I. Lý thuyết Cho khối cầu bán kính R \[V=\frac{4}{3}\pi .R^3\]
II. Bài tập
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính thể tích khối cầu. a] Ngoại tiếp hình lập phương b] Nội tiếp hình lập phương.
Giải
a] Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là \[R=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
\[V_1=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3.3\sqrt{3}}{8}=\frac{a^3\pi .\sqrt{3}}{2}\][đvtt]
b]
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính
\[2r=a\Leftrightarrow r=\frac{a}{2}\] Thể tích khối cầu \[V_2=\frac{4}{3}\pi .r^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}\] [đvtt]
Ví dụ 2: Thể tích của khối cầu sẽ thay đổi như thế nào nếu.
a] Tăng bán kính lên k lần.b] Giảm bán kính k lần.
Giảm a] \[R_1=k.R_2\] \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3_1}{\frac{4}{3}.\pi .R^3_2}= \left [ \frac{R_1}{R_2} \right ]^3=k^3\]
Nếu tăng bán kính lên k lần thì thể tích khối cầu tăng gấp k3 lần.
b] \[R_1=\frac{1}{k}.R_2\] \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi .R^3_1}{\frac{4}{3}\pi .R^3_2}= \left [ \frac{R_1}{R_2} \right ]^3=\frac{1}{k^3}\]Nếu giảm bán kính k lần thì thể tích khối cầu giảm k3 lần.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có \[SA\perp [ABC], AB=a, AC=b,\widehat{BAC}=60^0\]. H, K l3 h/c của A trên SB, SC. a] CMR: 5 điểm A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu. b] Tính thể tích khối cầu đó.
Giải
a] Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC Kẻ đường trung trực Mx của cạnh AB trong [ABC] Ta có [SAB] \[\perp\] [ABC], có giao tuyến là AB nên Mx \[\perp\] [SAB] hay Mx \[\perp\] [AHB] Vậy Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB Tương tự kẻ Ny là đường trung trực của cạnh AC trong tam giác [ABC] ta có Ny là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC Trong [ABC] \[Mx\cap Ny=I\] I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \[\left.\begin{matrix} I\in Mx\Rightarrow IA=IH=IB\\ I\in Ny\Rightarrow IA=IK=IC \end{matrix}\right\}\] 5 điểm A, B, C, H, K cùng thuộc mặt cầu tâm I
b]
R = IA Trong tam giác ABC \[BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos60^0=a^2+b^2-ab\] \[R=\frac{BC}{2 sin\widehat{A}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} =\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}\]
\[V=\frac{4}{3}.\pi .R^3=\frac{4}{3}.\pi \frac{a^2+b^2-ab}{3}.\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}\]
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ tới các bạn công thức tính thể tích khối cầu và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao giúp bạn ôn tập lại kiến thức để áp dụng vào giải bài tập nhanh chóng nhé
Công thức tính thể tích khối cầu
Thể tích khối cầu được tính bằng bốn phần ba tích của số pi và lập phương bán kính của khối cầu.
V = 4/3.π.r3
Hoặc thể tích khối cầu cũng được tính theo công thức một phần sáu tích của số pi và lập phương đường kính của khối cầu.
V = 1/6.π.d3
Trong đó:
- V là thể tích [đơn vị m3].
- r là bán kính của khối cầu.
- d là đường kính của khối cầu
- π là hằng số pi [π = 3.14]
Ngoài ra, các bạn có thể công thức tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng a
Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính R = √a3/2. Thể tích của khối cầu là
V = 4/3.π.r3 =4/3.π.[√a3/2]3 = [πa3√3]/2
Cách tính thể tích khối cầu
Cách tính thể tích của khối cầu khá đơn giản các bạn chỉ cần thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Viết công thức tính thể tích hình cầu ra giấy nháp:
Bước 2: Tìm kích thước bán kính
- Nếu trong đề bài toán có cho sẳn kích thước bán kính thì chúng ta đến bước tiếp theo.
- Nếu đề bài cho đường kính thì bạn chia đôi để có được bán kính. Ví dụ, đường kính d = 10 cm, thì bán kính r = 5 cm.
Bước 3: Thay vào công thức tính thể tích của hình cầu
Tham khảo thêm:
Bài tập thể tích khối cầu
Ví dụ 1: Tính thể tích của hình cầu có đường kính d = 6 cm.
Giải:
Bán kính r = d/2 = 6/2 = 3 cm
Thể tích của khối cầu là:
V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.[3]³ = 113,04 cm³
Ví dụ 2: Một khối cầu có bán kính là R = 2 cm. Hãy tìm thể tích của mặt cầu?
Hướng dẫn giải:
Bán kính R = 2 cm = 0,02 m
Thể tích khối cầu: V = 1/3.π.r³ = 1/3.π.[0,02]³ = 8.π.10-6 [m3]
Ví dụ 3: Một mặt cầu có đường kính là d = 2,5 cm. Hãy tính thể tích mặt cầu?
Hướng dẫn giải:
Đường kính mặt cầu d = 2,5 cm => R = d/2 = 2,5 : 2 = 1,25 cm = 1,25. 10-3 [m].
Thể tích mặt cầu: V = 1/3.π.r³ = 1/3.π.[1,25. 10-3 ]³ [m3].
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC có bốn đỉnh đều nằm trên mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = C và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính thể tích hình cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó
Ta gọi M là trung điểm của cạnh AB
Ta có SAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên
SM = MA = MB = 1/2 AB
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
Kẻ đường thẳng Δ qua M và vuông góc với mặt phẳng SAB, khi đó ta có:
Δ // SC và Δ là đường tròn ngoại tiếp SAB
Trong mp[Δ, SC] đường trung trực của SC cắt Δ tại điểm I Ta có IS = IC [1] và IS = IA = IB [2]
Từ [1] [2] suy ra IA = IB = IC = IS
=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Vậy thể tích của khối cầu là
Hy vọng với những kiến thức về thể tích của khối cầu mà chúng tôi vừa chia sẻ phía trên có thể giúp bạn vận dụng thường xuyên và nhanh nhất nhé. Hãy thường xuyên theo dõi chúng tôi để được chia sẻ những kiến thức khác về hình học nữa nhé
Thể tích khối cầu là công thức rất nhiều người dễ nhầm lẫn. Vì thế khi được hỏi về thể tích của khối cầu mà nhiều bạn học sinh đưa ra những công thức sai Hãy cùng chúng tôi khắc phục những nhược điểm đó ngay trong bài viết dưới đây nhé ! Tham khảo bài viết khác:
Công thức tính thể tích khối cầu
– Công thức tính:
– Trong đó:
- V là thể tích khối cầu [đơn vị m3]
- π là số pi, có giá trị sấp sỉ 3,14
- r là bán kính khối cầu
– Như vậy:
==> Để tính thể tích khối cầu, mọi người cần tìm kích thước bán kính của nó. Sau đó thay vào công thức V = ⁴⁄₃πr³ để tính.
==> Nhớ ghi đơn vị của thể tích là đơn vị khối nhé [cm3, m3,…]
Bài tập minh họa cách tính thể tích của khối cầu
Bài tập 1: Cho hình tròn có chu vi là 31,4 cm. Hãy tính thể tích hình cầu có bán kính bằng bán kính của hình tròn vừa cho.
Hướng Dẫn Giải:
Chu vi hình tròn C = 2πr = 31.4 cm
=> Bán kính r = C/2π = 5 cm
Thể tích khối cầu đã cho là:
V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.[5]³ = 523,3 cm³
Bài tập 2: Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 6 cm.
Hướng Dẫn Giải:
Bán kính r = d/2 = 3 cm
Thể tích khối cầu là:
V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.[3]³ = 113,04 cm³
Cám ơn bạn đã theo dõi những nội dung của Đồng Hành Cho Cuộc Sống Tốt Đẹp. Chúng tôi hy vọng sau bài viết này bạn sẽ tìm được những giá trị hữu ích trong bài viết của chúng tôi
Hẹn gặp lại bạn ở những bài viết tiếp theo !