Có bao nhiêu khối đa diện lồi đều?

Quan sát bốn hình trên ta thấy chỉ có một hình thứ tư từ trái qua là hình đa diện lồi vì lấy bất kỳ hai điểm nào thì đoạn thẳng nối hai điểm đó nằm trong khối đa diện.

Vậy chỉ có một đa diện lồi.

Hình đa diện chia không gian thành hai phần [phần bên trong và phần bên ngoài]. Hình đa diện cùng với phần không gian bên trong của nó gọi là khối đa diện.

2. Khối đa diện lồi

Khối đa diện lồi là khối đa diện mà tất cả các đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó luôn nằm hoàn toàn trong khối đa diện đó.

Một số khối đa diện lồi thường gặp

Công thức Euler cho khối đa diện

Với một khối đa diện [hình đa diện] bất kỳ, số đỉnh D, số mặt M và số cạnh C thì luôn có hệ thức $$D+M-C=2.$$

Ví dụ với hình lập phương ta có D = 8, M = 6, C = 12, và 8 + 6 – 12 = 2. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

3. Khối đa diện đều

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn 2 tính chất như sau:

  • Mỗi mặt là một đa giác đều gồm $n$ cạnh;
  • Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $m$ mặt.

Khối đa diện đều đó được gọi là khối đa diện đều loại {n;m}. Người ta thấy chỉ có 5 loại khối đa diện đều như trong bảng sau:

LoạiTên gọiSố đỉnhSố cạnhSố mặtSố mặt phẳng
đối xứng{3;3}Hình tứ diện đều4646{4;3}Hình lập phương81269{3;4}Hình bát diện đều61289{5;3}Hình mười hai mặt đều20301215{3;5}Hình hai mươi mặt đều123020155 loại khối đa diện đều
Hình vẽ 5 loại khối đa diện đều

Lịch ngũ giác có dạng khối 12 mặt đều

Đối với một khối đa diện đều thuộc loại {n;m}, ngoài công thức Euler $D+M-C=2$ thì còn có hệ thức sau $$p\times D=2\times C=m\times M$$

Khối đa diện lồi và khối đa diện đều - Toán hình 12

Tác giả Minh Châu 14:35 03/07/2023 272 Tag Lớp 12

Khối đa diện lồi và khối đa diện đều là những hình mà các em sẽ học chủ yếu trong chương trình hình học không gian. Vì vậy, để học tốt hình không gian, các em cần hiểu rõ về khái niệm, đặc biểm và tính chất của hai hình này. Cùng tìm hiểu qua bài viết ngày hôm nay của VUIHOC nhé!

Mục lục bài viết

{{ section?.element?.title }}

{{ item?.title }}

Mục lục bài viết x

{{section?.element?.title}}

{{item?.title}}

A. Lý thuyết khối đa diện lồi, khối đa diện đều 

1. Khối đa diện lồi 

a. Định nghĩa  

Khối đa diện [H] được gọi là khối đa diện lồi nếu như đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của [H] luôn thuộc [H]. Lúc đó đa diện xác định [H] được gọi là khối đa diện lồi. 

b. Ví dụ minh họa 

Ví dụ minh họa về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi: 

c. Định lý Ơ-le 

Trong mọi khối đa diện lồi đều có D - C + M = 2, trong đó: 

D: là số đỉnh của đa diện lồi

M: Số mặt của khối đa diện 

C: Số cạnh của khối đa diện. 

2. Khối đa diện đều 

a. Định nghĩa

Khối đa diện đều {p;q} là khối đa diện lồi có các tính chất như sau: 

  • Mỗi mặt của khối đa diện là một đa giác đều cạnh p
  • Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của đúng q mặt 

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa về khối đa diện đều: 

c. Định lý 

Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều đó là {3;3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}

Dưới đây là bảng tóm tắt chi tiết 5 loại khối đa diện đều: 

Nhận xét 1: Khối đa diện đều loại {n;p} có: pD = 2C = nM. 

Trong đó: D,C và M lần lượt là đỉnh, cạnh và mặt của khối đa diện. 

Nhận xét 2: Trải phẳng các khối đa diện đều, chúng ta sẽ được hình vẽ như sau

Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để được các thầy cô xây dựng lộ trình ôn tập toán thi THPT Quốc Gia ngay từ đầu năm học mới. 

B. Sơ đồ tư duy bài khối đa diện lồi, khối đa diện đều

C. Những kết quả cần ghi nhớ 

1. Một khối đa diện bất kỳ phải có ít nhất 4 mặt, 4 đỉnh và 6 cạnh 

2. Mỗi đỉnh của một khối đa diện bất kỳ phải là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh 

3. Không có khối đa diện lồi, khối đa diện đều nào có 7 cạnh 

4. Một đa diện [H] có các cạnh của đa giác là p. Khi đó nếu [H] là lẻ thì p là số chẵn.

5. Một khối đa diện bất kỳ luôn luôn phân chia thành các khối tứ diện

6. Khối đa diện có mặt là các tam giác thì tổng các mặt luôn là số chẵn. 

7. Không tồn tại hình đa diện có số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh, số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải bài tập hình học không gian với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC nhé! 

D. Bài tập vận dụng về khối đa diện lồi, khối đa diện đều 

1. Dạng bài nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều

a. Phương pháp giải: Để giải được bài tập dạng nhận biết khối đa diện, các em học sinh phải nhớ được định nghĩa, định lý về khối đa diện lồi, khối đa diện đều và bảng tóm tắt 5 khối đa diện đều trong không gian. 

b. Ví dụ: 

            

c. Bài tập vận dụng 

Trong các hình dưới đây, hình nào không phải là khối đa diện lồi? 

Đáp án: Hình 4 không phải là khối đa diện lồi vì theo định nghĩa khối đa diện lồi là khối có đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ phải thuộc khối đa diện đó. Do đó ở hình 4 không thỏa mãn định nghĩa về khối đa diện lồi do đoạn MN [ xem hình vẽ] không thuộc hình khối đó. 

2. Dạng bài các đặc điểm của khối đa diện đều

a. Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức được thừa nhận ở phần lý thuyết 

b. Bài tập vận dụng 

Hỏi: Hình chóp 30 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

Đáp án: 16 mặt. 

Giải thích: Gọi a là số cạnh của đa giác đáy hình chóp. Ta thấy được rằng số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên tổng số cạnh của hình chóp sẽ là 2a => 2a = 30 a = 15. 

Vậy đa giác đáy có 15 cạnh => số mặt bên của hình chóp là 15. Tuy nhiên hình chóp có một mặt đáy nên số mặt của hình chóp là 16. 

3. Dạng bài xác định mặt phẳng đối xứng: 

a. Phương pháp giải: Do tính chất đối xứng nên ta sẽ đi từ trung điểm của các cạnh để tìm mặt đối xứng. Đảm bảo khi chọn 1 mặt phẳng đối xứng thì các điểm còn lại sẽ chia đều về 2 phía. 

b. Bài tập vận dụng 

Hỏi: Tìm số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều. 

Đáp án: Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng

Giải thích: Các mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều phải chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện. 

Để giải quyết hết các dạng bài tập về khối đa điện lồi, khối đa diện đều từ cơ bản đến nâng cao, các em hãy tham khảo khóa học PAS THPT ngay nhé 

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích  

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô  

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

 

Hy vọng qua bài viết trên, các em đã nắm được hết các kiến thức về khối đa diện lồi khối đa diện đều cùng phương pháp giải các dạng bài thường gặp. Để học thêm nhiều kiến thức toán học 12 và các môn học khác, các em hãy truy cập vào trang web của vuihoc nhé! Chúc các em một ngày học tập thật nhiều niềm vui và hiệu quả.  

Chủ Đề