Cách vẽ đồ thị hàm số lượng giác 11

Hãy vẽ đồ thị của các hàm số. Bài 1.7 trang 13 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11 – Bài 1. Hàm số lượng giác

Hãy vẽ đồ thị của các hàm số

a] y = 1 + sin x  

b] y = cos x – 1  

c] \[y = \sin \left[ {x – {\pi  \over 3}} \right]\]    

d] \[y = \cos \left[ {x + {\pi  \over 6}} \right]\]   

a] Đồ thị hàm số y = 1 + sin x thu được từ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên phía trên một đơn vị.

Quảng cáo

b] Đồ thị hàm số y = cos x – 1 thu được từ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dưới một đơn vị.

c] Đồ thị hàm số \[y = \sin \left[ {x – {\pi  \over 3}} \right]\] thu được từ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang phải một đoạn bằng \[{\pi  \over 3}\]

d] Đồ thị hàm số \[y = \cos \left[ {x + {\pi  \over 6}} \right]\] thu được từ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang trái một đoạn bằng \[{\pi  \over 6}\]

Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung Giá trị lượng giác	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{2}\]
\[\sin x\]	0	\[\frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	1
\[\cos x\]	1	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{1}{2}\]	0
\[\tan x\]	0	\[\frac{\sqrt{3}}{3}\]	1	\[\sqrt{3}\]	||
\[\cot x\]	||	\[\sqrt{3}\]	1	\[\frac{\sqrt{3}}{3}\]	0

2. Hàm số\[\sin\]và hàm sốcôsin

a]Hàm sốsin

Có thể đặt tương ứng mỗi số thực x với một điểm M duy nhất trên đường tròn lượng giác mà số đo cung\[\widehat{AM}\]bằng x [rad] hình [a]. Điểm M có tung độ hoàn toàn xác định, đó chính là giá trị sin x

A' A B M O B' sin x sinx M' O x y x [a] [b]

Biểu diễn giá trị của x trên trục hoành và giá trị của sin x trên trục tung, ta được hình [b]

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x :

sin :\[R\rightarrow R\]

\[x\rightarrow y=\sin x\]

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là\[y=\sin x\]

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = sin x

- Tập xác định của hàm số sin là R

- Miền giá trị: \[-1\le\sin x\le1\]

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì\[2\pi\]< vìsin[x+2k\[\pi\]] = sin[x] >

- Đồ thị hàm số: Để vẽ đồ thị hàm số trên toàn trục số, ta vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên , rồi sử dụng tính chất hàm số lẻ để suy ra đồ thị trên [hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ] và suy ra đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn chu kì\[2\pi\]của hàm sin x.

Bạn đang xem: Cách vẽ đồ thị hàm số lượng giác

+] vẽ đồ thị trên :

x	0	\[\frac{\pi}{6}\]	\[\frac{\pi}{4}\]	\[\frac{\pi}{3}\]	\[\frac{\pi}{2}\]	\[\frac{2\pi}{3}\]	\[\frac{3\pi}{4}\]	\[\frac{5\pi}{6}\]	\[\pi\]
sin x	0	\[\frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	1	\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2}}{2}\]	\[\frac{1}{2}\]	0

Khảo sát sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên , đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x =\[\frac{\pi}{2}\].

Xem thêm: Giáo Án Lớp 5 Môn Âm Nhạc: Học Hát: Bài Những Bông Hoa Những Bài Ca Pptx

x y = sin x 0 2 0 1 0

+] Vẽ đồ thị trên toàn trục số: áp dụng tính chất hàm lẻ, lấy đối xứng đồ thị trên đoạn qua gốc tọa độ; sau đó áp dụng tính chất tuần hoàn chu kì\[2\pi\]ta được đồ thị hàm số sin đầy đủ như sau:

b] Hàm số côsin

O A' A B B' cos x M'' cos x O x x y Hình 2

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x

\[\cos:R\rightarrow R\]

\[x\rightarrow y=\cos x\]

được gọi là hàm côsin, ký hiệu là\[y=\cos x\]

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = cosx

- Tập xác định của hàm số côsin là R

- Miền giá trị: \[-1\le\cos x\le1\]

- Là hàm số chẵn

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì\[2\pi\]< vì cos[x+2k\[\pi\]] = cos[x] >

- Đồ thị hàm số: Để vẽ đồ thị hàm số y = cos x ta có 2 cách:

Cách 1: tương tự cách vẽ hàm số sin x ở trên, tavẽ đồ thị hàm số y = cosx trên , rồi sử dụng tính chất hàm số chẵnđể suy ra đồ thị trên [hàm số chẵnđối xứng qua trục tung]; sau đósuy ra đồ thị trên toàn trục số dựa trên tính chất tuần hoàn chu kì\[2\pi\]của hàm cosx.

Xem thêm: Bài Tập Vật Lý Lớp 8 Có Lời Giải Bài Tập Vật Lí 8, 200 Bài Tập Vật Lý Nâng Cao Lớp 8

Cách 2: Đồ thị y = cos x có thể suy ra từ đồ thị hàm số y = sin x như sau: Ta có cos x = sin\[\left[x+\frac{\pi}{2}\right]\]. Vậy nếu ta tịnh tiến đồ thị y = sin x theo vec tơ\[\overrightarrow{u}=\left[-\frac{\pi}{2};0\right]\][tức là tịnh tiến sang trái mọt đoạn có đọ dài bằng\[\frac{\pi}{2}\], song song với trục hoành] thì ta được đồ thị hàm số y = cos x [xem hình vẽ dưới].

2. Hàm số tang và hàm số côtang

a] Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức :\[y=\frac{\sin x}{\cos x},\left[\cos x\ne0\right]\], ký hiệu là\[y=\tan x\]

- Tập xác định:Vì\[\cos x\ne0\]khi và chỉ khi\[x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\left[k\in Z\right]\]nên tập xác định của hàm số\[y=\tan x\]là\[D=R\]/\[\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\]

- Là hàm số lẻ < vìtan [-x] = - tan[x]

- Hàm số tuần hoàn chu kì\[\pi\]

- Đồ thị: Vẽ đồ thị trên đoạn

b] Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức :\[y=\frac{\cos x}{\sin x},\left[\sin x\ne0\right]\], ký hiệu là\[y=\cot x\]

- Tập xác định:Vì\[\sin x\ne0\]khi và chỉ khi\[x\ne k\pi\left[k\in Z\right]\]nên tập xác định của hàm số\[y=\cot x\]là\[D=R\]/\[\left\{k\pi,k\in Z\right\}\]

Chuyên đề hàm số lượng giác học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Đại số và Giải tích 11. Đây là một trong những phần kiến thức trọng tâm của chương trình. Nhằm giúp học sinh nắm vững hơn các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng một số dạng bài tập thường gặp, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tham khỏa nhé !

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC LÀ GÌ ? 

Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn.

Bạn đang xem: Hướng dẫn khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng các dạng toán

Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị.

Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kì.

II. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồ thị hàm số y = sinx có dạng:

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° cosx = 0 khi

 ° cosx = 1 khi

 ° cosx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

+ Tập xác định: 

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 khi

 ° sinx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng:

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:

+ Tập xác định: 

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

 ° cotx = 0 khi

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx có dạng:

III. BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.x0=π+k2π, kϵZ .

B.x0=π/2+kπ, kϵZ .

C.x0=k2π, kϵZ .

D.x0=kπ ,kϵZ .

Lời giải:.

Chọn B.

Ta có – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ – 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .

Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

A.M= 3 ;m= 0

B. M=2 ; m=0.

C. M=2 ; m= 1.

D.M= 3 ; m= 1.

Lời giải:.

Chọn C.

Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = [sin2x+ cos2x] + cos2x = 1+ cos2 x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.

A. M=3 ; m= – 1.

B. M= 1 ; m= -1.

C. M=2 ;m= -2.

D. M=0 ; m= -2.

Lời giải:.

Chọn B.

Với mọi x ta có : – 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1

⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2

Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sinx = sin[π/6]        c] tanx – 1 = 0

b] 2cosx = 1.        d] cotx = tan2x.

Lời giải:.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sin⁡x = sin⁡π/6

b]

c] tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ [k ∈ Z]

d] cot⁡x=tan⁡2x

Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] cos2 x – sin2x =0.

b] 2sin[2x – 40º] = √3

Lời giải:.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a] cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sin⁡x cos⁡x=0

        ⇔ cos⁡x [cos⁡x – 2 sin⁡x ]=0

b] 2 sin⁡[2x-40º ]=√3

⇔ sin⁡[2x-40º ]=√3/2

Bài 6: Giải các phương trình lượng giác sau:

Lời giải:.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sin⁡[2x+1]=cos⁡[3x+2]

b]

⇔ sin⁡x+1=1+4k

⇔ sin⁡x=4k [k ∈ Z]

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ [m ∈ Z]

Bài 7:.Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của nó.

Lời giải: 

– Hàm số:

+ TXĐ:

⇒ 

+ Ta có: 

+ Ta có: 

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a:

+ Hàm 

Bài 8: Xác định các khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = |sinx| trên đoạn .

Lời giải: 

+ Từ đồ thị hàm số y = |sinx| ở trên, ta xét trong đoạn , ta có:

 – Hàm số đồng biến khi 

 – Hàm số nghịch biến khi 

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu về các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng nhiều bài tập vận dụng. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu không thể thiếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 cũng đã đươc THPT Sóc Trăng giới thiêu rất cụ thể. Bạn đừng bỏ lỡ nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo dục

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng [thptsoctrang.edu.vn]