Floors and ceilings là gì

Trong toán học và khoa học máy tính, hàm floor và ceiling là các quy tắc cho tương ứng một số thực vào một số nguyên gần nhất bên trái và bên phải số đã cho. Vậy floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, còn ceiling(x) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn x.

Các hàm Floor và ceiling

và

x {\displaystyle \lceil x\rceil }

vào năm 1962 trong ngôn ngữ lập trình APL của ông ấy.[3][4] Bây giờ cả hai cách ký hiệu vẫn đang được dùng trong toán học.

Ví dụSửa đổi

x	Floor(x) $\lfloor \;\rfloor$	Ceiling(x) $\lceil \;\rceil$	Phần lẻ ${ } {\displaystyle \{\;\}}$
2.7	3	2	0.3
2	2	2	0
12/5 = 2.4	2	3	2/5 = 0.4
2.7	2	3	0.7

Đọc phần bên dưới để biết thêm về định nghĩa phần lẻ.

Định nghĩa và tính chấtSửa đổi

Trong những công thức dưới đây x và y là các số thực, k, m, và n là các số nguyên, và $Z {\displaystyle \mathbb {Z} }$ là tập hợp số nguyên (số dương, số âm, và không).

Floor và ceiling có thể được định nghĩa bằng tập hợp như sau

x = max { n Z n x } , {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},}

x = min { n Z n x } . {\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}

Trong nửa khoảng có độ dài bằng một có duy nhất một số nguyên, vậy với số thực x tùy ý, có duy nhất cặp m, n thỏa mãn:

x 1 < m x n < x + 1. {\displaystyle x-1Khi đó x = m {\displaystyle \lfloor x\rfloor =m\;} và x = n {\displaystyle \;\lceil x\rceil =n\;} có thể là định nghĩa cho các hàm floor và ceiling. Phần lẻ x ký hiệu { x } {\displaystyle \{x\}} là hàm số định nghĩa theo công thức sau, { x } = x x , {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor ,} và toán tử mô-đun được định nghĩa theo công thức: x mod y = x y x y . {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .} Tương đươngSửa đổi Các công thức dưới đây dùng để rút gọn các biểu thức chứa các hàm floor, ceiling.[5] x = n n x < n + 1 , x = n n 1 < x n , x = n x 1 < n x , x = n x n < x + 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\;\;\Leftrightarrow &n&\leq xIn the language of order theory, the floor function is a residuated mapping, that is, part of a Galois connection: it is the upper adjoint of the function that embeds the integers into the reals. x < n x < n , n < x n < x , x n x n , n x n x . {\displaystyle {\begin{aligned}xCác công thức dưới đây đưa ra quy tắc khi cộng thêm một số nguyên vào các hàm phần nguyên như thế nào: x + n = x + n , x + n = x + n , { x + n } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}} Các công thức trên không đúng nếu n không phải số nguyên, tuy vậy: x + y x + y x + y + 1 , x + y 1 x + y x + y . {\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}} Mối liên hệ giữa các hàmSửa đổi Từ định nghĩa dễ dàng có được x x , {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên, i.e. x x = { 0 if x Z 1 if x Z {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} n là số nguyên thì: n = n = n . {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.} Khi số âm là đối số thì đổi các hàm floor và ceil đồng thời đưa dấu trừ ra ngoài: x + x = 0 , {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0,} tức là: x = x , {\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,} x = x , {\displaystyle \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor ,} x + x = { 0 if x Z 1 if x Z , {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}} x + x = { 0 if x Z 1 if x Z . {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} Về phần lẻ: { x } + { x } = { 0 if x Z 1 if x Z . {\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} Floor, ceiling, và phần lẻ là hàm idempotent: x = x , x = x , { { x } } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\\\end{aligned}}} Dễ thấy các đẳng thức sau là đúng: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); x = x , x = x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor .\\\end{aligned}}} Với y có định thì, x mod y là hàm idempotent: ( x mod y ) mod y = x mod y . {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y.\;} Cũng từ định nghĩa ta có, { x } = x mod 1. {\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1.\;} Phép chiaSửa đổi Nếu n 0, 0 { m n } 1 1 | n | . {\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.} Nếu n > 0, x + m n = x + m n , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,} x + m n = x + m n . {\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .} Nếu m > 0, n = n m + n 1 m + + n m + 1 m , {\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,} n = n m + n + 1 m + + n + m 1 m . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .} Với m = 2: n = n 2 + n 2 . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .} Tổng quát,[6] với m > 0, m x = x + x 1 m + + x m 1 m , {\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,} m x = x + x + 1 m + + x + m 1 m . {\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .} Biểu thức dưới đây dùng để chuyển đổi floor sang ceiling và ngược lại (m > 0)[7] n m = n + m 1 m = n 1 m + 1 , {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,} n m = n m + 1 m = n + 1 m 1 , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,} Nếu m và n là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau, thì i = 1 n 1 i m n = 1 2 ( m 1 ) ( n 1 ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).} Vì vế phải của biểu thức trên đối xứng theo m và n, vậy nên ta có biểu thức dưới đây m n + 2 m n + + ( n 1 ) m n = n m + 2 n m + + ( m 1 ) n m . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .} Tổng quát, nếu m và n nguyên dương: x n + m + x n + 2 m + x n + + ( n 1 ) m + x n = x m + n + x m + 2 n + x m + + ( m 1 ) n + x m . {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}} Cho các số nguyên dương m, n và số thực ngẫu nhiên x: x / m n = x m n {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor } x / m n = x m n {\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil } Sự liên tụcSửa đổi Không có hàm nào chúng ta đang xét là liên tục cả, nhưng đều tuyến tính trên từng đoạn. x {\displaystyle \lfloor x\rfloor } và x {\displaystyle \lceil x\rceil } là hàm hằng trên từng đoạn và gián đoạn tại các điểm nguyên. Hàm { x } {\displaystyle \{x\}} cũng gián đoạn tại các điểm nguyên, và x mod y {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y} với biến x hằng y gián đoạn tại các bội của y. x {\displaystyle \lfloor x\rfloor } là bán liên tục trên còn x {\displaystyle \lceil x\rceil } và { x } {\displaystyle \{x\}\;} là bán liên tục dưới. x mod y là bán liên tục dưới với y dương và là bán liên tục trên với y âm. Khai triển chuỗiSửa đổi Các hàm chúng ta đang xét đều không liên tục vì thế chúng không có các khai triển chuỗi lũy thừa. Hàm floor và ceiling không liên tục nên không có khai triển Fourier. Với y cố định, x mod y có khai triển Fourier [8] x mod y = y 2 y π k = 1 sin ( 2 π k x y ) k . {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}.} Phần lẻ {x} = x mod 1 khai triển: { x } = 1 2 1 π k = 1 sin ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.} Dùng công thức {x} = x floor(x), floor(x) = x {x} ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); x = x 1 2 + 1 π k = 1 sin ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}

Ứng dụngSửa đổi

Phần lẻSửa đổi

Hàm phần lẻ là hàm răng cưa, ký hiệu ${ x } {\displaystyle \{x\}}$ với x là số thực, được định nghĩa bởi công thức[9]

{ x } = x x . {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor .}

Với mọi x,

0 { x } < 1. {\displaystyle 0\leq \{x\}<1.\;}

Với x>0 trong dạng thập phân, floor(x) là phần bên trái của biểu diễn thập phân, phần lẻ của x là phần bên phải khi thay tất cả các số bên trái bởi 0.

Toán tử modSửa đổi

Toán tử mod, ký hiệu là x mod y,x, y thực, y 0, xác định theo công thức

x mod y = x y x y . {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}

x mod y luôn nằm giữa 0 và y; i.e.

Nếu y > 0,

0 x mod y < y , {\displaystyle 0\leq x\,{\bmod {\,}}ycòn nếu y < 0, 0 x mod y > y . {\displaystyle 0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y.} Nếu x nguyên còn y nguyên dương, ( x mod y ) x ( mod y ) . {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}.} x mod y với y có định là hàm răng cưa. Quadratic reciprocitySửa đổi Gauss's third proof of quadratic reciprocity, as modified by Eisenstein, has two basic steps.[10][11]Let p and q be distinct positive odd prime numbers, and let m = p 1 2 , n = q 1 2 . {\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}.} First, Gauss's lemma is used to show that the Legendre symbols are given by ( q p ) = ( 1 ) q p + 2 q p + + m q p {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }} and ( p q ) = ( 1 ) p q + 2 p q + + n p q . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.} The second step is to use a geometric argument to show that q p + 2 q p + + m q p + p q + 2 p q + + n p q = m n . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.} Combining these formulas gives quadratic reciprocity in the form ( p q ) ( q p ) = ( 1 ) m n = ( 1 ) p 1 2 q 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.} There are formulas that use floor to express the quadratic character of small numbers mod odd primes p:[12] ( 2 p ) = ( 1 ) p + 1 4 , {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },} ( 3 p ) = ( 1 ) p + 1 6 . {\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.} Làm trònSửa đổi Việc làm tròn các số dương x đến số nguyên gần nhất được diễn tả như sau x + 0.5 . {\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor .} Số các chữ sốSửa đổi Số các chữ số trong hệ cơ số b của số nguyên dương k là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); log b k + 1. {\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1.} Thừa số của giai thừaSửa đổi đặt n nguyên dương và p là số nguyên tố. Lũy thừa của p trong khai triển của n! được cho bởi công thức[13] n p + n p 2 + n p 3 + {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots } Chú ý rằng đó là tổng có giới hạn, số hạng bằng không khi pk > n. Beatty sequenceSửa đổi Beatty sequence shows how every positive irrational number gives rise to a partition of the natural numbers into two sequences via the floor function.[14] Hằng số Euler γSửa đổi Đây là những công thức cho Hằng số Euler γ = 0.57721 56649... chứa các hàm floor và ceiling, e.g.[15] γ = 1 ( 1 x 1 x ) d x , {\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,} γ = lim n 1 n k = 1 n ( n k n k ) , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),} và γ = k = 2 ( 1 ) k log 2 k k = 1 2 1 3 + 2 ( 1 4 1 5 + 1 6 1 7 ) + 3 ( 1 8 1 15 ) + {\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots } Hàm Riemann ζSửa đổi Các công thức cho số nguyên tốSửa đổi n là số nguyên tố khi và chỉ khi[16] m = 1 ( n m n 1 m ) = 2. {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.} r là số nguyên lớn hơn 1, pn là số nguyên tố thứ n, ký hiệu α = m = 1 p m r m 2 . {\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.} Thì[17] p n = r n 2 α r 2 n 1 r ( n 1 ) 2 α . {\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .} Có số θ = 1.3064... với tính chất θ 3 , θ 9 , θ 27 , {\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots } đều là số nguyên tố.[18]Cũng có thêm số ω = 1.9287800... mà 2 ω , 2 2 ω , 2 2 2 ω , {\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots } đều nguyên tố.[18]π(x) là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x. Nó được suy luận từ Định lý Wilson[19] π ( n ) = j = 2 n ( j 1 ) ! + 1 j ( j 1 ) ! j . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .} Nếu n 2,[20] π ( n ) = j = 2 n 1 k = 2 j j k k j . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .} Không công thức nào trên đây ứng dụng thực tế. Vấn đề đã giải quyếtSửa đổi Ramanujan đã gửi các bài toán sau đây đến Journal of the Indian Mathematical Society.[21]Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng: n 3 + n + 2 6 + n + 4 6 = n 2 + n + 3 6 , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,} 1 2 + n + 1 2 = 1 2 + n + 1 4 , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,} n + n + 1 = 4 n + 2 . {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .} Vấn đề chưa giải quyếtSửa đổi Có số nguyên dương k nào thỏa mãn, k 6, mà:[22] 3 k 2 k ( 3 2 ) k > 2 k ( 3 2 ) k 2 ? {\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2\;\;?} Mahler[23] đã chứng minh chỉ có hữu hạn số k như vậy; tuy nhiên người ta vẫn chưa biết số nào như vậy.

Xem thêmSửa đổi

Hàm số nguyên gần nhất.
Truncation, một hàm tương tự.
Step function.

Chú thíchSửa đổi

^ Lemmermeyer, pp. 10, 23
^ e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's
^ Higham, p. 25
^ Iverson
^ Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
^ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
^ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.321.33
^ Hardy & Wright, §§ 6.116.13
^ Lemmermeyer, p. 25
^ Hardy & Wright, Th. 416
^ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 7778
^ These formulas are from the Wikipedia article Euler's constant, which has many more.
^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
^ Hardy & Wright, § 22.3
^ a b Ribenboim, p. 186
^ Ribenboim, p. 181
^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
^ Hardy & Wright, p. 337
^ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124

Tham khảoSửa đổi

J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press.
Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN0-387-04777-9 Kiểm tra giá trị |isbn=: giá trị tổng kiểm (trợ giúp)
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN0-201-55802-5
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN978-0198531715
Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p.25
ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p.43.
Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN3-540-66967-4 Kiểm tra giá trị |isbn=: giá trị tổng kiểm (trợ giúp)
Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN978-0821820766
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN0-387-94457-5
Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p.86
Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (ấn bản 2), Oxford: Oxford U. P., ISBN0-19-853369-1

Liên kết ngoàiSửa đổi

Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 10/24/2008

Hỏi Đáp Là gì

Floors and ceilings là gì

Ví dụSửa đổi

Định nghĩa và tính chấtSửa đổi

Tương đươngSửa đổi

Mối liên hệ giữa các hàmSửa đổi

Phép chiaSửa đổi

Sự liên tụcSửa đổi

Khai triển chuỗiSửa đổi

Ứng dụngSửa đổi

Phần lẻSửa đổi

Toán tử modSửa đổi

Quadratic reciprocitySửa đổi

Làm trònSửa đổi

Số các chữ sốSửa đổi

Thừa số của giai thừaSửa đổi

Beatty sequenceSửa đổi

Hằng số Euler γSửa đổi

Hàm Riemann ζSửa đổi

Các công thức cho số nguyên tốSửa đổi

Vấn đề đã giải quyếtSửa đổi

Vấn đề chưa giải quyếtSửa đổi

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội