Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm \[O\] và các điểm như hình vẽ:
+] Góc \[\widehat{AOB}\] là góc ở tâm vì có đỉnh \[O\] trùng với tâm \[O\] của đường tròn.
+] Các góc \[\widehat{FEK},\ \widehat{OME}\] không phải là góc ở tâm vì đỉnh \[E,\ M\] không trùng với tâm \[O.\]
Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn ở hai điểm, hai điểm này chia đường tròn thành hai cung. Do đó có thể xảy ra hai trường hợp:
+] Nếu \[0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\] thì có một cung nhỏ [là cung nằm bên trong góc] và một cung lớn [cung nằm bên ngoài góc].
+] Nếu \[ \alpha =180^{\circ}\] thì hai cung đều bằng nửa đường tròn.
Cung tròn [edit]
Cung tròn là một phần của đường tròn được giới hạn bởi hai điểm.
Cung \[AB\] được kí hiệu là \[\stackrel\frown{AB}\] hoặc \[\stackrel\frown{BA}\] với \[A,\ B\] là hai đầu mút.
Thường dùng các chữ cái in thường viết cạnh cung để phân biệt cung lớn và cung nhỏ.
Khi viết \[\stackrel\frown{AB}\] nếu không giải thích gì thêm thì ta hiểu đó là cung nhỏ \[AB.\]
Cung bị chắn [edit]
Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc.
Ở hình trên, \[\stackrel\frown{AnB}\] là cung bị chắn bởi góc \[\widehat{AOB}\]. Ta còn nói góc \[\widehat{AOB}\] chắn cung nhỏ \[AnB.\]
Như vậy, cung nhỏ gọi là cung bị chắn.
Số đo của cung [edit]
Số đo của cung \[AB\] được xác định như sau:
+] Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
+] Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \[360^{\circ}\] và số đo của cung nhỏ [có chung hai đầu mút với cung lớn].
+] Số đo của nửa đường tròn bằng \[180^{\circ}.\]
Số đo của cung \[AB\] được kí hiệu là sđ \[\stackrel\frown{AB}.\]
Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm \[O\] và các điểm như hình vẽ:
+] Vì góc \[\widehat{AOB}=60^{\circ}\] nên số đo của cung nhỏ \[AnB\] là sđ \[\stackrel\frown{AnB}=60^{\circ}.\]
+] Vì cung \[\stackrel\frown{AmB}\] là cung lớn nên số đo cung là sđ \[\stackrel\frown{AmB}=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}.\]
Chú ý:
+] Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn \[180^{\circ}.\]
+] Cung lớn có số đo lớn hơn \[180^{\circ}.\]
+] Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có "cung không" với số đo \[0^{\circ}\] và cung cả đường tròn với số đo \[360^{\circ}.\]
So sánh hai cung [edit]
Xét hai đường tròn bằng nhau \[[O;R]\] và \[[O’; R]\] và hai cung tròn như hình vẽ:
Kí hiệu \[l_{AB}\] và \[l_{CD}\] là độ dài cung \[AB\] và \[CD.\] Để so sánh \[l_{AB}\] và \[l_{CD}\] ta xét hiệu \[l_{AB}-l_{CD}.\]
Độ dài cung thực chất là một phần chu vi của đường tròn.
Đường tròn bán kính \[R\] \[[\]ứng với \[360^{\circ}]\] có độ dài là: \[C=2 \pi R.\]
Vậy cung tròn \[1^{\circ},\] bán kính \[R\] có độ dài là: \[\dfrac{1. 2 \pi R}{360}.\]
Do đó cung tròn \[a^{\circ}\] bán kính \[R\] có độ dài là: \[l_{AB}=\dfrac{a. 2 \pi R}{360}.\]
Tương tự, cung tròn \[b^{\circ}\] bán kính \[R\] có độ dài là: \[l_{CD}=\dfrac{b. 2 \pi R}{360}.\]
Xét hiệu:
\[l_{AB}-l_{CD}=\dfrac{a. 2 \pi R}{360} - \dfrac{b. 2 \pi R}{360} =\dfrac{2 \pi R}{360}[a-b].\]
Ta có các trường hợp sau:
+] Nếu \[a-b>0 \Leftrightarrow a>b\] thì \[l_{AB} > l_{CD},\]
+] Nếu \[a-b