Điều kiện xác định của phương trình x Công 1 trên x trừ 2 bằng 0 là
|
Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé: Show
I. Định lý Viet - Lý thuyết quan trọng.Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra. 1. Định lý Viet thuận.Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau: Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:
2. Định lý Viet đảo.Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1). Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0 hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm. II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.1. Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.Phương pháp: Nếu 2 số u và v thỏa mãn: thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0. Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:
Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh. Hướng dẫn: Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có: Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0. Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2) Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a. Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2) Hướng dẫn: Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc: suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2 suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3. Ví dụ 3: Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện: x≠-1 Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này. Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn. Ta đặt: Khi đó theo đề: uv=6. Ta lại có: Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0. Giải phương trình trên được:
2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.Phương pháp: Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:
Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi: Hãy chứng minh: Hướng dẫn: Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của: Hướng dẫn: Cách 1: Ta biến đổi: Lại có: Thế vào ta tính được S. Cách 2: Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý: Ta có: S=S7. Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7. 3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án. Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m). Hãy xác định giá trị của tham số để:
Hướng dẫn: Nhắc lại kiến thức: Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp: Trường hợp 1: a=0⇔m=0 Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất. Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0 Lúc này, điều kiện là: Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau: tồn tại nghiệm x1, x2 phân biệt sao cho: Hướng dẫn: Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt: Khi đó dựa vào hệ thức Viet: Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:  Mặt khác, theo đề: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.
Giải tích Các ví dụĐặt số trong dấu căn trong lớn hơn hoặc bằng để tìm nơi biểu thức xác định. Giải . Bấm để xem thêm các bước...Cộng cho cả hai vế của bất đẳng thức. Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự. Đặt mẫu số trong bằng để tìm nơi biểu thức không xác định. Cộng cho cả hai vế của phương trình. Tập xác định là tất cả các giá trị của mà làm cho biểu thức xác định. Ký Hiệu Khoảng: Ký Hiệu Xây Dựng Tập Hợp:
+ Hàm số √A xác định ⇔ A ≥ 0. + Hàm phân thức xác định ⇔ mẫu thức khác 0. Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa: Hướng dẫn giải: a) b) Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: Hướng dẫn giải: a) ⇔ (x + 2)(x – 3) ≥ 0 Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ 3 hoặc x ≤ -2. b) ⇔ x4 – 16 ≥ 0 ⇔ (x2 – 4)(x2 + 4) ≥ 0 ⇔ (x – 2)(x + 2)(x2 + 4) ≥ 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) ≥ 0 (vì x2 + 4 > 0). Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ 2 hoăc x ≤ -2 . c) ⇔ x + 5 ≠ 0 ⇔ x ≠ -5. Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 5. Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức Hướng dẫn giải: Biểu thức M xác định khi Từ (*) và (**) suy ra không tồn tại x thỏa mãn. Vậy không có giá trị nào của x làm cho hàm số xác định. Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức: Hướng dẫn giải: Biểu thức P xác định Giải (*) : (3 – a)(a + 1) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ a ≤ 3 Kết hợp với điều kiện a ≥ 0 và a 4 ta suy ra 0 ≤ a ≤ 3. Vậy với 0 ≤ a ≤ 3 thì biểu thức P xác định Bài 1: Biểu thức A. x ≤ 1 B. x ≥ 1. C. x > 1 D. x < 1.
Đáp án: B Giải thích: √(x-1) xác định ⇔ x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Bài 2: A. x ≥ 1 B. x ≤ 1 C. x = 1 D. x ∈ ∅.
Đáp án: C ⇔ -(x-1)2 ≥ 0 ⇔ (x-1)2 ≤ 0 ⇔ (x-1)2 = 0 ⇔ x =1. Bài 3: A. x ≥ 3 và x ≠ -1 B. x ≤ 0 và x ≠ 1 C. x ≥ 0 và x ≠ 1 D. x ≤ 0 và x ≠ -1
Đáp án: D Bài 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức A. x ≠ 2. B. x < 2 C. x > 2 D. x ≥ 2.
Đáp án: C Bài 5: Biểu thức A. x ≥ -4. B. x ≥ 0 và x ≠ 4. C. x ≥ 0 D. x = 4.
Đáp án: B Bài 6: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa? Hướng dẫn giải: a) b) c) d) Bài 7: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: Hướng dẫn giải: a) Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị x ≥ 2 hoặc x ≤ -1/2 . b) Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị x thỏa mãn c) Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của x. d) Ta có bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu nhận thấy (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≥ 0 nếu 1 ≤ x ≤ 2 hoặc x ≥ 3. Bài 8: Khi nào các biểu thức sau tồn tại? Hướng dẫn giải: a) Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của a. b) Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của a. c) Vậy biểu thức xác định với các giá trị a ≥ 3 hoặc a ≤ -3. d)Ta có: a2 + 4 > 0 với mọi a nên biểu thức Bài 9: Mỗi biểu thức sau xác định khi nào? Hướng dẫn giải: a) b) ⇔ x2 – 3x + 2 > 0 ⇔ (x – 2)(x – 1) > 0 Vậy biểu thức xác định khi x > 2 hoặc x < 1. c) Giải (*): Giải (**): Kết hợp (*) và (**) ta được Bài 10: Tìm điều kiện xác định của biểu thức : Hướng dẫn giải: Biểu thức Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác: Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
