Có thể nói đây là phương pháp đơn giản nhất đối với bài toán chéo hóa các ma trận đối xứng.
Giả sử ma trận đối xứng. Ta xây dựng dãy ma trận trực giao và dãy ma trận như sau
sao cho là dạng chéo hóa của .
Thiết lập một dãy như vậy được gọi là quá trình lặp Jacobi
Tại bước thứ của quá trình này chúng ta sẽ làm cho phần tử nằm ngoài đường chéo chính nhận giá trị 0 bằng cách đặt
trong đó
Tương ứng với phép biến đổi
,
Giả sử , chúng ta muốn rằng nên từ phương trình cuối cùng ta có
Ta đặt suy ra , dẫn đến phương trình bậc 2
với nghiệm . Từ đây ta tính được
Chúng ta xét các tổng các phần tử nằm ngoài đường chéo chính
Khi đó theo hệ phương trình đã xét ta có
Như vậy dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên nó hội tụ.
Với vị trí cần đưa về trong ma trận ta chọn tại vị trí của phần tử trong ma trận .
Với cách chọn như vậy thì hội tụ về 0 và hệ quả là hội tụ về ma trận đường chéo . Ta biết rằng đa thức đặc trưng ma trận luôn bất biến với phép đồng dạng nên chính là dạng chéo hóa của .
Quá trình này được cài đặt với Mathematica như sau
Ví dụ.
Ta làm như sau:
{K, V} = JacobiCyclic[A, 10^-11, 50];
Print[” K=”, MatrixForm[Chop[K]]];
Print[” V=”, MatrixForm[Chop[V]]];
Khi đó kết quả thu được là dạng chéo hóa
và ma trận trực giao
thỏa mãn .