Đề bài
Bài 1 [2 điểm]: Tính giá trị của các biểu thức sau:
\[A = \left[ {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right]\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \] \[B = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \]
\[C = \frac{5}{{\sqrt 7 + \sqrt 2 }} + \frac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} + 6\sqrt {\frac{1}{2}} \]
Bài 2 [2 điểm]: Giải các phương trình sau:
a] \[\sqrt {2x - 1} = \sqrt {x + 1} \] b] \[\sqrt {4 - {x^2}} - x + 2 = 0\]
Bài 3 [2 điểm]: Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}\] và \[B = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a }}{{3 - \sqrt a }} - \frac{{3a + 3}}{{a - 9}}\,\,\,\left[ {a \ge 0,\,\,a \ne 9} \right].\]
a] Tính giá trị của \[A\] khi \[a = 16.\] b] Rút gọn biểu thức \[P = \frac{A}{B}.\]
c] So sánh \[P\] với \[1.\]
Bài 4 [3,5 điểm]:
1. [1 điểm] Một chiếc tivi hình chữ nhật màn hình phẳng \[75\,\,inch\] [đường chéo tivi dài \[75\,\,inch\]] có góc tạo với chiều rộng và đường chéo là \[{53^0}08'.\] Hỏi chiếc tivi ấy có chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu \[cm?\] Biết \[1\,inch = 2,54\,cm\] [kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất].
2. [2,5 điểm] Cho \[\Delta EMF\] vuông tại \[M\] có đường cao \[MI.\] Vẽ \[IP \bot ME\,\,\,\left[ {P \in ME} \right],\] \[IQ \bot MF\,\,\left[ {Q \in MF} \right].\]
a] Cho biết \[ME = 4\,cm,\,\,\sin \angle MFE = \frac{3}{4}.\] Tính độ dài các đoạn \[EF,\,\,EI,\,\,MI.\]
b] Chứng minh \[MP.PE + MQ.QF = M{I^2}.\]
Bài 5 [0,5 điểm]: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = \sqrt {{x^2} + 6x + 9} + \sqrt {{x^2} - 2x + 1} .\]
Lời giải chi tiết
Bài 1
Phương pháp:
+] Sử dụng công thức: \[\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,B \ge 0.\]
+] \[\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB} \] với \[A \ge 0,\,\,B \ge 0.\]
+] \[\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\] với \[A \ge 0,\,\,B > 0.\]
+] Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu: \[\frac{1}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \frac{{\sqrt A + \sqrt B }}{{A - B}}\,\,\,\left[ {A \ge 0,\,\,B \ge 0,\,\,A \ne B} \right]\] và \[\frac{1}{{A + \sqrt B }} = \frac{{A - \sqrt B }}{{{A^2} - B}}\] với \[B \ge 0,\,\,{A^2} \ne B.\]
+] Sử dụng công thức hằng đẳng thức ở mẫu: \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\]
Cách giải:
Tính giá trị của các biểu thức sau:
\[\begin{array}{l}A = \left[ {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right]\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = \left[ {\sqrt {{3^2}.11} - \sqrt {{3^2}.2} - \sqrt {11} } \right]\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = \left[ {3\sqrt {11} - 3\sqrt 2 - \sqrt {11} } \right]\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = \left[ {2\sqrt {11} - 3\sqrt 2 } \right]\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = 2.11 - 3\sqrt {22} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = 22.\end{array}\] \[\begin{array}{l}B = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 } \right]}^2} + 2\sqrt 3 + 1} + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 } \right]}^2} - 2\sqrt 3 + 1} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt 3 + 1} \right| + \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\\,\,\,\,\, = \sqrt 3 + 1 + \sqrt 3 - 1\,\,\,\left[ {do\,\,\,\sqrt 3 - 1 > 0} \right]\\\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 .\end{array}\]
\[\begin{array}{l}C = \frac{5}{{\sqrt 7 + \sqrt 2 }} + \frac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} + 6\sqrt {\frac{1}{2}} \\\,\,\,\, = \frac{{5\left[ {\sqrt 7 - \sqrt 2 } \right]}}{{7 - 2}} + \frac{{\sqrt 7 \left[ {\sqrt 7 - 1} \right]}}{{\sqrt 7 - 1}} + \frac{6}{{\sqrt 2 }}\\\,\,\,\, = \sqrt 7 - \sqrt 2 + \sqrt 7 + 3\sqrt 2 \\\,\,\,\, = 2\sqrt 7 + 2\sqrt 2 .\end{array}\]
Bài 2
Phương pháp:
Tìm điều kiện để phương trình xác định.
Giải phương trình: \[\sqrt {f\left[ x \right]} = a\,\,\left[ {a \ge 0} \right]\] \[ \Leftrightarrow {f^2}\left[ x \right] = {a^2}.\]
\[\sqrt {f\left[ x \right]} = g\left[ x \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left[ x \right] \ge 0\\f\left[ x \right] = {g^2}\left[ x \right]\end{array} \right..\]
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a] \[\sqrt {2x - 1} = \sqrt {x + 1} \,\,\,\,\left[ * \right]\]
Điều kiện: \[x \ge \frac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow \left[ * \right] \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 1 \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left[ {tm} \right]\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 2.\]
b] \[\sqrt {4 - {x^2}} - x + 2 = 0\,\,\,\,\left[ * \right]\]
Điều kiện: \[ - 2 \le x \le 2\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ * \right] \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} + \left[ {2 - x} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left[ {2 - x} \right]\left[ {x + 2} \right]} + \left[ {2 - x} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - x} \left[ {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} } \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2 - x} = 0\\\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x = 0\\Vo\,\,\,nghiem\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x = 2.\]
Bài 3
Phương pháp:
a] Thay giá trị \[a = 16\,\,\left[ {tm} \right]\] vào biểu thức \[A\] để tính giá trị của biểu thức.
b] Biến đổi, quy đồng sau đó rút gọn biểu thức \[B\] rồi suy ra biểu thức \[P = \frac{A}{B}.\]
c] Xét hiệu \[P - 1\] rồi so sánh.
Cách giải:
Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}\] và \[B = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a }}{{3 - \sqrt a }} - \frac{{3a + 3}}{{a - 9}}\,\,\,\left[ {a \ge 0,\,\,a \ne 9} \right].\]
a] Tính giá trị của \[A\] khi \[a = 16.\]
Điều kiện: \[a \ge 0,\,\,a \ne 9.\]
Thay \[a = 16\,\,\left[ {tm} \right]\] vào biểu thức \[A\] ta được: \[A = \frac{{\sqrt {16} + 1}}{{\sqrt {16} - 3}} = 5.\]
Vậy với \[a = 16\] thì \[A = 5.\]
b] Rút gọn biểu thức \[P = \frac{A}{B}.\]
Điều kiện: \[a \ge 0,\,\,a \ne 9.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}B = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a }}{{3 - \sqrt a }} - \frac{{3a + 3}}{{a - 9}}\,\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{{3a + 3}}{{\left[ {\sqrt a - 3} \right]\left[ {\sqrt a + 3} \right]}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt a \left[ {\sqrt a - 3} \right] + \sqrt a \left[ {\sqrt a + 3} \right] - 3a - 3}}{{\left[ {\sqrt a - 3} \right]\left[ {\sqrt a + 3} \right]}}\\\,\,\,\, = \frac{{2a - 6\sqrt a + a + 3\sqrt a - 3a - 3}}{{\left[ {\sqrt a - 3} \right]\left[ {\sqrt a + 3} \right]}}\\\,\,\,\, = \frac{{ - 3\sqrt a - 3}}{{\left[ {\sqrt a - 3} \right]\left[ {\sqrt a + 3} \right]}} = \frac{{ - 3\left[ {\sqrt a + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt a - 3} \right]\left[ {\sqrt a + 3} \right]}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}:\frac{{ - 3\left[ {\sqrt a + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt a - 3} \right]\left[ {\sqrt a + 3} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}.\frac{{\left[ {\sqrt a - 3} \right]\left[ {\sqrt a + 3} \right]}}{{ - 3\left[ {\sqrt a + 1} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{{\sqrt a + 3}}{3}.\end{array}\]
c] So sánh \[P\] với \[1.\]
Điều kiện: \[a \ge 0,\,\,a \ne 9.\]
Xét hiệu \[P - 1\] ta có:
\[P - 1 = - \frac{{\sqrt a + 3}}{3} - 1 = \frac{{ - \sqrt a - 3 - 3}}{3}\] \[ = - \frac{{\sqrt a + 6}}{3}\]
Với mọi \[a \ge 0,\,\,a \ne 9\] ta có: \[\sqrt a + 6 > 0\] \[ \Rightarrow \frac{{\sqrt a + 6}}{3} > 0\]
\[ \Rightarrow - \frac{{\sqrt a + 6}}{3} < 0\] \[ \Rightarrow P - 1 < 0\] \[ \Rightarrow P < 1.\]
Vậy \[P < 1\] với mọi \[a \ge 0,\,\,a \ne 9.\]
Bài 4
Phương pháp:
1. Áp dụng các công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các cạnh của tivi sau đó đổi đơn vị từ inch sang cm.
2. a] Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh \[EF,\,\,EI,\,\,MI.\]
b] Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.
Cách giải:
1. [1 điểm]
Giả sử tivi có các đỉnh như hình vẽ.
Xét \[\Delta ACD\] vuông tại \[D\] ta có:
\[\begin{array}{l}AD = AC.\cos {53^0}08' = 75.\cos {53^0}08' \approx 45\,\,inch\\ \Rightarrow AD \approx 45.2,54 = 114,3\,\,cm.\\CD = AC.\sin {53^0}08' = 75.\sin {53^0}08' \approx 60\,\,inch\\ \Rightarrow CD \approx 60.2,54 = 152,4\,\,cm.\end{array}\]
Vậy chiều rộng của tivi là \[114,\,3\,cm\] và chiều dài của tivi là \[152,4\,cm.\]
2. [2,5 điểm]
Cho \[\Delta EMF\] vuông tại \[M\] có đường cao \[MI.\] Vẽ \[IP \bot ME\,\,\,\left[ {P \in ME} \right],\] \[ \Rightarrow \angle IPM = \angle MQI = {90^0}\] \[IQ \bot MF\,\,\left[ {Q \in MF} \right].\]
a] Cho biết \[ME = 4\,cm,\,\,\sin \angle MFE = \frac{3}{4}.\] Tính độ dài các đoạn \[EF,\,\,EI,\,\,MI.\]
Xét \[\Delta MEF\] vuông tại\[M\] ta có: \[EF = \frac{{ME}}{{\sin \angle MFE}} = \frac{4}{{\frac{3}{4}}} = \frac{{16}}{3}\,\,cm.\]
\[ \Rightarrow MF = \sqrt {E{F^2} - M{E^2}} = \sqrt {{{\left[ {\frac{{16}}{3}} \right]}^2} - {4^2}} \] \[ = \sqrt {\frac{{112}}{9}} = \frac{{4\sqrt 7 }}{3}\,\,cm.\]
Xét \[\Delta MIF\] vuông tại \[I\] ta có: \[MI = MF.\sin \angle MFE = \frac{{4\sqrt 7 }}{3}.\frac{3}{4} = \sqrt 7 \,\,cm.\]
Áp dụng định lý Pitago trong \[\Delta MIE\] vuông tại \[I\] ta có:
\[EI = \sqrt {M{E^2} - M{I^2}} \] \[ = \sqrt {{4^2} - {{\left[ {\sqrt 7 } \right]}^2}} = \sqrt 9 = 3\,\,cm.\]
Vậy \[EF = \frac{{16}}{3}\,\,cm,\,\,\,EI = 3\,\,cm,\,\,MI = \sqrt 7 \,\,cm.\]
b] Chứng minh \[MP.PE + MQ.QF = M{I^2}.\]
Theo đề bài ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}IP \bot ME\, = \left\{ P \right\}\\IQ \bot MF\, = \left\{ Q \right\}\end{array} \right.\]
Xét tứ giác \[MPIQ\] ta có: \[\angle IPM = \angle PMQ = \angle MQI = {90^0}\]
\[ \Rightarrow MPIQ\] là hình chữ nhật [dhnb].
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MP = IQ\\PI = MQ\end{array} \right.\] [tính chất hình chữ nhật].
Áp dụng hệ thức lượng trong \[\Delta MEI\] vuông tại \[I\] có đường cao \[IP\] ta có: \[I{P^2} = MP.PE\]
Áp dụng hệ thức lượng trong \[\Delta MFI\] vuông tại \[I\] có đường cao \[IQ\] ta có: \[I{Q^2} = MQ.QF.\]
\[ \Rightarrow M{P^2} = I{Q^2} = MQ.QF\]
Áp dụng hệ thức lượng trong \[\Delta MPI\] ta có:
\[M{I^2} = M{P^2} + P{I^2}\] \[ = MP.PE + MQ.QF\,\,\,\,\left[ {dpcm} \right].\]
Bài 5
Phương pháp:
Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối: \[\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|.\]
Dấu = xảy ra \[ab \ge 0.\]
Cách giải:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = \sqrt {{x^2} + 6x + 9} + \sqrt {{x^2} - 2x + 1} .\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}A = \sqrt {{x^2} + 6x + 9} + \sqrt {{x^2} - 2x + 1} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left[ {x + 3} \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {x + 3} \right| + \left| {x - 1} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {x + 3} \right| + \left| {1 - x} \right|\\\,\,\,\, \ge \left| {x + 3 + 1 - x} \right| = 4.\end{array}\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow \left[ {x + 3} \right]\left[ {1 - x} \right] \ge 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 1} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1.\end{array}\]
Vậy \[Min\,\,A = 4\] khi \[ - 3 \le x \le 1.\]