Vậy phương trình $ax^2+bx+c=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$
b) Chứng minh bất đẳng thức sau:
$|sina-sinb|\leq |a-b|$
Giải:
Xét hàm số $f(x)=sinx$ thì $f(t)$ thỏa mãn mọi điều kiện của định lý Lagrange trong đoạn $[a;b]$
Vậy $f(a)-f(b)=f'(c\: )(a-b)$$\Leftrightarrow sina-sinb=(a-b)cosc\Leftrightarrow |sina-sinb|=|(a-b)cosc|\leq |a-b|$ vì |cosc\leq 1|
Định lý Cauchy
Nếu $f(x), \: g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, khả vi trong khoảng $(a;b)$ và $g'(x)\neq 0$ trong $(a;b)$ thì $\exists c\: \epsilon \: (a;b):\: \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c\: )}{g'(c\: )}$
Bài tập Vận dụng:
Cho hàm $f(x)=x^2,\: g(x)=x$ trong đoạn $[-1;1]$
Giải:
Hàm $f(x),\: g(x)$ liên tục trong $[-1;1]$ và khả vi trong khoản $(-1;1)$ và $g'(x)\neq 0$ trong $(-1;1)$
Định lý L'Hôpital ( khử dạng vô định $\frac{0}{0}, \: \frac{\infty }{\infty }$)
Nếu $f(x), \: g(x)$ thỏa mãn các điều kiện của định lý Cauchy trong lân cận của $x_0\:\epsilon \:\mathbb{R}^{~}$, trừ tại $x_0$ $\lim_{x\to x_0 }f(x)=\lim_{x\to x_0 }g(x)=0 \: (\infty )$ và $\lim_{x\to x_0 }\frac{f'(x)}{g'(x)}=a\: (a\: \epsilon \: \mathbb{R}^{~})$ thì $\lim_{x\to x_0 }\frac{f(x)}{g(x)}=a$
Bài tập Vận dụng:
Tìm giới hạn:
$$\lim_{x\to 0}\frac{tgx-x}{x-sinx}$$
Giải:
$\lim_{x\to 0}tgx-x=0, \: \lim_{x\to 0}x-sinx=0$ nên áp dụng định lý L'hôpital
Qui đồng mãu số ở 2 vế rồi bỏ mẫu số, ta được hai đa thức dồng nhất nhau, cho bằng nhau các hệ số cùng lũy thừ của $x$ ở 2 vế, ta được 1 hệ phương trình để xác định:
Khi đó $\int f(x)dx$ là tổng các tích phân các phân thức đơn gián ở vế phải.
2.2. Phương pháp Ostrogradski
Nếu $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ và nếu $Q(x)$ có nghiêm bội:
thì $I=\int f(x)dx=\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx= \frac{X(x)}{Q_1(x)}dx+\int \frac{Y(x)}{Q_2(x)}dx$
Trong đó $Q_1(x)$ là ước số chung lớn nhất của $Q(x)$ và $Q'(x)$, còn $Q_2(x)=Q(x):Q_1(x)$.
$X(x), Y(x)$ là các đa thức hệ số chưa xác định, bậc của chúng kém bậc của $Q_1(x), \: Q_2(x)$ tương ứng một đơn vị. Các hệ số $X(x).\: Y(x)$ được xác định bằng các đạo hàm 2 vế, ta sẽ được 2 đa thức đồng nhất nhau, cho bằng nhau các hệ số cùng lũy thừa của $x$ ở 2 vế, ta sẽ được một hệ phương trình để xác định cá hệ số đó.
Thể tích $V_x$ của khối tròn xoay sinh bởi diện tích $S$ giới hạn $y=f(x)$, trục $Ox$, 2 đường $y==f(x),\: y=g(x)$ các cận $x=a,\: x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là dấu hiệu của thể tích bên ngoài trừ đi thể tích phần lõi ở bên trong. Giả sử $)
$V_x=\pi\int_{a}^{b}[f^2(x)-g^2(x)]dx$
Trong trường hợp $f(x)$ và $g(x)$ tự cắt nhau vf tạo thành hình khép kín, ta phải tìm giao điểm để biết cận lấy tích phân, rồi lấy thể tích khối bên ngoài trừ đi thể tích khối lõi bên trong
Thể tích $V_x$ của khối tròn xoay sinh bởi diện tích $S$ do q đường cong bậc 2 tạo ra. Ta tách đường cong thành 2 hàm theo đôi số $x$, khi đó ta coi $S$ giới hạn bởi:
1.3. Tổng quát: $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$
Nếu giới hạn $\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ là hữu hạn thì tích phân suy rộng $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ là hội tụ (integral is convergent ).
Ngược lại, nếu giới hạn $\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ là vô cùng hoặc không tồn tại thì tích phân suy rộng $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ là phân kỳ (integral is divergent ).
2. Ứng dụng
2.1. Chứng minh: $I=\int_{0}^{+\infty}cosxdx$ phân kỳ
Giải:
$I=\int_{0}^{+\infty}cosxdx=\lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b}cosxdx=\lim_{b\to +\infty}sin b\to$ không tồn tại $\to$ tích phân phân kỳ.