Câu 32 trang 117 sgk hình học 11 nâng cao

LG a

Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD)

Giải chi tiết:

a. Xét tứ diện DACD có DA, DC, DD đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD) được tính bởi hệ thức :

\({1 \over {D{H^2}}} = {1 \over {D{A^2}}} + {1 \over {D{C^2}}} + {1 \over {DD{'^2}}}\)

Ta có: DC = a. DD = a

\(AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = D{A^2} + D{C^2} + CC{'^2}\)

Hay \(4{a^2} = D{A^2} + {a^2} + {a^2},\)tức là \(D{A^2} = 2{a^2}\)

Vậy \({1 \over {D{H^2}}} = {1 \over {2{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} = {5 \over {2{a^2}}}\)

Do đó : \(DH = {{a\sqrt {10} } \over 5}\)

LG b

Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng AC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy.

Giải chi tiết:

Vì CD = DD = a nên CD CD. Mặt khác AD (CDDC) nên CD AC và CD mp(ACD). Gọi giao điểm của CD với mp(ACD) là I. Trong mp(ACD) kẻ IJ vuông góc với AC tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC và CD.

Ta tính khoảng cách giữa AC và CD

Ta có: ΔCJI đồng dạng ΔCDA nên \({{IJ} \over {AD}} = {{IC'} \over {AC'}}\)

Suy ra : \(IJ = AD.{{C'D} \over {2AC'}}\)

Mặt khác \(C'D = a\sqrt 2 \) nên \(IJ = a\sqrt 2 .{{a\sqrt 2 } \over {2.2a}} = {a \over 2}\)