- 1. toàn thư mở Wikipedia Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. Hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa các đại lượng vật lý. Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời gian. Nếu tốc độ là 5m/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t. Về ý nghĩa, ánh xạ biểu diễn một tương quan [quan hệ] giữa các phần tử của hai tập hợp X và Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều có một và chỉ một phần tử tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ có một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong lý thuyết hàm, đặc biệt là lý thuyết xác suất, hàm còn có thể bao hàm các hàm đa trị, trong đó một giá trị x có thể tương ứng với một số giá trị của y. Bài này chỉ viết về các ánh xạ [hàm] đơn trị. Mục lục [ẩn] • 1 Các thuật ngữ • 2 Vài tính chất cơ bản • 3 Toàn ánh, đơn ánh và song ánh • 4 Một số ánh xạ đặc biệt • 5 Ánh xạ tích và ánh xạ ngược • 6 Các khái niệm ánh xạ khác [dịch từ tiếng anh] • 7 Xem thêm • 8 Liên kết [sửa] Các thuật ngữ Trong các sách giáo khoa toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông thường định nghĩa: Ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y [ký hiệu ] là một quy tắc cho mỗi phần tử x X tương ứng với một phần tử xác định y Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f[x]. Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích. Với mỗi , tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, kí hiệu là f − 1[y] Với mỗi tập con , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A kí hiệu là f[A]
- 2. con , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh được gọi là tạo ảnh của tập B kí hiệu là f − 1[B] Một định nghĩa khác, dùng trong lý thuyết tập hợp, sau khi định nghĩa khái niệm quan hệ, người ta định nghĩa: Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quan hệ từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử đều có quan hệ với một và chỉ một phần tử . Viết dưới dạng mệnh đề, ánh xạ , kí hiêu , là một quan hệ thoả mãn: 1. ; 2. Nếu X và Y là các tập hợp số thì ánh xạ được gọi là hàm số. Khi đó X cũng được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f[x],tập các ảnh f[X] được gọi là miền giá trị của hàm f[x]. [sửa] Vài tính chất cơ bản • Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng A= • Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh • Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh f[A B] f[A] f[B] • Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh f[A B] = f[A] f[B] [sửa] Toàn ánh, đơn ánh và song ánh
- 3. Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y f[X] = Y hay • Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y .Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này. hay • Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" [từ X lên Y] . [sửa] Một số ánh xạ đặc biệt • Ánh xạ không đổi [ánh xạ hằng]: là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y0 Y. • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f[x]=x. • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con vào Y cho f[x]= x với mọi . Khi đó ta ký hiệu f : X Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f[X] nên có thể thay thế các phần tử của tập con bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.123 [sửa] Ánh xạ tích và ánh xạ ngược • Ánh xạ tích Cho hai ánh xạ và . Tích của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức: • Một số tính chất của ánh xạ tích Nếu là đơn ánh thì f là đơn ánh. Nếu là toàn ánh thì g là toàn ánh. Nếu là song ánh thì f và g đều là song ánh. • Ánh xạ ngược [Inverse map] Cho ánh xạ , nếu có ánh xạ sao cho
- 4. gọi là ánh xạ ngược, hay nghịch đảo của f, kí hiệu là f − 1. Ánh xạ f có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
Trong bài viết này, hãy cùng TTnguyen tìm hiểu một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp trong quá trình học đại số và hình học giải tích. Bắt đầu thôi!!!
Xem thêm: dạng toàn phương – bài tập đưa về dạng chính tắc tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto – Bài tập & lời giải
- bài tập không gian eculide kèm lời giải chi tiết
Định nghĩa: V→W từ không gian vecto V đến không gian vecto W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 tính chất sau:
- f[x,y]=f[x]+f[y]
- f[kx]=kf[x]
∀ x, y∈V, ∀ k∈ R
2. Các tính chất của ánh xạ tuyến tính
Cho V và W là hai không gian véc tơ. Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì:
- f[θ] = θ
- f[–v] = –f[v], ∀v ∈ V
- f[u – v] = f[u] – f[v], ∀u, v ∈ V.
3. Hạng của ánh xạ tuyến tính – Định lí về số chiều
Định nghĩa hạng của axtt: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của Im[f] gọi là hạng của f, ký hiệu là rank[f].
rank[f] = dim[Im[f]].
Định lý về số chiều: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì
dim[Im[f]] + dim[Ker[f]] = n,
trong đó n = dimV, tức là rank[f] + dim[Ker[f]] = n.
Xem thêm: hạng của ma trận bài tập tìm cơ sở trực chuẩn và trực giao
3. Chứng minh ánh xạ tuyến tính
Ví dụ: Cho R2→R3, Chứng minh ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không?
f[x,y]=[x+y, 0, 2x+2y]
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc \[R^{2}\]: \[x=[a_{1}; b_{1}]\] và \[y=[a_{2},b_{2}]\]
– \[f[x+y]=[a_{1}+ a_{2},b_{1}+ b_{2}]\]
\[= [a_{1} + a_{2} + b_{1} + b_{2}, 0 , 2a_{1} + 2a_{2} + 2b_{1} + 2b_{2}]\]
\[= [a_{1} + b_{1} , 0 , 2a_{1} + 2b_{1}] + [a_{2} + b_{2} , 0 , 2a_{2} + 2b_{2}] \]
\[= f[x] + f[y]\]
– \[f [kx] = f[ka_{1} , kb_{1}]\]
\= \[[ka_{1} + kb_{1} , 0 , 2ka_{1} , 2kb_{1}]\]
\= \[k[a_{1} + b_{1}, 0 , 2a_{1} + 2b_{1}]\]
\= \[kf[x]\]
Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính.
4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
V là không gian vecto với cơ sở S
W là không gian vecto với cơ sở T
Ma trận của f theo cơ sở S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f[s] theo cơ sở T
- Cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
- Tìm ảnh f[s]
- Tìm toạ độ \[ [f[s]]_{T}\]
5. Cách tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4
f [a, b, c] = [a + b + c, b, bc, a + c]
Giải
Có thể viết lại thành dạng cột:
Ví dụ: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2
f [a, b, c] = [b + c, 2a-c]
S = {u 1 [1,0,1], u 2 [4,3,3], u 3 [1,2,1]}
T = {[2,2], [1,7]}
Giải
Tìm ảnh f[s]:
f [u 1 ] = f [1,0,1] = [1,1]
f [u 2 ] = f [4,3,3] = [6,5]
f [u 3 ] = [1,2,1] = [3,1]
Tìm toạ độ [f[s]]T
Vậy ma trận S – T là:
Tham khảo: bài tập không gian vecto có lời giải ứng dụng của đại số tuyến tính trong cuộc sống
6. Bài tập ánh xạ tuyến tính có lời giải
6.1 Bài tập chứng minh ánh xạ tuyến tính có lời giải
Bài 1: Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?
f [x, y] = [x, y + 1]
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc \[R^{2}\]: \[x=[a_{1}; b_{1}]\] và \[y=[a_{2},b_{2}]\]
– \[f[x+y]=[a_{1}+ a_{2},b_{1}+ b_{2}]\]
\= \[[a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2} + 1]\]
\= \[[a_{1}, b_{1} + 1] + [a_{2} ,b_{2}]\]
≠ f [x] + f [y]
Vậy ánh xạ đã cho không phải là ánh xạ tuyến tính.
Bài 2: Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?
f [x, y] = [y, y]
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc \[R^{2}\]: \[x=[a_{1}; b_{1}]\] và \[y=[a_{2},b_{2}]\]
– \[f[x+y]=[a_{1}+ a_{2},b_{1}+ b_{2}]\]
\= \[[b_{1}+ b_{2}, b_{1}+ b_{2}]\]
\= \[[b_{1}+ b_{1}]+[b_{2}+ b_{2}]\]
\= \[f [x] + f [y]\]
– \[f [kx] = f[ka_{1} , kb_{1}]\]
\= \[[kb_{1}, ka_{1}]\]
\= \[k[b_{1}, b_{1}]\]
\= \[kf[x]\]
Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính.
6.2 Tìm ma trận f đối với cơ sở chính tắc
Bài 1: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R3
f [a, b, c] = [a + 2b + c, a + 5b, c]
Giải
Xem lại ví dụ ở ma trận của ánh xạ tuyến tính ta được ma trận chính tắc là:
Bài 2: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f sau:
+ f [a, b] = [b, -a, a + 3b, a – b]
+ f [a, b, c, d] = [d, a, c, b, bc]
Bài 3: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R2→R3
f [a, b] = [a + 2b, -a, 0]
S = {u 1 [1, 3], u 2 [-2, 4]}
T = {[1, 1, 1], [2, 2, 0], [3, 0, 0]}
Giải
Tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính f[s]:
f [u 1 ] = f [1,3] = [7, -1 ,0]
f [u 2 ] = f [-2, 4] = [6, 2, 0]
Tìm toạ độ [f[s]]T
Vậy ma trận S – T là:
Bài 4: Xét ánh xạ f: R2 -> R3
5. Cho ánh xạ f: P3[x] -> P2[x], p[x] -> p'[x]
Liên quan: dạng song tuyến tính – bài tập có lời giải căn bậc 2 của số phức cách tìm m để ma trận khả nghịch giải hệ phương trình bằng phương pháp cramer
Tải File bài tập có đáp án tại đây:
Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản cùng phương pháp giải bài tập ánh xạ tuyến tính trong đại số tuyến tính và hình học. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net