Tìm m để bất phương trình logarit có nghiệm trên đoạn 5 2 4

Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit các em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit đã được chúng ta ôn ở bài viết trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm logarit các em có thể xem lại Tại Đây.

I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình Logarit cơ bản

+ Phương trình logax = b (0

2. Bất phương trình Logarit cơ bản

+Xét bất phương trình logax > b:

- Nếu a>1 thì logax > b⇔ x > ab

- Nếu 0 b⇔ 0 < x < ab

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Giải phương trình logarit, bấtPT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

logaf(x) = logag(x)⇔ f(x) = g(x)

logaf(x) = b⇔ f(x) = ab

+ Lưu ý: Đối với các PT, BPT logarit ta cần đặt điều kiện để các biểu thức logaf(x) có nghĩa, tức là f(x)≥0.

2. Giải phương trình, bấtPT Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Với các phương trình, bất PT logarit mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x).

+ Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT logarit đang xét (có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT này có nghĩa.

3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá

+ Đôi khi ta không thể giải một phương trình, bất PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)

+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT

* Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương pháp cùng cơ số

Bài tập 1: Giải các phương trình sau

a) log3(2x+1) = log35

b) log2(x+3) = log2(2x2-x-1)

c) log5(x-1) = 2

d) log2(x-5) + log2(x+2)=3

* Lời giải:

a) ĐK: 2x+1 > 0 ⇔ x>(-1/2)

PT ⇔ 2x+1 = 5⇔ 2x = 4⇔ x = 2 (thoả ĐK)

b) ĐK: x+3>0, 2x2- x - 1 > 0 ta được: x>1 hoặc (-3)

Ta có: log2(x+3) = log2(2x2-x-1)⇔ x+3 =2x2- x - 1⇔ 2x2- 2x - 4 = 0

⇔x2- x - 2 = 0⇔ x = -1 (thoả) hoặc x = 2 (thoả)

c) ĐK: x - 1 > 0⇔ x > 1

Ta có:log5(x-1) = 2⇔ x-1 = 52⇔ x = 26 (thoả)

d) ĐK: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5

Ta có: log2(x-5) + log2(x+2)=3⇔log2(x-5)(x+2) = 3⇔(x-5)(x+2) = 23

⇔ x2 - 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6(thoả)

* Giải phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài tập 2: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)

e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4

* Lời giải:

a) ĐK: x>0

Ta đặt t=log3x khi đó PT⇔ t2 + 2t - 3 = 0⇔ t =1 hoặc t = -3

Với t = 1⇔ log3x = 1⇔ x = 3

Với t = -3⇔ log3x = -3⇔ x = 3-3 = 1/27

b)4log9x + logx3 - 3 = 0 ĐK: 0

PT⇔ 2log3x + 1/log3x -3 = 0

Ta đặt t = log3x khi đóPT⇔ 2t+ 1/t - 3 = 0⇔ 2t2 - 3t + 1 = 0⇔ t=1 hoặc t = 1/2

Với t = 1⇔ log3x = 1⇔ x = 3 (thoả)

Với t = 1/2 ⇔ log3x = 1/2 ⇔ x = √3 (thoả)

c) ĐK: log3x có nghĩa ⇔x > 0

Các mẫu của phân thức phải khác 0: (5+log3x)≠0 và (1 +log3x)≠0⇔log3x≠ -5 vàlog3x≠ -1

Ta đặt t = log3x (t≠ -1,t≠ -5) khi đó:

⇔ (1+t) +2(5+t)=(1+t)(5+t)⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5⇔t2+ 3t - 6 = 0

⇔

(thoả ĐK)

thay t=log3x ta được kết quả: x =3t1và x =3t2

d)

ĐK: x>0

PT⇔

Đặt t=log2x Ta được PT:t2 + t - 2 = 0⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1⇔ x = 2

Với t = -2⇔ x = 1/4

e)1 + log2(x-1) = log(x-1)4

ĐK: 0<(x-1)≠1⇔ 1

Đặt t = log2(x-1) ta có PT: 1+t = 2/t⇔ t2+ t - 2 = 0⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1⇔ x-1 = 2⇔ x = 3

Với t = -2⇔ x-1 = 1/4⇔ x= 5/4.

* Giải phương trình Logarit áp dụng phương pháp mũ hoá

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a) ln(x+3) = -1 +√3

b)log2(5 – 2x) = 2 – x

* Lời giải:

a) ĐK: x-3>0⇔ x>3 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT:

(thoả)

b)log2(5 – 2x) = 2 – x

ĐK: 5 - 2x > 0⇔ 2x < 5

PT⇔

Đặt t=2x (t>0,t<5 do 2x<5) ta được: 5 - t = (4/t)⇔ t2 - 5t + 4 = 0

⇔ t = 1 (thoả) hoặc t =4 (thoả)

Với t = 1⇔ x = 0

Với t = 4 ⇔ x = 2

Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau

a) log0,5(x+1)≤ log2(2-x)

b) log2x - 13logx + 36 > 0

Lời giải:

a) ĐK: x+1>0 và 2-x>0⇔ -1

log0,5(x+1)≤ log2(2-x)⇔ -log2(x+1)≤ log2(2-x)⇔ log2(2-x) + log2(x+1)≥ 0

⇔log2(2-x)(x+1)≥ 0⇔(2-x)(x+1)≥ 1⇔-x2 - x+1 ≥ 0 ⇔

≤x≤

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là:

b) ĐK: x>0

Đặt t =logx khi đó: t2 - 13t + 36 = 0⇔ t < 4 hoặc t > 9

Với t < 4 ta có:logx < 4⇔ x < 104

Với t > 9 ta có:logx > 9 ⇔ x > 109

Kết hợp với điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là:

Bài tập 5: Giải các bất phương trình (các em tự giải)

a)

≤2

b)

>8

c)

≤2

d)

<0

NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCBẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT CHỨA THAM SỐBài tốn. Tìm m để bất phương trình f ( x , m)  0 hoặc f ( x , m)  0 có nghiệm trên D ?PHƯƠNG PHÁPBước 1. Tách tham số m ra khỏi x và đưa BPT về dạng A( m )  f ( x ) hoặc A( m )  f ( x ) .Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số mđể bất phương trình có nghiệm.Lưu ý: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên D .Trong trường hợp tồn tại max f ( x ) và min f ( x) thì ta có:xDxD Bất phương trình A( m )  f ( x ) có nghiệm trên D  A( m)  max f ( x ) .xD Bất phương trình A( m )  f ( x ) có nghiệm trên D  A( m)  min f ( x ) .xD Bất phương trình A( m )  f ( x ) nghiệm đúng x  D  A( m)  min f ( x ) .xD Bất phương trình A( m)  f ( x ) nghiệm đúng x  D  A(m)  max f ( x ) .xDNếu f ( x)  ax  bx  c  a  0  thì2a  0.f ( x)  0, x      0a  0.f ( x )  0, x      0Câu 1.m để bấtlog 2 (7 x  7)  log 2 ( mx  4 x  m) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x ?Cóbao2A. 7 .nhiêugiátrịnguncủathamsốphươngtrình2B. 3 .C. Vô số.Lời giảiD. 4 .Chọn B mx 2  4 x  m  0, x  Yêu cầu bài toán được thỏa mãn  227 x  7  mx  4 x  m, x   f  x   mx 2  4 x  m  0, x    .2gx7mx4x7m0,xTa thấy m  0 ; m  7 không thỏa mãn điều kiện đề bài.Với m  0 và m  7 . Khi đó ta có:m  0m  0   m  2  m  2 . (1)   2   4  m  0m  2m  77  m  0m  7  2   m  5  m  5 . (2)   2  4   7  m   0m  14m  45  0m  9Từ (1) và (2) suy ra 2  m  5 . Do m   nên m  3;4;5 .Câu 2.Tìm m để bất phương trình log 22 2 x  2(m  1) log 2 x  2  0 có nghiệm x  ( 2;  ).CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 1 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 3 B. m    ;0  . 4 A. m  (0;  ) . 3C. m    ;   .4Lời giảiD. m  ( ; 0) .Chọn CTa có log 22 2 x  2(m  1) log 2 x  2  0  1  log 2 x   2( m  1) log 2 x  2  0 .2 1Đặt t  log 2 x . Do x  ( 2;  )  t   ;   .2Khi đó   trở thành 1  t   2(m  1)t  2  021  t 22t 2 1 m (1).2t2tt 11Xét hàm f  t   liên tục trên  ;   .2 2t2Ta có f   t  1  m f t  1 1311 2  0, t   ;    min f  t   f     .12 2t42  2 ; 231Khi đó (1) đúng với mọi t   ;   khi min f  t   m  m   .142 2 ;  Câu 3.Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc  100;100 của tham số m để bất phương trìnhlog 0,02 log 2  3x  1  log 0,02 m nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng  ;0  ?A. 99 .Chọn CB. 98 .xlog 2  3  1  0Điều kiện: m  0C. 100 .Lời giảiD. 101 . m  0.Ta có log 0,02 log 2 3  1  log 0,02 m  log 2 3  1  m .xXét hàm số f  x   log 2 3x  1 . Ta có f '  x  x3x.ln 3 0 x   . 3x  1.ln 2Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc  ;0  khim  1.Do m nguyên và thuộc đoạn  100;100 nên m  1;2;3; 4;.....;100 .Trang 2TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTCâu 4.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCCó tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trìnhlog 22 2 x  4  m  log 8 x 3  1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc 16;  ?A. 2 .C. 1.Lời giảiB. 3 .D. 4 .Chọn Cx  0x  0 22log 2 2 x  4  0log 2 x  2log 2 x  3  0Điều kiện xác định: x  010 x   log 2 x  1 8.  log x  3x  2 2Ta có :log 22 2 x  4  m  log 8 x 3  1  log 22 x  2log 2 x  3  m  log 2 x  1 * .Do x  16;   nên log 2 x  4  log 2 x  1  0log 22 x  2log 2 x  3Suy ra *  m.log 2 x  1Đặt t  log 2 x . Do x  16;   nên t   4;   .Bất phương trình * trở thànht 2  2t  3 m t   4;   .t 1t 2  2t  3với t   4;   .t 12  2tTa có f '  t   0, t   4;   .22t  2t  3.  t  1Xét hàm f  t  Suy ra hàm số f  t  nghịch biến trên khoảng  4;   .Bảng biến thiên của hàm f  t  như sau:Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộcCâu 5.16;  khi m  1. Do m  *  m  1.Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc  10;10  của tham số m3 x  x  4  2m log 4A. 8 .Chọn A4 xđể bất phương trình2 có nghiệm?B. 5 .CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022C. 6 .D. 7 .Trang 3 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCx  0x  4Điều kiện xác định:  0  x  4.44x14  4  x  0Ta thấy 0  x  4  0  4  x  4  2  4  4  x  4 . Suy ra log 44 x2  0.Khi đó bất phương trình3 x  x  4  2m log 44 x2m3 x  x42.log 4 4 x 213 x  x  4 .log 2 4  4  x .21Xét hàm f  x   3 x  x  4 .log 2 4  4  x liên tục trên  0;4  .2mTa có 1 31 11f ' x  .log2 4  4  x  3 x  x  4 . 0 x 0;4 .2 2 x 2 x  4 22 4  x. 4 4 x .ln2Suy ra hàm số y  f  x  đồng biến trên  0; 4 .Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì m  1.Do m ngun và thuộc khoảng  10;10  nên m  2;3;...;9 .Vậy có 8 giá trị m ngun cần tìm là : m  2;3;...;9 .Câu 6.Cho bất phương trình log 7  x 2  2 x  2   1  log 7  x 2  6 x  5  m  . Có bao nhiêu giá trị nguyêncủa tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ?A. 35 .B. 33 .C. 33 .Lời giảiD. 36 .Chọn D x 2  6 x  5  m  0m   x 2  6 x  5.Bpt   2226 x  8 x  9  mlog 7  7  x  2 x  2    log 7  x  6 x  5  m Xét hàm f  x    x 2  6 x  5 liên tục trên đoạn 1;3 .Ta có f   x   2 x  6  0, x  1;3  f  x  nghịch biến trên đoạn 1;3 max f  x   f 1  12 .1;3Xét hàm g  x   6 x 2  8 x  9 liên tục trên đoạn 1;3 .Trang 4TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCTa có g   x   12 x  8  0, x  1;3  g  x  đồng biến trên khoảng 1;3 min g  x   g 1  23 .1;3 m  max f  x 21;3m   x  6 x  5Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi  2với mọi x  1;3  .g  x6 x  8 x  9  m m  min1;3Khi đó ta có 12  m  23 . Mà m   nên m  12; 11;  10; ...; 22; 23 .Vậy có tất cả 36 giá trị ngun của m thỏa mãn u cầu bài tốn.Câu 7.2Tìm tấtt cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4log 2x  2log 1 x  m  0 có4nghiệm với mọi x thuộc khoảng  0;1 .1A. m   0;  .411C. m   ;0 .B. m   ;  .4D.  ;   .4Lời giảiChọn DĐiều kiện: x  0 .2Ta có 4 log 2x  2log 1 x  m  0   log 2 x   log 2 x  m  0 .24Đặt t  log 2 x , do x   0;1  t   ;0  .Bất phương trình trở thành t  t  m  0  m  t  t .22Xét hàm f  t   t 2  t với t   ;0  .Ta có f   t   2t  1 , f   t   0  t  1.22Bảng biến thiên của hàm f  t   t  t như sau:Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ycbt được thỏa mãn  m Câu 8.1.422Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình ln 5  ln x  1  ln mx  4 x  m có tậpnghiệm là  ?A. 1 .C. 3 .Lời giảiB. 2 .D. 4 .Chọn ATa thấy x 2  1  0, x   .2222Ta có ln 5  ln x  1  ln mx  4 x  m  ln 5x  5  ln mx  4 x  mCHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 5 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC5 x2  4 x  522m f  x5x54xmx15 x  5  mx  4 x  mx2  1.224xmx  4 x  m  0 m x  1  4 xm   g  xx2  122Hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:Hàm số g  x  có bảng biến thiên như sau:Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình có tập nghiệm là  khi 2  m  3 .Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.Câu 9.Số giá trị nguyên của m để bất phương trình 1  log 3  x 2  1  log 3  mx 2  2 x  m  có nghiệmđúng với mọi số thực x làA. 1 .B. 2 .D. 6 .C. 4 .Lời giảiChọn AĐiều kiện xác định: mx 2  2 x  m  0 .Ta có: 1  log 3  x 2  1  log 3  mx 2  2 x  m   log 3 3  x 2  1  log 3  mx 2  2 x  m  3  x 2  1  mx 2  2 x  m   3  m  x 2  2 x  3  m  0.Ta thấy m  0 ; m  3 không thỏa mãn điều kiện đề bài.Với m  0 và m  3 . Khi đó:mx 2  2 x  m  0 x  Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   thì 2 3  m  x  2 x  3  m  0 x  m  0m  03  m  0m  31 m  2 .21  m  0m  1; m  11   3  m 2  0m  2; m  4Mà m   nên m  2 .Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc  2021; 2021 sao cho bấtphương trình 1  log 3 x 3  x 2  3 x  m  log 3 3 x 2  1 nghiệm đúng với mọi x trên đoạn  0;3. Tính số phần tử của tập hợp S .A. 2020 .B. 2018 .C. 2022 .Lời giảiD. 4040 .Chọn BTrang 6TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCTa thấy 3 x 2  1  0, x   .Ta có: 1  log 3 x 3  x 2  3 x  m  log 3 3 x 2  1 ; x   0;3 log 3  3 x 3  3 x 2  9 x  3m   log 3  3 x 2  1 ; x   0 ;3 3x3  3x 2  9 x  3m  3x 2  1; x   0;3  3m  3x3  9 x  1; x   0;3 .Xét hàm số: f  x   3x3  9 x  1 trên  0;3 . x  1  0;3Ta có: f   x   9 x 2  9 , f   x   0  . x  1   0;3Bảng biến thiên:Từ bảng biến thiên ta có: 3m  7  m 7.3Mà m   và m   2021; 2021 nên m  {3; 4 ; ; 2020} .Câu 11. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc  2021; 2021 sao cho bấtphương trình 3log 22 2 x  12log 2 x  1  m  0 nghiệm đúng với mọi x trên khoảngsố phần tử của tập hợp S .A. 2018 .B. 2020 .C. 2022 .Lời giải2;  . TínhD. 4040 .Chọn BTa có: 3log 22 2 x  12 log 2 x  1  m  0  3  log 22 x  2 log 2 x  1  12 log 2 x  1  m  0 3log 22 x  6 log 2 x  2  m  0 * .12;   t   ;   .22Khi đó bất phương trình (*) trở thành 3t  6t  2  m  0  m  3t 2  6t  2 .1Xét hàm số f  t   3t 2  6t  2, t   ;    .2Đặt: log 2 x  t , với x Ta có: f   t   6t  6 ; f   t   0  6t  6  0  t  1 .Bảng biến thiên:Từ bảng biến thiên ta thấy m  1 .CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 7 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCMà m   và m   2021; 2021 nên m  2020;  2019;...;  1 .Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 2 (5 x  1).log 2 (2.5 x  2)  mcó nghiệm x  1 .A. m   .B. m  6 .C. m  6 .Lời giảiD. m  6 .Chọn AVới x  1 thì 5x  1  0; 2.5x  2  0 .Ta có log 2 (5 x  1).log 2 (2.5 x  2)  m log 2 (5 x  1).log 2 (2.5 x  2)  m log 2 (5 x  1). 1  log 2 (5 x  1)   m .Đặt t  log 2  5 x  1 do x  1  t   2;   .BPT trở thành: t (1  t )  m  t 2  t  m .Đặt f (t )  t 2  t ta có f (t )  2t  1  0 với t   2;   nên hàm số y  f  t  đồng biến vàliên tục trên  2;  . Suy ra f  t    6;   khi t   2;   .Do đó để để bất phương trình log 2 (5 x  1).log 2 (2.5 x  2)  m có nghiệm thỏa mãn x  1 thìmCâu 13. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho khoảng  2;3 thuộc tập nghiệm của bấtphương trình log 5  x 2  1  log 5  x 2  4 x  m   1 làB. 12 .A. 13 .C. 12.Lời giảiD. 13.Chọn D. 2x2  4 x  mm   x 2  4 x  f ( x)x1Ta có (1)  .52m4x4x5g(x)2x  4x  m  0 m  Max f ( x)  122;3Hệ trên thỏa mãn x   2;3  g ( x )  13 m  Min2;3 12  m  13 .Câu 14 . Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn  2018 ; 2018  sao cho bất phương trình10x mlog x1011 10 10A. 2022.log xđúng với mọi x   1;100  ?B. 2021.C. 2020.Lời giảiD. 2018.Chọn D.Điều kiện x  0 .Ta có  10 x mlog x1011 10 10log xlog x 11 m   log x  1  log x10 10  log x  10 m  log x  1  11log x  0  10 m  log x  1  log 2 x  10 log x  0 .Vì x   1;100  nên log x   0; 2  .Trang 8TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCDo đó 10 m  log x  1  log 2 x  10 log x  0  10m 10 log x  log 2 x.log x  1Đặt t  log x , t   0 ; 2  .Xét hàm số f  t  Ta có f   t  10t  t 2liên tục trên đoạn 0; 2  .t 110  2t  t 2 t  12 0, t   0 ; 2   Hàm số f  t  đồng biến trên  0; 2 .Suy ra max f (t )  f  2  0;216.3Để bất phương trình 10 m 10 log x  log 2 x168đúng với mọi x   1;100  thì 10m   m  .log x  13158Do đó m   ; 2018  hay có 2018 số thỏa mãn.15Câu 15 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 1  x 1  log 1  x3  x  m2có nghiệm.A. m  2 .C. m  2 .2B. m   .D. Không tồn tại m .Lời giảiChọn Bx  1Điều kiện . 3x  x  m  0Bất Phương trình đã cho  log 1  x 1  log 1  x 3  x  m  x 1  x 3  x  m  x 3  1  m.22Đặt f  x   x  1 , ta có f   x   3x , f   x  0  x  0  1;  .23Bảng biến thiênDựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn  m   .Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bấtlog 2  x  mx  m  2   log 2  x  2  nghiệm đúng với mọi x   ?2phươngtrình2A. 2 .B. 4 .C. 3 .Lời giảiD. 1.Chọn DTa thấy x 2  2  0 x  .Do đó bất phương trìnhlog 2  x 2  mx  m  2   log 2  x 2  2   x 2  mx  m  2  x 2  2  mx  m  0 .Bất phương trình log 2 x 2  mx  m  2  log 2 x 2  2 nghiệm đúng với mọi x   khi và chỉkhi mx  m  0 x    m  0 .CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 9 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCCâu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m  2021;2022 để bất phương trìnhlog 32 3x  log 32 x  1  2log 1 x  2m  2  0 có nghiệm với mọi x thuộc đoạn 1; 3 3  ?3A. 2021 .B. 2022 .C. 4043 .Lời giảiD. 4042 .Chọn AĐiều kiện x  0 . Ta có log 32 3 x  log 32 x  1  2log 1 x  2 m  2  03 1  log 3 x   log 32 x  1  2 log 3 x  2m  2  02  log 3 x   log 32 x  1  2m  1  0 .2Đặt t  log 32 x  1  1 , ta được bất phương trình t 2  t  2m  2  0  t 2  t  2 m  2 * .Ta có x  1; 3 3   0  log3 x  3  1  t  log 32 x  1  2  t  1; 2  .Xét hàm f  t   t 2  t , với t  1; 2 . Ta có f   t   2t  1  0, t  1;2  .Suy ra hàm số f  t  là hàm đồng biến và liên tục trên đoạn 1; 2 .Ta thấy f 1  2 và f  2   6 .Bất phương trình f  t   2m  2 có nghiệm với t  1; 2 f  2   2m  2  6  2m  2  m  2 .Do m  , m   2021;2022 nên m 2,..., 2022 . Vậy có 2021 giá trị nguyên của m thỏamãn yêu cầu bài toán.Câu 18. Cho hàm số f  x   2  3  7  4 3 2xx lnx 2  1  x . Tìm các giá trị của tham số mđể bất phương trình f  3  2 x  m   f  x 2  2 x  2   0 nghiệm đúng với mọi giá trị x   .3A. m  .2131m .C. m  .222Lời giảiB.D. m   .Chọn DTa cóx 2  1  x  x 2  1  x  0 nên tập xác định của hàm số đã cho là D   .Với x  R , ta có f  x   2  32x 2 32x ln x  x 2  1   2  3   ln  x  1  x     2  3    2  3   ln  x  x  1     f  x  f  x  2  32 x2x2x22x2 f  x  là hàm số lẻ.Lại có f   x   2. 2  32x ln 2  3  2. 2  32xln 2  3 1x2  1 0, x   Hàm số f  x  nghịch biến trên  .Ta có f  3  2 x  m   f  x 2  2 x  2   0  f  x 2  2 x  2   f  2 x  m  3Trang 10TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC22m   x  4 x  1 x2  2 x  2  2 x  m  3  2 x  m  x2  2 x  1  , x   .22m  x  13m2Do max( x 2  4 x  1)  3, min( x 2  1)  1 nên ta có .m  12Vậy khơng có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.Câu 19. Biết rằng a là số thực dương sao cho bất phương trình log 253x a x   lognghiệm đúng với mọi x  . Mệnh đề nào sau đây đúng?A. a  12;14 .B. a  10;12 .C. a  14;16 .5 26 x  9x  0D. a  16;18 .Lời giảiChọn DTa có log 253x a x   log5 26 x  9 x  0  log 253x a x   log 256x 9x  3 x  a x  6 x  9 x  a x  18 x  6 x  9 x  3x  18 x a x  18 x  3x  2 x  1  9 x  2 x  1  a x  18 x  3x  2 x  1 3x  1 * .Ta thấy  2 x  1 3x  1  0, x    3x  2 x  1 3x  1  0, x   .xaDo đó, * đúng với mọi mọi x   a x  18x  0, x       1, x   18 a 1  a  18  16;18 .18Câu 20. Cho hàm số f  x   log x  1  x 2  2 x  2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc  10;10 để bất phương trình f  2 x  m   f   x 2  4 x  6   0 nghiệm đúng với mọi xthuộc  1;1 ?B. 4 .A. 8 .C. 11 .Lời giảiD. 3 .Chọn ATa có x  1  x 2  2 x  2  x  1  x  12 1  x  1  x  1  0, x  Hàm số f  x   log x  1  x 2  2 x  2 xác định trên  .Ta có f  2  x   log 1  x 1f  x  x 1 biến trên  .1  x   1   log 2   f  x2 x  1  1  x  1 1x 1 x  121 x  1  1  ln1021 x  1  1  ln102 0, x    hàm số f  x  đồngTa có: f  2 x  m   f   x 2  4 x  6   0  f  2 x  m    f   x 2  4 x  6 CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 11 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC f  2 x  m   f  x2  4 x  8  2 x  m  x2  4 x  8 2 x  2m  x 2  4 x  8 2m   x 2  6 x  822 2 x  2m   x  4 x  8 2m  x  2 x  8Xét các hàm số u  x    x 2  6 x  8 và v  x   x 2  2 x  8 trên  1;1 ta có bảng biến thiênDựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc  1;1 thì15m   2. Do m nguyên và m   10;10 nên có 8 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. m  112Câu 21. Cho hàm số f  x  x2  x  1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trìnhx2  14  log 5  f  x    m có nghiệm x   0;   .f  x  199A. m  .B. m  .C. m  .288Lời giảiChọn C2f 2  x  4 f  x Xét hàm số f  x  Ta có f   x  x2  x  1trên khoảng  0;  .x2  1 x2  1x21D. m  .2 12x  1; f   x   0   x2  1  0   x  1   0;  Bảng biến thiênDựa vào BBT ta thấy 1  f  x  Xét hàm số g  x   2 f2 x4 f  x3, x   0;   .24  log 5  f  x   trên  0; f  x  Do f  x   1 nên hàm số g  x  xác định trên khoảng  0;  .Trang 12TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC41 2f  xf 2  x  4 f  x Ta có g   x   f   x  .  2 f  x   4  .2.ln 2  f   x    f  x   4  ln 5 f  x    f 2 x 4 f xf  x  2. g   x   f   x   f  x   2   2.2    .ln 2  3 f  x   4 f  x  ln 5 3Do 1  f  x   nên g   x   0  f   x   0  x  12Ta có bảng biến thiênDựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho có nghiệm x   0;   thì m Câu 22. Chocácbấtphươngtrìnhlog 2 x 2  4 x  m  2 log 4  x 2  4 x  m   8 2  . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên củabất phương trình  2  đều là nghiệm của bất phương trình 1 .3  x  x 1  0A. 254 .B. 255 .9.8C. 256 .Lời giải1vàm thỏa mãn mọi nghiệm củaD. 257 .Chọn B3  x  01 x  3.Bất phương trình  2   x 1  0Suy ra tập nghiệm của bất phương trình  2  là: S  1;3 .Do đó mọi nghiệm của bất phương trình  2  đều là nghiệm của bất phương trình 1 khi và chỉkhi bất phương trình 1 có nghiệm đúng với mọi x  1;3 . x 2  4 x  m  0Điều kiện:  x 2  4 x  m  1  m   x 2  4 x  1 thỏa mãn x  1;3 .2log 4  x  4 x  m   0Khi đó m  max f  x  với f  x    x 2  4 x  1 .1;3Xét hàm số f  x    x 2  4 x  1 trên đoạn 1;3f   x   2 x  4  0  x  2 .Bảng biến thiên:CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 13 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCDựa vào bảng biến thiên ta có m  max f  x   m  5 . (3)1;3Ta có log 2 x 2  4 x  m  2 log 4 x 2  4 x  m  811log 2  x 2  4 x  m   2 log 2  x 2  4 x  m   8 .221log 2  x 2  4 x  m  , t  0 .2Đặt t Bất phương trình trở thành: t 2  2t  8  0  t   4; 2  t   0; 2 .Với t  2 ta có1log 2  x 2  4 x  m   4  m   x 2  4 x  256 với mọi x  1;3 .2 m  min g  x  với g  x    x 2  4 x  256 .1;3Xét hàm số g  x    x 2  4 x  256 với x  1;3 .g '  x   2 x  4  0  x  2 .Bảng biến thiên:Dựa vào bảng biến thiên: m  min g  x   m  259 . (4)1;3Từ  3 ,  4  ta có m  5; 259 thỏa mãn u cầu bài tốn.Vậy có tất cả 255 giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình  2  đều lànghiệm của bất phương trình 1 .Câu 23. Cho bất phương trình 2 x  2  .log 2  x 2  4 x  6   4 x  m log 2  2 x  m  2  với m là tham số thực.2Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọix   0; 2 là đoạn  a; b . Khi đó a 2  b 2 bằng:B. 8 .A. 4 .C. 16 .Lời giảiD. 0 .Chọn BĐiều kiện: x   .Ta có 2 x  2 .log 2  x 2  4 x  6   4 x  m log 2  2 x  m  2 2 2x 2222 x m.log 2  x  2   2  2log 2  2 x  m  2  1Xét hàm số y  2t.log 2  t  2  với t  0 .Trang 14TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCHàm số y  2t.log 2  t  2  xác định và liên tục trên  0;    .Ta có y  2t.log 2  t  2  .ln 2 2t 0, t  0 . t  2  ln 2Vậy hàm số y  2t.log 2  t  2  đồng biến trên  0;    .Khi đó 1  f  x  2   f  2 x  m    x  22   x  2  2  x  m    x  222 2 xm2 2m  min  x 2  6 x  4 2m  x 2  6 x  4 2m  40;2 2  m  2 .,x0;2222m42mmaxx2x42m   x  2 x  4 0;2Vậy tập hợp tất cả các giá trị ngun của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọix   0;2 là đoạn  2; 2  a  2; b  2  a 2  b 2  8 .Câu 24. Cho a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022 . Biết rằng với mỗi giá trị của b luôn có ít nhất1000 giá trị của a thỏa mãn  2a b2  2b a  .log a 1 b  4b  1 . Số giá trị b làA. 1021 .B. 1022 .C. 1020 .Lời giảiD. 1023 .Chọn AĐặt c  a  1, c  2 , khi đó 2a b 2  2b a .log a 1 b  4b  1  2c  2c .log c b  2b  2 b , 1 .+) b  1 , không thỏa mãn 1 .+) b  2 2c  2 c 15 ,  2 .log 2 c4) c  2 , không thỏa mãn  2  .2c  c.ln 2.ln c  1  c.2 c.ln 2.ln c  2 c2c  2  c, f c  0.)  c  3 , hàm f  c  2log 2 cc.ln 2  log c c Suy ra f  c   f  3 15,  c  3  2  a  2021 . Do đó b  2 thỏa mãn.42c  2 c 2b  2b,  3 .ln cln b2t  2  tHàm số f  t  đồng biến với mọi t  3 và c  2 không thỏa mãn  3 nên c  3 .log 2 t+) b  3 , 1 b  3Do đó  3  c  b,  b  3  3  b  a  2021   3  b  1022 .2021  b  1  1000Vậy 2  b  1022 .Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên m   2022; 2022 sao cho thỏa mãn bấtphương trìnhA. 2.ln x 1 ln x m  , x  0, x  1 ?x  1 x x 1 xB. 1.C. Vô số.Lời giảiD. 0.Chọn CCHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 15 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC2 x ln x m  1, x  0, x  1 . (1)x2  1Bất phương trình đã cho tương đương với2 x ln x, x  0, x  1 .x2 1x2 1 2lnxx2  1 2[( x 2  1) ln x  x 2  1]Ta có f ( x) .( x 2  1) 2( x 2  1)( x 2  1) 2Xét hàm số f ( x) Xét hàm số g ( x)  ln x x2 1, x 0.x2  1( x 2  1)2 0 , x  0 , x  1 ; g ( x )  0  x  1 .x( x 2  1)2Suy ra g ( x )  g (1)  0 khi x  1 và g ( x )  g (1)  0 khi x  1 .Do đó ta có bảng biến thiênTa có g ( x) Từ bảng biến thiên suy ra (1)  m  1  1  m  0 .Vậy có vơ số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.Câu 26. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham sốx 2  2e x  mx  ln  x 2  e   1  0 đúng với x   ?B. 2 .A. 1 .m để bất phương trìnhC. 3 .Lời giảiD. 4 .Chọn ABất phương trình đã cho tương đương với:f  x   x 2  2e x  mx  ln  x 2  e   1  0 . Nhận thấy nhanh rằng: f  0   0 f  x   f  0   0 x  RSuy ra hàm số trên thỏa mãn  hàm số đạt cực tiểu tại x  0 f  0   02xXét f   x   2 x  2e x  m  2có f   0   2  m  0  m  2x eThử lại với m  2 thì f  x   x 2  2e x  2 x  ln  x 2  e   1 f   x   2 x  2e x  2 2x1 x 2 x 1  2  2  e  1  0  x  0x e x e2Đến đây ta nhận thấy f  x   f  0   0 nên suy ra m  2 thỏa nên có đúng 1 giá trị mCâu 27. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham sốm2m để bất phương trình 4m  4  log 2  x  2mx  m  1  m log 3  x  1  0 có nghiệm thực x ?A. 1 .22B. 2 .22C. 3 .Lời giảiD. 6 .Chọn BTrang 16TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCBất phương trình đã cho tương đương với:  m  2  log 2  x  m   1  m 2 log 3  x 2  1  020200Ta nhận thấy:  m  2  log 22  x  m   1  m log  x  1  0 nên suy ra bất phương trình trên2223chỉ có nghiệm khi xảy ra dấu bằng, tức là: m  2 2 log  x  m 2  1  02 m  2  log 2  x  m   1  m log3  x  1  0   2m log 3  x 2  1  0  m  2  2  0  m  2  2  0m  2m  2  log  x  m 2  1  02 2  x  m   0 x  m x  0m2  0  m2  0m  0m  0 x  0  x  02  log 3  x  1  0  x  0Suy ra có 2 giá trị thực m thỏa mãn bài toán2222Câu 28. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trìnhln x 2  4 x  3  log m có đúng 3 nghiệm nguyên, vậy tổng phần tử của S làB. 5 .A. 108 .C.Vô sốLời giảiD. 89 .Chọn BBất phương trình đã cho tương đương với:ln x 2  4 x  3  log m  f  x   ln x 2  4 x  3  log mx 1Xét hàm số f  x   ln x 2  4 x  3 ; x 2  4 x  3  0  x  3lim f x  lim ln x 2  4 x  3  ln 0    x 1   x 1Ta có: lim f  x   lim ln x 2  4 x  3  ln  0   x 3x 3x 2  4 x  3   2 x  4   x 2  4 x  3 f  x 0 x222x2  4 x  3x4x3Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 17 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCNhận thấy ngay 3 nghiệm ngun thỏa mãn bài tốn đó là: x  0; 2; 4 . Lưu ý rằng hai nghiệmnguyên x  1; x  3 bị vi phạm điều kiện nên khơng được tínhmZ13  m  120Suy ra f  4   log m  f  5  ln 3  log m  ln 8 Như vậy có tất cả 120  13  1  108 giá trị nguyên m thỏa mãn bài tốn.Câu 29. Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên  a; b; c; d  với a, b, c, d   3;3 thỏax 2 x3mãn điều kiện bất phương trình ln  x  1    ax 4  bx 3  cx 2  dx nghiệm đúng với2 3x   1;   ?A. 43B. 71C. 37D. 47Lời giảiChọn Bx 2 x3Ta để ý rằng 2 đồ thị f  x   ln  x  1  và g  x   ax 4  bx3  cx 2  dx cùng đi qua2 3gốc tọa độ. Do đó ta xét tiếp tuyến tại gốc tọa độ của y  f  x  . Ta có f   0   1; f  0   0 nêntiếptuyến là y  x .x 2 x3  x  0 x   1;   .2 3x2 x3Do vậy đồ thị f  x   ln  x  1  luôn đứng dưới đường thẳng y  x và tiếp xúc nhau2 3tại O .Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax 4  bx3  cx 2   d  1 x  0 có nghiệm kép x  0 nênTABLE ta có ln  x  1 d 1 .Đồ thị g  x   ax 4  bx3  cx 2  dx luôn đứng trên đường thẳng y  x và tiếp xúc nhau tại Othì điều kiện cần và đủ là ax 2  bx  c  0 x   1;   do đó a  0 .a  0a  0Trường hợp 1: . Có 10 bộ: b  0bx  c  0x   1;   b  c  0Trang 18TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCa  0Trường hợp 2:  2. Có tất cả 60 bộ:b  4aca  0Trường hợp 3:  2khi đó a  x  x1  x  x2   0x   1;   khi x1  x2  1 .b  4 acbb  2ab  2a x1  x2    2Do đó .a c bacb10 x1  1 x2  1  0 a aa  1Có duy nhất 1 bộ thỏa mãn b  3 .c  2CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022Trang 19 NHĨM TỐN VDC&HSG THPTBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDCKết luận: Có tất cả 71 bộ số cần tìm.Câu 30. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.nàocủathamsốthìbấtphươngm21x28  1  .log 2019  f  x     0 nghiệm đúng với mọi x   4;5 ?5 f  x  2 m125 5  2020A. m  10 .B. m  10 .C. m  10 .D. m  10 .Lời giảiChọn AVớiđiềukiệntrình4  f  x   4, x   4;5  x 2 28  72fx   , x   4;5  .Ta có:  27x28 28  , x   4;5  125 5  5 125 5552x28  log 2019  f  x     0, x   4;5 (*).125 5 1x 2 28 Từ (*) ta có: 1.logfx   0, x   4;5 20195 f x 2 m125 5  2020  15 f  x  2m2020 1  0, x   4;5 1 1, x   4;520202m2 5 f  x   2m  0, x   4;5  f  x  , x   4;5   m  4  m  10 .555 f  x 2 m_______________ TOANMATH.com _______________Trang 20TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA