tam giác ACD.
Tứ giác ABCD là tứ giác cần vẽ.
* Cách vẽ hình 10: Vẽ tam giác MQP trước rồi vẽ tam giác MNP.
Vẽ tam giác MQP biết hai cạnh và góc xen giữa.
- Vẽ góc
- Trên tia Qx lấy điểm M sao cho QM = 2cm.
- Trên tia Qy lấy điểm P sao cho QP= 4cm.
- Vẽ đoạn thẳng MP, ta được tam giác MQP.
Vẽ tam giác MNP biết ba cạnh, với cạnh MP đã vẽ. Tương tự cách vẽ hình 9, điểm N là giao điểm của hai cung tròn tâm M, P bán kính lần lướt là 1,5cm; 3cm.
Tứ giác MNPQ là tứ giác cần vẽ.
Bài 5. Đố. Đố em tìm thấy vị trí của "kho báu" trên hình 11, biết rằng kho báu nằm tại giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD, trong đó các đỉnh của tứ giác có tọa độ như sau: A[3 ; 2], B[2 ; 7], C[6 ; 8], D[8 ; 5].
Bài giải:
Các bước làm như sau:
- Xác định các điểm A, B, C, D trên hình vẽ với A[3 ; 2], B[2 ; 7], C[6 ; 8], D[8 ; 5].
- Vẽ tứ giác ABCD.
- Vẽ hai đường chéo AC và BD. Gọi K là giao điểm của hai đường chéo đó.
- Xác định tọa độ của điểm K: K[5 ; 6]
Vậy vị trí kho báu có tọa độ K[5 ; 6] trên hình vẽ.