Giải bài tập cơ học kỹ thuật 1 năm 2024
- 1. PHONG ĐIỀN [Chủ biên] TS. NGUYỄN QUANG HOÀNG - GS. TSKH. NGUYỄN VĂN KHANG TS. NGUYỄN MINH PHƯONG
- 2. PHONG ĐIỂN [Chủ biên] TS. NGUYỄN QUANG HOÀNG - GS. TSKH. NGUYÊN VÃN KHANG TS. NGUYỄN MINH PHƯƠNG BÀI TẬP C ơ HỌC KỸ THUẬT [Tái bản lấn thứ nhất] NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM
- 3. ô rtỔ À y đ ẩ Ẩ Ắ / Cơ hoc k ỹ thuầt là một môn học cơ sở trong chương trình đào tạo sinh viên đại học kỹ thuật, ơ Liên Xô trước đây và Liên bang Nga hiện nay, tên môn học này được gọi là Cơ học lý thuyết, ơ Mỹ, CHLB Đức, Anh. Canada, Nhật Bản, Singapore, Thái Lan,... tên môn học này được gọi là Cơ học kỹ thuật [Tiếng Anh: Engineering Mechanics]. C nước ta trước năm 1990, tên môn học này là Cơ học lý thuyết. Từ nàm 1990 trở lại đây, tên môn học này ở Trường Đại học Bách khoi Hà Nội được gọi lâ Cơ học, Cơ học lý thuyết hoặc Cơ học kỹ thuảt, ở Trường Đại học Xây dựng được gọi là Cơ học cơ sở, ở Trường Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh được gọi là Cơ họclv thuyết. Đe phù hợp với chủ trương Đại học của Việt nam hội nhập với Đại học khu vực và Đại học thế giới của Bộ Giáo dục và Đạc tạo, hiện nay một số trường đại học đã gọi tên môn học này là Cơ học kỹ thuật. Nội dung của môn học Cơ học kỹ thuật gồm ba phần: Tĩnh học vật í:;/;, , răn Dộng học vật răn; Động lực học vật răn. Cuốn Bài tập Cơ học kỹ thuạt này được viết tương ứng với cuốn sách Cơ học kỹ thuật của GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang [NXB Giáo dục Việt Nam năm 2009]. Đe học tốt môn học này sinh viên cần phải làm các bài tập. Mỗi bài tập cơ học là một mô hình của một vân đề kỹ thuật nào đó. Do đó người học vừa phải nắm vững kiến thức toán học và cơ học, vừa phải có nr duy về kỹ thuật tương đối tốt. Đe giúp cho sinh viên dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập, chúng tôi phân chia cuốn sách này thành hai phần: Phần một gồm các bài tập và đáp sô', phần hai là các 3
- 4. hướng dẫn giải. Cuốn sách có tổng cộng 435 bài tập được chia thành 20 chương. Hầu hết các bài tập đã có lời giải hoặc hướng dẫn giải. Tuy nhiên nếu chưa thực sự cần thiết, sinh viên không nên xem ngay phần lời giải. Cuốn sách này không chỉ là tài liệu học tập cần thiết cho sinh viên của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội mà còn là tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên của tất cả các trường đại học trong toàn quốc. Trong quá trình biên soạn sách không tránh khỏi các thiếu sót, các tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp và của các em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn trong các lần tái bản sau. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: PGS. TS. Nguyễn Phong Điền, Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội hoặc theo địa chỉ E-mail: dien@mail.hut.edu.vn hoặc công ty CP sách Đại học —Dạy nghề, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội. Hà 10 tháng 6 năm 2010 Các tác giả 4
- 5. Tóm tắt lý thuyết và bài tập......................................................................7 Chương 1. Cân bằng của vật rắn phẳng................................................................ 9 Chương 2. Cân bằng của vật rắn không gian.......................................................29 Chương 3. Cân bằng của vật rắn khi có ma sát....................................................39 Chương 4. Trọng tâm vật rắn...............................................................................51 Chương 5. Đùng học của điểm........................................................................ .59 Chương 6. Chuyển động cơ bản của vật rắn....................................................... 65 Chương 7. Chuyển động tương đối của điểm......................................................71 Chương 8. Chuyển động song phảng cùa vật rắn................................................79 Chương 9. Động học vật rắn không gian.............................................................91 Chương 10. Động lực học chất điểm.................................................................107 Chương 11. Các đặc trưng hình học khối lượng................................................113 Chương 12. Cơ sở phương pháp động lượng......................................................121 Chương 13. Cơ sở phương pháp năng lượng......................................................137 Chương 14. Nguyên lý công ảo.........................................................................149 Chương 15. Nguyên lý d’Alembert...................................................................157 Chương 16. Nguyên lý d’Alembert-Lagrange và phương trình Lagrange II.... 167 Chương 17. Động lực học vật rắn không gian...................................................177 Chương 18. Va chạm giữa các vật rắn...............................................................189 Chương 19. Động lực học chuyển dộng tương đối............................................198 Chương 20. Dao động tuyến tính...................................................................... 206 Phần II. Hướng dẫn giải và lòi giải....................................................................213 Chương 1............................................................................................................ 215 Chương 2............................................................................................................ 230 Chương 3............................................................................................................ 237 Chương 4............................................................................................................ 247 Chương 5............................................................................................................ 250 Chương 6.................................................................................... 256 5
- 6. . . í..1L;,................................................ 259 Chương 8........................................................................................................... 269 Chượng 9............................................................................................................284 Chương 10..............................................................................1 .........................301 Chương 11........................................................................................................309 Chương 12.................................................................................... ....................315 Chương 13................................................................................. ................ . .331 Chương 14................................................................................................... ......343 Chương 15......................................................... 352 Chương 16..........................................................................................................363 Chương 17................................ . ... . . . . . ........................................................ .373 Chương 18.................................................................................. ........382 Chương 19...... ....388 Chương 20.............................. ..............396 ■• ............... ...................:.:V;Ỉ : ;.;7ob qí:f.k; ■'}."{ .. . 7 Tài liệu tham khảo....................................... ......................................................... 400 • - .........................................................lỉfí’ ỌÍJÌ Ịịíĩíin ■'Ịcỉk- 5àíi"í *'LíflC| j j } i V*Jií’ ] [/.[: ị 1 ...................... ................................................................ . O í i ĩịỉì[Ỵj 7í ÍV J/ l i 7A '■ í [ịivm đ " ] .......................... ...... ..................................... IìXkí-iÀ i /] í i i y v ị r ò Ị . . . . H í ỉ n n í É 7 7 í ì i r í i > i k . ỉ t t o đ r n s í A ' ! ; .7 :. h .[ Ị r? í ' - ..........................................................................m Àỉị :ÌŨÔÍỈẢ n h i ìiỵỉ :.]ỌĨỈ yụị ;.ỰĨỘQ s ị 7 iỉ?W íO v T í .......................................................................... . ........... : u ; ' ỉ ỉ ệ v J k.] húi;.i in ụ & j ; ; ■ / .7 1 / . • : / y - j f ! ' > ...............................................................io b ỉịttXítii ỈẬíỉộh aÒVUib ‘:;y>u -Ạ!í ĨỰ.lỌii .ọ 1 ;rr;Ọíj.i'.] ..................................................................................rỉíííl i’ yj ĩ ịj í '.ìíũú} ,.vv]. .17 ;;* ■-;jí r ] U i iúì ủ ĩ ikịịị n h h ỊỊíÙPisII -lẳ Jf?,nrf rwrnôrn iòđ ỉinrh '"j'nÁ với À là trục bất kỳ không vuông góc với AB. Dạng 3: Ỳ. mAữk]™B[ầ ]= °.. Z = °- [1.10] >ul :]iv.ì Hih í'^iítulq ỉịii! ób Hfi'óti'j iófrltinib oh/, oo'u'b "cv. ■r*í< in’ . s trong đổcác diem Ạ, B, c không thắng hàng. Vật rận chiu tác dụng của hệ lực phẳng đặc biệt [dồng quy hoặc song Sồng] có tôi đa hai phương trình cân bằng độc lập. Phản lực liên kết của một số liên kết phẩng V » • /1 Liên kết tựa[không ma sát]: Phản lực liên kết tựa có phương vuông góc dường tựa [hoặc mặt tựa] và có chiêu hướng vế phía vật khạo sát. í í 4 ^u u a V / ỊIẲCỊi LUuy M l t u VỈỈ1 VU u u u ỉ ỉ g VV p m a VÜL iviiciw o u i . * 1 c * / I Ñ, " 1 A L = = = - .= B Gối tưa cố đinh Gối tưa di đônc D >iỉ Gối tựa cố định Gối tựa di động 10
- 11. mềm [nhẹ và không giãn]. Phản lực liên kết dây [sức căng dây] có phương dọc theo dây và có chiều hướng ra phía ngoài vật khảo sát. Liên kết bản lề phẳng. Phản lực liên kết bản lề phẳng R0 có phương, chiều và độ lớn chưa xác định. Trong các bài toán cân bằng của vật rắn phẳng, lực này thường được phân thành 2 thành phần vuông góc với nhau [có chiều chưa xác định]. Liên kết thanh. Với giả thiết thanh có trọng lượng không đáng kể và chỉ chịu kéo nén, phản lực liên kết có phương nằm dọc theo dường nối giữa hai điếm liên kết và có chiều chưa xác định. Liền kết ngàtn phảng. Phản lực liên kết được phân tích làm 3 thành phần: 2 thành phần lực vuông góc với nhau và 1 ngẫu lực [chiều của lực và ngẫu lực chưa xác định]. Liên kết rãnh trượt [máng trượt]. Nếu rãnh trượt có chiều dài dủ lớn, ta có thể phân tích phản lực liên kết theo hai quan điểm: quy về dạng ngàm hoặc quy về hai liên kết tựa ở hai đầu [xem hình vẽ]. Chiếu các thành phần lực và ngẫu lực chưa xác định. Vật khảo sát Quy về Nên kết ngàm iN, -E msmmm Quy về 2 liên kết tựa 11
- 12. là ngắn, phản lực liên kết là một lực có phương vuông góc với đường trượt như hình vẽ và có chiều chưa xác định. N Ạ Rãnh trượt ngắn - - - Ọ - - - Con trươt Liên kết bản lề cốiphảng [ổ chận]. Phản lực liên kết gồm hai thành phần vuông góc X A và ỶA, trong đó thành phần ỶA có phương vuông góc với mặt bị chặn. II. BÀI T Ậ P 1-1. Cầu trục trọng lượng p có thể di chuyển được nhờ bánh xe B chạy thanh đường ray chữ I. Khoảng cách giữa hai bánh xe AB = Tời nâng dầm của cầu trục và đang giữ vật nặng trọng lượng Ổ ở vị trí cách A một Tìm phản lực liên kết tại A và B. trên hai đặt trên đoạn Đáp số: N t N , = Qx ~T L + — 2 p_ 2 1-2. Một thanh thẳng đồng chất trọng lượng p chiều dài 4a tựa trên cạnh của một góc vuông tại A và tường nhẵn tại B. Tìm góc nghiêng ọ khi thanh ở vị trí cân bằng. Xác định phản lực tại AvầB khi đó. Đáp số: cos5 . 12
- 13. có chiều dài / và trọng lượng không đáng kể được đặt nằm ngang giữa hai mặt phang nghiêng nhẵn. Tại vị trí X trên thanh, người ta đặt một vật c mang trọng lượng p. Tìm X dể thanh cân bằng ở vị trí nầm ngang. Xác định phản lực tại A và B khi đó. rN / , sinơrcos/? w „ sin p w „ sina Đáp số: X = / - — ——; N Á= p — — ỉ- — Nu = p sin[a + P] sin[a -f P] sin[a + P] 1-4. Một thanh có chiều dài l = ypĩr và trọng lượng khồng đáng kể được đặt trên một chỏm cẩu nhẵn bán kính r. Trên thanh có gắn một vật nặng có trọng lượng p. a] Tìm vị trí của vật nặng [khoảng 1 cách x] sao cho thanh can bằng ở vị trí nghiêng với phương nằm ngang một góc a = 15°. b] Tìm phản lực tại A và B khi đó. Đáp số: a ]x = V 3T T ; V3P b] n = N g = — . B 2 Hình bài 1-4 1-5. 'ĩhanh AB đồng chất, trọng lượng p đặt trên nền gấp khúc như hình vẽ. Một sợi dây vắt qua ròng rọc có một đầu nối với thanh tại B, đầu kia treo vật nặng D có trọng lượng Q đủ để giữ cho thanh dứng cân bằng. Cho biết đoạn dây BC song song với mặt nghiêng của nền. Tìm Q và phản lực tại A và B. l l _ p p h T _ ' h p Đáp số: Q= ; NẢ ==-; Ne = -PP- . 4 2 4 1-6. Một thanh đồng chất khối lượng m, chiều dài / đặt trên một bậc thang có độ cao /ỉ. Đê giữ thanh cân bằng ở vị trí nghiêng với phương nằm ngang một góc a, người ta tác dụng vào điểm B trên thanh một lực F theo phương ngang. Tìm độ lớn của lực F , phản lực liên kết tại A và B. Bỏ qua ma sát trượt. 13
- 14. mgl sin a casa lsin a cos2a ' F = ■ ■ ■ .- — ; =■- ~ — ■ - - ;7Vfl = mg 2h 2h 1 - 2h ] 1-7. Một thanh đồng chất trọng lượng được giữ tựa trên hai mặt tường nhẵn thẳng đứng nhờ dây CD tại vị trí như hình vẽ. Tìm phản lực tại A, B và sức căng của dây CD. Đáp số: ■Na= ■ ± M ’ P ; Nb=T’ = — p . 12 Ií f ỉ ! j ụ> ỉ;r .fií được treo lên trần nhờ bản lề tại /1. Tại điểm B trên tấm người ta buộc một sợi dây, đầu dây treo vật nặng trọng lượng p. a] Tìm quan hệ giữa avầb sao cho tấm cân bằng ở vị trí a = 30°. b] Tìm phản lực tại A khi tấm ờ vị trí này. Đáp số: a] I ■ = ; b] =ỘỴÁ + Q . 1-9. Một dầm gấp khúc ABCDE liên kết với nền thông qua ,bản lề tại A và được giữ bởi một sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc, nối với dầm tại hại điểm B và Dầm chịu tác dụng một lực thẳng dứng Cho biết tgc* = 4 / 3. Tìm phản lực tại A và sức căng của dây. càng cùa dây. d ;! iiib í íCd:. V Đáp số: X A = - - i F ; Y A = : F:; T = 2 ứ ’I ZỊ
- 15. được giữ nầm ngang nhờ bán lề A và dây Thanh chịu tác dụng của một hệ lực phán bô' dều có cường độ q và chịu một lực tập trung F = 3 theo phương thẳng dứng tại diểm D. Xác định phản lực tại A và sức căng của dây. < 7 F 1-11. Thanh AB liên kết với tường nhờ bản lé A và dược giữ nằm ngang nhừ thanh gấp khúc CD. 'Thanh chịu tác dụng một lực F thắng đứng tại đầu B. Bỏ qua trọng lượng của các thanh. Hãy xác định phương chiều và độ lớn của phản lực liên kết tại _ . .. v -373F Đáp số: XA = — ; Y. = ——. 2 2 1-12. Dầm ABchiều dài 3a dược ngàm chặt vào tường tạ i/4. Dầm chịu tác dụng của một hệ lực phân bố tam giác dọc theo chiều dài A B, lực tập trung F và một ngẫu lực M đặt tại B. Cho biết cường độ lực phân bố tại A là < 7, lực F nghiêng với phương thẳng đứng một góc 30°. Xác định phản lực tại A. Bỏ qua trọng lượng của dầm. Đáp số: X, E _. Y - 3a 15
- 16. đuợc lồng vào trụ CD ở vị trí nghiêng với phương thẳng đứng một góc 60°. Đầu A của thanh tựa vào tường, đầu B treo vật nặng trọng lượng p. Xác định phản lực tại A và phản lực từ trụ CD Ịên thanh [quy vế hai liên kết tựa]. Đáp số: — • N = — • N = — V 3; c 73 ; D 7 3 ' 1-15. Một máy kéo có trọng lượng p,bộ phận bốc h nâng một vật nặng trọng lượng F. Các kích thước cho trên như hình vẽ. a] Tìm điều kiện giữa p, Q và Fđ ể bánh B của máy mặt đất. b] Tìm phản lực liên kết tại điểm tiếp xúc A khi hệ ở trạng thái cân bằng. Đáp số: a] F s ; B Ht . fe ± Ĩ Eís . * a d Hỉnh bài 1-15 16
- 17. nâng người dùng để hỗ trợ lấp đặt thiết bị trên cao có trọng lượng dang nâng một người trọng lượng Xác dịnh dối trọng / dược đặt ở trên xe sao cho xe không bị lặt. , . „ C.P, Đáp sô: P3 > 2 a + b 1-17. Cần trục trọng lượng p di chuyến dược nhờ bánh xe D chay trên hai dường ray. Trọng tâm cần trục nằm trên đường trung trực của Vật cần nàng có trọng lượng Một đối trọng được đặt tại phía đối diện với vật nâng. Các kích thước cho trên hình vẽ. Xác định trọng lượng Q cùa dối trọng dể cần trục không bị lật. Hình bài 1-16 Đáp số: - F.—F- 1m — — 4 Hình bài 1-17 Hình bài 1-18 1-18. Bể nước trọng lượng p dược dặt trên hai chân tháp. Tại A là gối cô' định, tại B là gối di dộng. Ở tầm cao lì có lực tác dụng của gió nầm ngang. Tìm khoảng cách a giữa hai chán tháp dê tháp không bị lật. Đáp số: > 2Fh p 1-19. Trong một hộp có hai trụ đồng chất cùng bán kính , cùng trọng lượng nằm chổng lên nhau như hình vẽ [đường nối hai tâm trụ nghiêng với đường nàm ngang một góc 45°]. Tìm các phản lực của hộp tác dụng lên các trụ và lực tương hỗ giữa hai trụ khi cân bằng. Đáp số: Na = P N b = 72 p ; Nc = p ; 17
- 18. trụ đồng chất tâm Cị và C2 nằm chồng lên nhau trong một góc vuông như hình vẽ. Trọng lượng của hai trụ lần lượt ìầ Pị= 10 N, p2 = 30 N. Tìm góc nghiêng ọ của đoạn nối hai tâm CịC2 và lực tương hổ giữa hai trụ khi hệ cân bằng. Đáp số: < p= 0; N= loVã N 1-21. Một cần trục gồm cần gắn với tháp CD thông qua khớp bản lề tại Chân tháp được giữ cố định với nền để tháp luôn thắng đứng. Cần AB được giữ nằm ngang nhờ dây BG. Giả thiết A và CD được xem là vật đồng chất có trọng lượng trên một đơn vị chiều dài là p. Tìm phản lực tại c, D và sức căng của dây khi cần trục đang giữ vật có trọng lượng p ở trên cao. 18
- 19. lực liên kết tại các khớp cho cơ cấu như hình vẽ. Đáp số: XA = 3F; Ya = 2,5F X B = -3F: = -Ị5 F ; = 4F; r c = 2,5F; 1-25. Hai thanh dầm liên kết với nền thông qua bản lề tại Aygối tựa di động tại Z ?, đồng thời liên kết với nhau nhờ bản lé tại c. Ngoài ra, hai dầm được giữ với nhau bàng' dây FF. Trên hai dầm dặt một thùng bia có trọng lượng p. Tim phản lực tại các điểm A, B ,c và sức căng của dây. Bỏ qua trọng lượng của cả hai dầm. Đáp số: X a = o -> ya = n b = £ . XC = - P ; Y C =0; 2 19
- 20. dầm nối với nhau bằng khớp bản lề tại c, bị ngàm tại B và được dỡ bởi gối tựa di động tại A.Hệ chịu tác dụng của các lực và ngẫu lực như trê Tim phản lực tại A, B và c. „ , , .r 7 q a M Đáp SỐ : n a = - + ~; 3 Za X B =0-, = — 4qa2 2 qa M + F mu X c 3 3 2a + M - aF ; 0 ; Yr -2 qa M 3 + 2a Hình bài 1-26 1-27. Hệ hai dầm liên kết với nhau nhờ bản lé tại c, bị ngàm tại A và dược đỡ bởi gối tựa di động tại B. Hệ chịu tác dụng của lực phân bố đéu có cường độ Tìm phản lực tại A, B và c. Đáp số: X A = 0 ; Ya = 1,5go ; mA 2; NB = < 1 a I a Hình bài 1-27 0,5 q a ; X c =0; = 0,5 1-28. Cầu gồm dầm AB trọng lượng p nối với dầm BC trọng lượng Q nhờ bản lề B và chịu liên kết như hình vẽ. Từ giữa dầm cầu AB đến cuối dầm cầu BC có một đoàn tàu dang đỗ, trọng lượng xem như phân bố đều với cường độ q. Xác định phản lực các gối A ,c, D và lực tác dụng tương hỗ tại B. 20
- 21. Q 3 . 2 [P+ Q A 3 Q ’ Q ’ 1B - Q O < 3 N, 2P 3 1-30. Một hệ khung gồm hai dầm thép /Iß và ßC nối với nhau bằng khớp bản lề tại tí. Hệ khung bị ngàm tại được đỡ bởi gối tựa di động tại và chịu tác dụng của lực Ftheo phương thẳng đứng tại c .Tìm phản lực tại /4, ß và D. Đáp số: X A = 0 -Y A = - j F - , m A = F - 0 0 x u =o - y b = ~ f -,n d = f o o 1-31. Hệ khung dầm chịu lực gồm hai dầm AC và CB liên kết với nhau và với nền như hình vẽ. Dầm AC chịu tác dụng của hệ lực phân bố cường độ q và lực tập trung F = 4 T2, điều kiện để giữa dây và trụ không xảy ra trượt là: Tx < Tỵ«* [3.6] [Trong trường hợp có hiện tượng trượt tương đối, ta có quan hệ ĩ ; = T fT ]. - Nếu Tj < T2, điều kiện để giữa dây và trụ không xảy ra trượt là: T2 < XỊe"0 “ [3.7] [Trong trường hợp có hiện tượng trượt tương đối, ta có quan hệ T2 = T1 e'“*]. [3.5] 40
- 41. Ậ P 3-1. Một chiếc hòm có trọng lượng p dặt trôn nền nằm ngang không nhẩn. Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa hòm và nền là JLỈ[Ì. Tim lực F nhỏ nhất tác dụng vào hòm theo phương nghiêng với phương nằm ngang một góc a dể có the kéo hòm xê dịch. F Hình bài 3-1 Đáp số: H>p cosa + sin a 3-2. Một vật có hình dạng khối lập phương, đổng chất, trọng lượng p dược đặt nghiêng tựa trên tường và nền không nhẵn. Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa khối lập phương với tường cũng như với nền ngang là /J0 = 0,3. Tìm góc nghiêng a khi khối lập phương ở trạng thái sắp trượt. Đáp số: tga= ] — ^ L =— , a 28,3°. 1+ /J0 13 3-3. Một dầm đồng chất có chiều dài / và trọng lượng p được đặt nghiêng trên hai gối tựa Avà B. Đầu dầm bên phải treo vật nặng trọng lượng Q 2 Do lực ma sát trirựt tại A và B, dầm được giữ cân bàng ở vị trí nghiêng với phương ngang một góc a. Cho biết hệ sô' ma sát trượt tại Av à a] Xác định phản lực pháp tuyến tại A và B. b] Với giá trị nào của /xu thì thanh ở trạng thái sắp trượt? Đáp số: a] Na = 6,5Pcos a;N 0 = 9,5Pcosa; b] /Ju 16 Hình bài 3-4 Q 3-4. Một con lăn đồng chất trọng lượng p được giữ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng bằng một lực F tác dụng theo phương thắng đứng. Cho biết góc nghiêng cùa mặt phẳng so với phương ngang là a, hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lãn với 41
- 42. và bỏ qua ma sát lăn. Xác định F và /z0 theo p và a. , _ _ _ sin tga. 1- sin a 3-5. Tìm lực F cần thiết theo phương thẳng đứng phải đặt vào con lăn đồng chất trọng lượng p để con lăn ở trạng thái sắp chuyển động. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lăn với tường thẳng đứng cũng như nền ngang là ¿¿0. Bỏ qua ma sát lăn. Đáp số: F = p _^ọíL±ifaL. 1■ + ■/i0 “Ị ” 2/i0 3-6. Một con lăn hai tầng trọng lượng tầng trong bán kính rđ ược quấn quanh bằng một sợi dây mềm [đầu dây nối cố định với tường] tầng ngoài bán kính R đặt trên mặt phẳng nghiêng. Cho biết góc giữa mặt phẳng nghiêng so với phương ngang là a,phần dây nối giữa tường với con lăn song song với mặt phẳng nghiêng. Bỏ qua ma sát lãn. a] Khi con lãn đứng yên, xác định sức căng của dây và lực ma sát giữa con lăn với nền. b] Tìm hệ số ma sát trượt ,Uịi giữa con lăn với mặt phẳng nghiêng để không xảy ra hiện tượng trượt. / ĩ T Đáp số: a] T = —— —p sin a ; Fm t = —-— R-r R - r P sina; b] J U 0 —- - 3-7. Một cam đĩa lệch tâm đặt ở vị trí nghiêng với phương nằm ngang một góc a. Tìm độ lệch tâm e nhỏ nhất sao cho dưới tác dụng của lực F, tại điểm tiếp xúc B nhận được một phản lực pháp tuyến có độ lớn N. Biết rằng hệ số ma sất trượt tĩnh giữa cam với nền là /4]. Bỏ qua ma sát lăn. Fl N ụ°r Đáp số: e = — ---- . cosa - /J0sin a 42
- 43. tời kéo sử dụng bộ truyền bánh răng lắp trên hai trục A và B. Bánh răng 1 có bán kính vòng lăn r{ăn khớp với bánh răng 2 có bán kính vòng lăn R2. Góc ăn khớp của hai bánh răng là a. Bánh răng 2 gắn với tời kéo có bán kính r2, trên tời quấn dây dùng để kéo vật nặng trọng lượng p trên mặt phẳng nghiêng góc p so với phương nầm ngang. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa vật với mặt nghiêng là ju[h díiy kéo vật song song với mặt nghiêng, bỏ qua trọng lượng của các bánh răng. a] Tìm trị số mômen cần thiết M của ngẫu lực tác dụng vào bánh răng 1 để vật nặng ở trạng thái sắp trượt lên cao. b] Tìm phản lực tại ổ trục B Đáp số: a] M = Pr,r2[sin p + //ọCosyg] Ạt b] X B - P[sin +/j0cos/3] Y¡J = P[sin p + /J0cosậ] r2sin a Recosa sin p - cos 3_ R, 3-9. Tấm phẳng Ađặt trên nền nằm ngang, trên tấm đặt hai vật nặng và được nối với nhau bằng một sợi dây. Trọng lượng của tấm A là PA, trọng lượng của vật và lần lượt là PRvà pc.Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa tấm A với vật B, vật c và với nền lần lượt là /Jm, /J[]2 và /J[]V Tìm lực tác dụng theo phương ngang vào vật B để hệ ở trạng thái cân bằng. Hình bài 3-8 F ' ■ > B /-S c A kk] M 02 Hình bài 3-9 Đáp số: F < min Poì b + M o Á P A + p u 3-10. Một con lăn trọng lượng p dặt trên một nêm có trọng lượng Q và được giữ bởi một sợi dây nằm ngang như hình vẽ. Cho biết góc nghiêng của nêm là a. Tim hệ số ma sát trượt tĩnh giữa nêm với mật phẳng ngang //,,] và giữa nêm với con lăn /4,2 để hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát lăn. Đáp số: /4], > P sin a [P + Ọ][l + cosa] ’ °2 sin a 1+ cosa Hình bài 3-10 43
- 44. đổng chất trọng lượng Q, chiều dài / dặt trên một con lăn đổng chất trọng lượng bán kính r.Thanh được liên kết với nền bởi bản lề tại A và nghiêng với phương nằm ngang một góc a. Tìm hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lăn với nền /Jm và giữa con lăn với thanh /um dể hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát lãn. Đáp số: Hình bài 3-11 p 2r 2 O L a -1 a A I --cotg —+ cosa cotg — Q l 2 2 ; m> 2 * cosa cotg — L 2 J 3-12. Một khung trọng lượng không đáng kể được lổng vào một trụ đặt thẳng đứng không nhẩn có bán kính mặt ngoài là r .K hoảng cách giữa hai vòng tròn trên khung là b. Tìm hệ số ma sát trượt /tị, giữa khung với trụ để khung không bị trượt khi chịu tác dụng của một lực F thẳng đứng có dộ lớn tùy ý đật cách tâm trụ một đoạn là a. Đáp số: //u > -. La Hình bài 3-12 3-13. Một vật trọng lượng Q được giữ chặt trên tường nhờ một thanh đồng chất trọng lượng pđặt nghiêng với phương ngang một góc a. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa vật với thanh là và giữa vật với tường là a] Tìm trọng lượng cho phép của vật nặng để hệ cân bằng. b] Tìm điều kiện với góc a để xảy ra hiện tượng tự hãm. Đáp số: a ] Q < p / tfn + — ; b] tga < P01. 2 [tg a - ^ 01] 44
- 45. cơ cấu kẹp như hình vẽ. Tìm hệ số ma sát trượt tĩnh ỊẨ ị] giữa má kẹp với vật nặng dể cơ cấu có thể nhấc vật trọng lượng p tùy ý lên cao. ... . . bd Đáp sô: /¿y > - . ac + be 3-15. Một thiết bị kẹp giữ vật A gồm hai chặn kẹp cố định có góc nghiêng a và hai con lãn cùng kích thước, cùng trọng lượng p. Nhờ ma sát mà vật A bị giữ chặt giữa hai con lăn. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lăn với chặn kẹp cũng như với vật A là /i0. Bỏ qua ma sát lăn. a] Tim trọng lượng Q của vật A đế hệ cân bằng. b] Với giá trị nào của ¿4]thì hiện tượng tự hãm xảy ra? Đáp số: a] Q < 2/Ầ Qsin a cosa - /U Q [1 + sin a] P b] //„ 2: cosa 1+ sin a 3-16. Cho mô hình cơ cấu phanh tay như hình vẽ. Để hãm bánh phanh o dưới tác dụng của một ngẫu lực có mômen bằng M, người ta dặt một lực vào đầu tay đòn làm cho má phanh ép vào bánh phanh tại Biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa má phanh với bánh phanh là /V Các kích thước của hệ cho trên hình vẽ. Tìm trị số F của lực dê cơ cấu cân bằng trong hai trường hợp: a] Mômen Mn gược chiều kim dồng hồ. b] Mômen M thuận chiều kim dồng hồ. Đáp số: a] F > —-— _ ° ' ; b] F >— - Mo I Rm JR 45
- 46. cấu phanh tang trống gồm một tang trống có thể quay quanh tâm o cố định và hai má phanh có thể quay quanh hai bản lề cố định tại A và B. Tác dụng lực đẩy F vào hai đầu má phanh sẽ làm cho má phanh ép sát vào tang trống và tạo ra mômen phanh. Cho biết hệ sô' ma sát trượt giữa má phanh và tang trống là ỊU . Xác định mômen phanh tạo ra trong quá trình phanh. Đáp số: M - — J Fa. 25 - 16/r2 Hỉnh bài 3-18 3-18. Cho cơ cấu cam cần đẩy, đáy bằng chịu tác dụng của lực tại D theo phương nghiêng với phương thẳng đứng một góc a. Dưới tác dụng của ngẫu lực có mômen là M, cam quay quanh trục o sẽ đẩy cần chuyển động tịnh tiến theo rãnh trượt thẳng đứng. Cho biết hệ sô' ma sát trượt giữa cần đẩy với cam là /4,1 và giữa cần đẩy 46
- 47. là /J[]2 ' Tại vị trí như trên hình vẽ, xác định mômen cần đặt vào cam đế cần đấy ở trạng thái sáp trượt lên cao. Đáp số- M= 2 a F [e ± Poi& ][Po2sin « + 008 a] ■ 2 a- jL ioĩ[e - 2ựm a] 3-19. Lực nằm ngang F đặt vào nêm A làm cho nó có xu hướng trượt và dẩy nêm B lên cao theo máng trượt nghiêng góc a với mật nằm ngang. Góc nghiêng của mặt tiếp xúc giữa hai nêm là ß p[sin[a + ß]+ ijC os + /?]] sin ß + /r0cosyỡ sin[a + ß] < ß0cos[a + F 3-20. Vật nặng trọng lượng p gắn trên bể mặt của một dây băng dẹt được giữ cân bằng trên mặt cong nhám [có dạng một phần tư cung tròn] tại vị trí vật nằm trên đường thẳng đi qua tâm cung tròn và nghiêng với phương thẳng đứng một góc a nhờ một lực tác dụng vào đầu kia của sợi dây. Cho biết hệ sô' ma sát tĩnh giữa mặt cong với dây là /4,. Tìm trị số F của lực. Đáp số: Pc [sin a —/ruco sa] < F — ; b] /•’ > — --- ,với Ĩ7T/ 6. ‘ l[ew’ -1 ] /[e''"n -1 ] 3-22. Một chiếc tời dùng dể kéo thả dây cáp khi di chuyển ô tô trong quá trình sửa chữa có cấu tạo gồm dầu tời dược truyền động thông qua một động cơ điện. Một sợi dây cáp quấn vài vòng xung quanh đầu tời, một đầu nối với thân xe, một đầu giữ bằng tay. Cho biết lực kéo ô tô lúc đó là |, số vòng dây cáp quấn quanh đầu tời là nv òng, hệ số ma sát giữa tời và cáp là /4]. Tìm lực giữ bằng tay F2 tại đẩu dây để khi động cơ quay, thì tời sẽ kéo ô tô chuyển động. Đáp số: F2 > F,e 2"n # 3-23. Thiết bị tời kéo sử dụng bộ truyền đai gồm bánh dẫn bán kính / ị, bánh bị dẫn bán kính R2, tang tời bán kính r2 gắn với bánh bị dẫn, vật nặng kéo trượt trên mặt phẳng nghiêng. Cho biết góc nghiêng của mặt phẳng là dây kéo vật song song với mặt nghiêng, hệ sổ ma sát trượt giữa dây đai và các bánh đai là /Ẩ uu giữa vật và mặt phẳng là fiin. góc ôm là a. Giả thiết bán kính r < Ạị. Để hạn chế trượt giữa dây đai và bánh đai, dây đai dược căng với sức căng ban đầu là T{ ] . Tìm ngẫu lực M tác dụng vào bánh dẫn và sức căng T{ ]để vật nặng đứng yên trên mật phẳng nghiêng ở trạng thái sắp trượt lên cao. Đáp số: M — Prĩ'2[sin ¡3+ /i02cos/3] r 2 . r p > M[e*'a + 1] ’ 0 “ 2r1[e*lQ - 1 ] ' 3-24. Một chiếc xe lu dang chuyển động trên đường thì bị phanh bằng một lực vừa đủ F tác dụng lên cánh tay đòn khiến xe dừng ngay tại chỗ. Khi đó dây đai vắt qua một bánh trụ nhỏ bán kính rg ắn cứng với bánh xe sẽ bị kéo cãng v tì sát vào bánh xe bán kính R. Cho biết hệ số ma sát trượt giữa dây đai và bánh trụ 48
- 49. má phanh với bánh xe là ụm. Bỏ qua khối lượng của cánh tay đòn và dây dai. a] Tính sức căng của dây dai trên nhánh 1và 2. b] Tính toán lực pháp tuyến tại điểm tiếp xúc giữa má phanh với bánh xe. c] Tính toán lực ma sát giữa bánh xe và mặt đường. Bỏ qua ma sát lăn. 2 2 _ 4r Đáp số: a] T, - - F ; T2 =- ẻ F b] = — — - F 1 3 2 3 3[A/r02+ r ] c] F = / TU.S 2r . — —[e2 3R l] + 7 4r 3[A//02 + M oĩe 2W n F. 3-25. Một con lăn trọng lượng p, bán kính /? dược đặt trên nén nằm ngang. Một sợi dây nối tại tầm con lãn, vắt qua ròng rọc và đầu kia treo vật nặng trọng lượng Q. Cho biết giữa con lán với nền có hệ số ma sát trượt tĩnh là /4, và hệ số ma sát lãn tĩnh là k0, đoạn dây CB nghiêng với phương ngang một góc a. Tìm trọng lượng Q để hệ cân bằng. Đáp số: Q < min ' Ịk p Kcosa + /Ấ Qsina Kp Rcosa + ks in a J 3-26. Một con lăn hai tầng trọng lượng p, tầng trong bán kính r, được quấn quanh bằng một sợi dây mềm [đầu dây dược giữ cố định], tầng ngoài bán kính R dặt trên mặt phẳng nghiêng [góc nghiêng à]. Cho biết phần dây không bị quấn vào con lãn song song với mặt phảng nghiêng, giữa con lăn với nén có hệ số ma sát trượt tĩnh là /4] và hệ số ma sát lãn tĩnh là k0.Tìm điểu kiện của a để con lã bằng trên mặt phẳng nghiêng. „ , [r + R]un +kn Đáp sô: a < arctg -^-2- 2-. r Hình bài 3-27 49
- 50. phẳng trọng lượng pđ ặt nằm ngang trên hai kính R, trọng lượng Q được lắp trên hai trục A và B. Cho biết giữa tấm và quả lô có hộ số ma sát trượt tĩnh là /4; và hệ số ma sát lãn tĩnh là Tại vị trí đang xét, trọng tâm c của tấm cách trục A một đoạn a, cách trục B một đoạn b [b > a ]. Xác định ngẫu lực M tác dụng vào quả lô lắp trên trục A để tấm phẳng ở trạng thái bắt đầu chuyển động không trượt trên hai quả lô. p Đáp số: k0P = M