Đề bài - bài 20 trang 90 sgk hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng

\(\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x - y + 2 = 0 \cr} \)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \)đi qua điểm P(3, 1) và cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\)lần lượt ở A,B sao cho \({\Delta}\)tạo với \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

\(\Delta \)cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\)ở A và B sao cho\({\Delta}\)tạo với \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\)một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \)với \({\Delta _1}\) và góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _2}\)bằng nhau.

Do đó, cách làm như sau:

+)Giả sử \(\Delta \)qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).

+) Tính\(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _1}} \right) \) và \(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _2}} \right)\)

+) Tìm mối quan hệ của a, b từ phương trình\(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _1}} \right) = \cos \left( {\Delta ,{\Delta _2}} \right)\).

+) Chọn b=1, tìm a và suy ra phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết

\({\Delta _1}\)có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).\)

\({\Delta _2}\)có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right).\)

Giả sử \(\Delta \)qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).

Từ hình vẽ ta thấy:

\(\Delta \)cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\)ở A và B sao cho\({\Delta}\)tạo với \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\)một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \)với \({\Delta _1}\) và góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _2}\)bằng nhau.

Do đó,

\(\cos \left( {\Delta ,{\Delta _1}} \right) = \cos \left( {\Delta ,{\Delta _2}} \right)\)

\(\eqalign{
&\Leftrightarrow {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {3a - b} \right|}}{{\sqrt {10} }}\cr &\Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a - b} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + 4ab + 4{b^2}} \right) = 9{a^2} - 6ab + {b^2}\cr &\Leftrightarrow 7{a^2} - 14ab - 7{b^2} = 0\cr &\Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \cr} \)

Chọn \(b = 1\) ta có: \({a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)