Tính chất của trọng tâm và cách xác định trọng tâm trong Hình học
Như các bạn đã biết giao điểm của ba đường trung tuyến trong một tam giác chính là trọng tâm của tam giác đó, vậy chúng là điểm như thế nào và có những tính chất đặc biệt gì. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nhé!
I. Lý thuyết về trọng tâm
1. Trọng tâm là gì?
Trọng tâm trong tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh.
Cho tam giác ABC, trong đó AM, BN, CP lần lượt là trung tuyến của tam giác xuất phát từ đỉnh A, B, C. AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G chính là trọng tâm của tam giác
Công thức liên quan:
- Hình đa giác đều n cạnh
- Hình lục giác
2. Tính chất trọng tâm của tam giác
Để xác định trọng tâm của một tam giác ta thực hiện:
Cách 1:
- Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
- Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
- Tương tự với các đường trung tuyến còn lại.
- Giao 3 đường trung tuyến là điểm G. Suy ra G chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cách 2:
- Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
- Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
- Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G sao cho: \[AG=\dfrac{2}{3} AM\]
- Vậy theo tính chất trọng tâm ta có G chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung tuyến tại đỉnh A, B, C. Ta có giao của ba đường trung tuyến là điểm G. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có tính chất:
\[\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} \Rightarrow AG=\dfrac{2}{3} AM\]
\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\]
II. Trọng tâm của các hình học đặc biệt
Tam giác ABC vuông tại B, từ B vẽ đường trung tuyến BA, vì BA là đường trung tuyến của góc vuông nên: BA = 1/2 CD=AD = AC.
Vậy tam giác ADB và tam giaisc ABC lần lượt cân tại A,
Cho tam giác ABc cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A, nên AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao và là đường phân giác cùa tam giác ABC.
Hệ quả:
- \[\widehat{BAG}=\widehat {CAG}\]
- AG vuông góc với BC.
- Trọng tâm tam giác đều là gì
Cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến. Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trựa tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Ta có G là trọng tâm tứ diện ABCD.
Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.
III. Luyện tập
Bài tập: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A
Lời giải:
Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:
\[\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{CG}{CN}=\dfrac{2}{3}\]
Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM
Xét \[\Delta BNG \ và \ \Delta CGM\] ta có:
BG = CN
GN = GM
\[\widehat{BGN}= \widehat{CGM}\] [ 2 goc đối đỉnh]
Suy ra : \[\Delta BNG \ đồng \ dạng \ \Delta CMG\]
Suy ra: BN = CM [1]
mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC [2]
Từ [1] và [2] ta cí AB = AC => Tam giác ABC cân tại A[ đpcm].
Tham khảo bộ công thức cực chất >>>>Toàn bộ công thức siêu nhanh Toán 12 đầy đủ nhất từ A - Z ôn thi THPTQG
Vậy là chúng ta đã tìm hiểu xong về khái niệm trọng tâm. Nếu có thắc mắc và ý kiến thú vị xin vui lòng để lại dưới mục bình luận nhé, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp từ các bạn!
Tiếp theo trong chuyên mục Hình học thì ngay sau đây. Chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại định nghĩa, tính chất cũng như các dấu hiệu nhận biết về tam giác đều.
Có thể nói tam giác đều là một trong những dạng hình học mà chúng ta gặp khá nhiều và phổ biến trong các bài tập, bài toán hình. Do đó, chúng ta cần phải nắm vững các kiến thức về tam giác đều. Để có thể giải bài tập cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra đạt kết quả cao nhất.
Và ngay sau đây xin mời các em cùng ôn lại các kiến thức về tam giác đều dưới đây.
Định nghĩa về tam giác đều
Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau và bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.
Trong tam giác ABC đều có AB = AC = BC.
Hệ quả:
- Trong một tam giác đều thì mỗi góc bằng 60°
- Nếu một tam giác có 3 góc bằng nhau thì đó là tam giác đều.
- Nếu một tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì đó là tam giác đều.
Tính chất của tam giác đều
Trong tam giác đều gồm có 5 tính chất, đó là:
- Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 600. [Tam giác ABC đều ∠A = ∠B = ∠C = 600.]
- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. [ ∠A = ∠B = ∠C thì là tam giác ABC đều.]
- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều.
- Trong tam giác đều, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường cao và đường phân giác của tam giác đó.
- Tam giác ABC đều có AD là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A. Khi đó, AD là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC.
Đây là những tính chất vô cùng quan trong để các em có thể áp dụng vào bài tập. Vì vậy các em hãy ghi nhớ thật kỹ 5 tính chất của tam giác đều trên đây. Để có thể áp dụng giải bài tập một cách tốt nhất.
Dấu hiệu nhận biết của tam giác đều
Nếu trong tam giác đều có 5 tính chất thì dấu hiệu của tam giác đều chỉ có 4 dấu hiệu như sau:
- Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều.
- Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều.
- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.
- Tam giác có 2 góc bằng 60 độ là tam giác đều.
Các công thức trong tam giác đều
Tam giác đều có tất cả 5 công thức, bao gồm các công thức sau:
1. Công thức tính diện tích của tam giác đều
2. Công thức tính chu vi của tam giác đều
P = 3a
3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp trong tam giác đều
4. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác đều
Chú ý: Trọng tâm của tam giác cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.
5. Công thức tính đường cao trong tam giác đều
Trong đó: a là độ dài cạnh của tam giác đều.
Đây là những công thức rất quan trọng để các em có thể áp dụng vào bài tập.
Ứng dụng của tam giác đều trong đời sống
Tam giác đều là 1 hình dạng phổ biến đối với mỗi con người. Và nó được dùng làm đồ chơi cho trẻ em có dạng hình tam giác đều. Hay còn được tạo ra thành những mô hình làm bằng nhựa để cho các em học sinh có thể học tập và nhận biết….
Vậy là chúng ta đã cùng nhau ôn lại những kiến thức vô cùng bổ ích của tam giác đều và sau đây chúng ta cùng luyện tập để có thể hiểu hơn và nhớ bài hơn.
Các bài tập về tam giác đều
Và để giúp các em có thể ghi nhớ một cách tốt nhất các kiến thức về tam giác đều. Cũng như áp dụng và vận dụng các kiến thức về tính chất, dấu hiệu, công thức tam giác đều hiệu quả. Thì ngay sau đây sẽ là một số bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho tam giác đều ABC có AB bằng 3 [cm]. Hãy tính đường cao và diện tích của tam giác đều?
Lời giải:
Đáp số:……..
Bài tập 2: Cho tam giác ABC đều có AB = 5 [cm]. Hỏi chu vi tam giác đều bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Chu vi tam giác đều là:
Áp dụng công thức: P = 3a
=> P = 3.5 = 15 [cm].
Đáp số:………
Tổng kết
Như vậy trên đây chúng ta đã cùng nhau ôn lại các kiến thức về tam giác đều. Bao gồm định nghĩa, các tính chất, dấu hiệu nhận biết và công thức của tam giác đều rồi.
Hi vọng với những kiến thức bổ ích này sẽ giúp các em có thể ôn tập và rèn luyện lại kiến thức về tam giác đều của mình một cách tốt nhất.