Với Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 9: Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.
- Bài tập tổng hợp Toán 7 Chương 9 [có đáp án]
Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 9 Kết nối tri thức
Lý thuyết tổng hợp Toán 7 Chương 9
1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác
Quảng cáo
Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn tỏng một tam giác
Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Nhận xét
+ Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với vuông góc [tức là cạnh huyền] là cạnh lớn nhất.
3. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên
Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d [M khác H], kẻ đoạn thẳng AM.
Trong hình trên đây:
+ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Quảng cáo
+ H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.
+ Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.
4. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.
5. Bất đẳng thức tam giác
Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Cho tam giác ABC như hình dưới đây:
Quảng cáo
Ta suy ra được các hệ thức sau:
AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AC + AB
Ba hệ thức phai trên được gọi là các bất đẳng thức tam giác.
6. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Từ định lí trên, ta suy ra được tinh chất sau:
Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Nhận xét: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì từ định lí và tinh chất nêu trên ta có:
b – c < a < b + c
Chú ý: Để kiểm tra ba độ dài có là ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sanh độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại hoặc độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại hay không.
Quảng cáo
7. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác
- Đường trung tuyến của tam giác
Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến [xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC] của tam giác ABC.
- Sự đồng quy của ba đường trung tuyến
Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm [hay đồng quy tại một điểm]. Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.
8. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác
- Đường phân giác của tam giác
Trong hình dưới đây, cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác [xuất phát từ đỉnh A] của tam giác ABC.
- Sự đồng quy của ba đường phân giác
Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
9. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác
- Đường trung trực của tam giác
Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Ở hình dưới đây, a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
- Sự đồng quy của ba đường trung trực
Định lí 1: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
Nhận xét: Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó [OA = OB = OC] nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.
9. Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác
- Đường cao của tam giác
Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AH kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A [hay đường cao ứng với cạnh BC].
- Sự đồng quy của ba đường cao
Định lí 2: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Chú ý:
- Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.
- Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:
+] Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.
+] Khi ABC là tam giác vuông thì H trùng với A [kí hiệu H ≡ A].
+] Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.
Bài tập tổng hợp Toán 7 Chương 9
Bài 1: Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60º.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất và góc đối diện của cạnh BC là A^ .
Theo định lí 1, ta có A^ là góc lớn nhất thỏa mãn: A^≥B^, A^≥C^ .
Suy ra A^+A^+A^≥A^+B^+C^
Hay 3A^≥A^+B^+C^
Do đó A^≥A^+B^+C^3=180°3=60° .
Vậy suy ra số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60º [đpcm].
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Hãy chứng minh AD < AC < AE.
Hướng dẫn giải
Do trong một tam giác cân, hai góc của đáy luôn bé hơn 90º nên suy ra ACB^là góc nhọn.
Mà ACE^kề bù với ACB^nên suy ra ACE^là góc tù.
Xét tam giác ACE có ACE^là góc tù nên cạnh đối diện với ACE^là cạnh AE là cạnh lớn nhất.
Suy ra AE > AC [*]
Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và ABC^=ACB^.
Lại có:
∙ Xét tam giác ABC có: BAC^+ABC^+ACB^=180°
Suy ra BAC^=180°−2ABC^[1]
∙ Xét tam giác ABD có: BAD^+ABD^+ADB^=180°
Suy ra BAD^=180°−ABD^−ADB^[2]
Mà D nằm giữa B và C nên suy ra BAD^ABC^.
Áp dụng định lí 2 ta được: AB > AD.
Mà AB = AC [cmt] nên suy ra AC > AD [**]
Từ [*] và [**] nên suy ra AE > AC > AD [đpcm].
Bài 3: Hãy giải thích tại sao trong tam giác tù, cạnh đối diện góc tù là cạnh lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC là tam giác tù tại đỉnh A nên suy ra 90°