Đổi biến để tính tích phân là nội dung quan trọng hỗ trợ chúng ta tính được tích phân dễ dàng hơn cách thông thường.
Ta cần tìm $\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy $.
Thực hiện phép đổi biến $$\left\{\begin{array}{l} {x=x[u,v]} \\ {y=y[u,v]} \end{array}\right. \label{3.1.7}\tag{*}$$ Giả sử
- Các hàm $x[u,v];{\rm \; }y[u,v]$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng $D'$ nằm trong mặt phẳng $Ouv$.
- Các công thức \eqref{3.1.7} xác định 1 song ánh từ $D'$ lên $D$.
- $$ J=\frac{D[x,y]}{D[u,v]} =\left|\begin{array}{cc} {x'_{u} } & {x'_{v} } \\ {y'_{u} } & {y'_{u} } \end{array}\right|\ne 0,{\rm \; \; }\forall [u,v]\in D'.$$
Khi đó ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội hai: $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\iint\limits_{D'}f[x[u,v],y[u,v]]|J|dudv.\label{3.1.8}\tag{7}$$
Ví dụ 5. Tính $\iint\limits_{D}[x+y][x-y]^{2} dxdy $ với $D$ được giới hạn bởi các đường: $x+y=1;{\rm \; }x+y=3;{\rm \; }x-y=0;{\rm \; }x-y=1$.
Hướng dẫn.
Thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=x-y} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{1}{2} [u+v]} \\ {y=\frac{1}{2} [u-v]} \end{array}\right..$
Xác định miền $D'$: $D'=\left\{[u,v]\in \mathbb{R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.
Dễ thấy phép đổi biến trên xác định một song ánh từ $D'$ lên $D$.
Ta có $J=\dfrac{D[x,y]}{D[u,v]} =\left|\begin{array}{cc} {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right|=-\dfrac{1}{2} \ne 0$.
Vậy, $$\iint\limits_{D}[x+y][x-y]{2} dxdy =\iint\limits_{D'}u.v{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}{3}udu \int\limits_{0}{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$
Chú ý. Nếu ta thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=x-y} \end{array}\right..$
Ta vẫn có miền $D'=\left\{[u,v]\in {\rm R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.
Dễ thấy phép đổi biến trên vẫn xác định một song ánh từ $D'$ lên $D$.
Và $\dfrac{1}{J} =\dfrac{D[u,v]}{D[x,y]} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|=-2\ne 0$.
Vậy, $$\iint\limits_{D}[x+y][x-y]{2} dxdy =\iint\limits_{D'}u.v{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}{3}udu \int\limits_{0}{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$
Định nghĩa. Trong mặt phẳng chọn một điểm $O$ cố định gọi là cực và trục $Ox$ gọi là trục cực.
Hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ cực.
Vị trí của một điểm $M$ trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định bởi 2 số:
$r=\overrightarrow{OM}$ được gọi là bán kính vector hay bán kính cực.
$\varphi =[Ox,\overrightarrow{OM}]$ được gọi là góc cực, là góc định hướng [có chiều quay dương [khi quay trục $Ox$ lên trùng với $\overrightarrow{OM}$] là chiều ngược chiều kim đồng hồ]
Cặp số có thứ tự $[r,\varphi ]$ được gọi là các tọa độ cực của điểm $M [r\ge 0;{\rm \; }\varphi \in {\rm [}0,2\pi {\rm ]}].$
Mối quan hệ giữa điểm $[x,y]$ trong hệ tọa độ Đề Các và hệ tọa độ cực
Công thức tính.
Để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ Đề các $[x,y]$ và các tọa độ cực $[r,\varphi ]$ của cùng một điểm $M$, ta dựng hệ trục tọa độ Đề các có gốc tại cực, trục hoành trùng trục cực.
Theo định lý về phép chiếu vuông góc ta có $\left\{\begin{array}{l} {x=r\cos \varphi } \\ {y=r\sin \varphi } \end{array}\right. $ [**]
Nếu $r>0;{\rm \; }\varphi \in {\rm [}0,2\pi {\rm ]}$ thì [**] xác định một song ánh giữa các tọa độ Đề các và các tọa độ cực [riêng điểm $O[0,0]$ có $r=0;{\rm \; }\varphi $ tùy ý]
Do đó ta có thể xem [**] như một phép đổi biến.
Ta có $J=\dfrac{D[x,y]}{D[r,\varphi ]} =\left|\begin{array}{cc} {\cos \varphi } & {-r\sin \varphi } \\ {\sin \varphi } & {r\cos \varphi } \end{array}\right|=r\ne 0$ [trừ điểm $O[0,0]$]
Do đó, ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực:
$$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\iint\limits_{D'}f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]rd\varphi dr.\label{3.1.9}\tag{8}$$
Chú ý.
- Công thức \eqref{3.1.9} vẫn đúng trong trường hợp chứa gốc $O[0,0]$.
- Nếu $D$ được giới hạn bởi $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} [\varphi ]\le r\le r_{2} [\varphi ]} \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right.$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\int _{\varphi _{1} }{\varphi _{2} }d\varphi \int _{r_{1} [\varphi ]}{r_{2} [\varphi ]}f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]rdr\label{3.1.10}\tag{9}.$$
- Nếu $D$ là hình tròn tâm trùng cực, bán kính $R$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\int _{0}{2\pi }d\varphi \int _{0}{R}f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]rdr\label{3.1.11}\tag{10}.$$
- Nếu $D$ được giới hạn bởi $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} \le r\le r_{2} } \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right. $ và $f[r\cos \varphi ,r\sin \varphi ]=f_{1} [\varphi ].f_{2} [r]$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực như sau: $$\iint\limits_{D}f[x,y]dxdy =\int _{\varphi _{1} }{\varphi _{2} }f_{1} [\varphi ]d\varphi \int _{r_{1} }{r_{2} }f_{2} [r]rdr\label{3.1.12}\tag{11}.$$
Ví dụ 6.
Tính tích phân $\iint\limits_{D}[x^{2} +y^{2} ]dxdy $ với $D$ là hình tròn $[O,2]$.
Hướng dẫn.
Chuyển sang tọa độ cực, ta có $$\iint\limits_{D}[x^{2} +y^{2} ]dxdy =\int _{0}{2\pi }d\varphi \int _{0}{2}r^{2} rdr =8\pi.$$