Ở bài viết này, chúng ta sẽ cùng Thầy Nguyễn Thanh Tùng [giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI] đi tìm hiểu về “Phương trình lượng giác cơ bản”.
TOPCLASS11 – GIẢI PHÁP HỌC TẬP TOÀN DIỆN DÀNH CHO 2K7
✅ Lộ trình học 4 bước bám sát chương trình GDPT MỚI, chinh phục MỌI BỘ SGK
✅ KIỂM TRA ĐẦU VÀO - XẾP LỚP ĐÚNG TRÌNH ĐỘ của học sinh
✅ CỐ VẤN HỌC TẬP CÁ NHÂN 1:1 xuyên suốt quá trình học tập của học sinh
✅ SIÊU PHÒNG LUYỆN 10.000+ bài tập phân loại đơn vị kiến thức, theo mức độ từ DỄ - KHÓ
Tham khảo thêm:
- Một số phương trình lượng giác thường gặp
- Nhị thức newton
- Giải bài tập toán 11
1. Giai thừa
a, Định nghĩa giai thừa là gì?
Với mọi số tự nhiên dương n, tích 1.2.3…n được gọi là n giai thừa.
- Kí hiệu: n!
- Vậy n!=1.2.3…n
- Quy ước 0!=1.
b, Tính chất của giai thừa
- n!=n[n-1]!
- n!=n[n-1][n-2]….[n-k-1]k!
a, Định nghĩa: Hoán vị phần tử của tập A gồm n phần tử được sắp xếp theo một thứ tự [n>=1].
Kí hiệu số hoán vị: Pn
b, Số hoán vị của tập n phần tử: Pn=n!
3. Chỉnh hợp
a, Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1≤k≤n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử của A.
Cho tập hợp A, gồm n phần tử [n>=1]. Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Công thức hoán vị:
\[P_n = n! = 1.2.3...[n-1].n\]
Kí hiệu hoán vị của n phần tử: \[P_n\].
Ví dụ về hoán vị:
Hỏi: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt?
Đáp: \[P_5 = 5! = 120\] số.
Chỉnh hợp
Định nghĩa chỉnh hợp:
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k [1 0] thì ta có công thức tính hoán vị của số lượng “n” phần tử như dưới đây:
Pn=n!
Bài tập minh họa 1: Cho 1 tập hợp tên là A gồm 5 số là 3, 4, 5, 6, 7. Dựa trên tập hợp này thì các bạn có thể thiết lập được mấy số tự nhiên bao gồm 5 chữ số khác nhau?
Đáp án: Bạn có thể áp dụng công thức tính hoán vị là Pn=n!. Như vậy ta có P5 = 5! và đáp án là 120 số.
Bài tập minh họa 2: Các bạn hãy tính toán số kiểu sắp xếp cho 10 bạn thành 1 hàng theo chiều dọc?
Đáp án:
Từng kiểu sắp xếp cho 10 bạn thành 1 hàng theo chiều dọc chính là một kiểu hoán vị của 10 phần tử. Như vậy, số kiểu sắp xếp 10 bạn thành 1 hàng dọc đó là P10 = 10!
Mối quan hệ của chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị trong toán học
Qua khái niệm và những công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị ở trên thì chúng ta có thể thấy nó có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Cụ thể là 1 chỉnh hợp có chập “k” của “n” phần tử sẽ được thiết lập bằng việc tiến hành hai bước sau:
- Bước 1: Bạn lấy một tổ hợp có chập “k” của “n” phần tử.
- Bước 2: Bạn thực hiện hoán vị cho “k” phần tử.
Vì vậy mà các bạn sẽ có công thức dùng để thể hiện mối quan hệ giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị như sau:
Quy tắc đếm chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị chính xác
Ngoài công thức tổ hợp, chỉnh hợp thì các bạn học sinh nên nắm thêm các quy tắc đếm chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị chính xác như sau:
Quy tắc dùng để đếm các tổ hợp
Ta có 1 tập hợp A gồm số lượng n phần tử với điều kiện là n > 0. Như vậy 1 tổ hợp chập “k” ngẫu nhiên của những phần tử thuộc tập A sẽ là 1 tập con có khoảng “k” phần tử thuộc A, trong đó 0 ⩽ k ⩽ n ; k ∈ N.
Như vậy số lượng tổ hợp sẽ được tính toán dựa trên công thức này: n![n-k]!
Quy tắc dùng để đếm các chỉnh hợp
Ta có 1 tập A gồm số lượng “n” phần tử với n⩾1. Như vậy 1 chỉnh hợp có chập “k” phần tử phân biệt thuộc A. Trong đó có 1⩽k⩽n, k ∈ N.
Như vậy số lượng chỉnh hợp được tính toán dựa trên công thức này: n!k![n-k]!
Quy tắc dùng để đếm các hoán vị
Với 1 tập hợp gồm số lượng “n” phần tử phân biệt thì chúng ta sẽ lập được 1 hoán vị của “r” phần tử lấy ra từ tập hợp như sau:
- Lấy phần tử thứ nhất thì ta sẽ có tổng n cách;
- Lấy phần tử thứ 2 thì ta sẽ có n-1 kiểu sắp xếp hoán vị;
- ….
Tương tự khi ta lấy phần tử thứ r trong tập hợp thì ta có r-1 kiểu sắp xếp hoán vị:
- Trường hợp mà r = n thì ta sẽ có công thức đếm số lượng hóa vị khác nhau được lập từ n phần tử. Đó là: P[n] = n!
- Trường hợp mà r < n thì số hoán vị sẽ được đếm theo công thức này: P[n,r]= n![n-r]!
Bài tập minh họa cho công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị
Sau khi nắm được công thức tổ hợp chỉnh hợp, hoán vị thì các bạn có thể xem một vài bài tập minh họa như sau:
Bài tập 1
Đề thi môn toán của lớp 12 ở một trường THPT gồm 2 loại đề trắc nghiệm và tự luận. Từng học sinh khi dự thi phải làm 2 đề thi bao gồm 1 trắc nghiệm và 1 tự luận. Trong đó có 12 đề tự luận và 15 đề trắc nghiệm. Vậy hỏi từng học sinh sẽ có mấy cách để chọn để thi?
Giải:
Ta sẽ có số cách để chọn một đề tự luận là: 12 cách và số cách để chọn một đề trắc nghiệm sẽ là 15 cách. Vì vậy 1 bạn học sinh phải thực hiện song song cả hai đề. Cho nên sẽ có tất cả là 12 x 15 = 180 cách để chọn đề thi.
Bài tập 2
Ta có một tập hợp A bao gồm các chữ số là 1, 2, 3, 5, 7, 9:
- Từ tập hợp trên có thể thiết lập được mấy số tự nhiên bao gồm 04 chữ số từng đôi một khác nhau.
- Từ tập hợp trên có thể thiết lập được mấy số tự nhiên chẵn bao gồm 05 chữ số từng đôi một khác nhau.
Giải:
- Ta gọi số tự nhiên 04 chữ số là n = a1a2a3a4. Để có được số n như vậy thì chúng ta phải chọn song song các số a1, a2, a3, a4. Trong đó ta có:
- a1 có tổng cộng 6 cách để chọn.
- a2 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a3 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 3 cách để chọn.
Như vậy thì chúng ta có tổng cộng là: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 số n muốn tìm.
- Ta gọi số tự nhiên chẵn bao gồm 05 số là n = a1a2a3a4a5. Trong đó ta có:
- a5 có đúng 1 cách chọn là 2.
- a1 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a2 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a3 có tổng cộng 3 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 2 cách để chọn.
Như vậy thì số n muốn tìm là 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 số.
Bài tập 3
Cho một tập hợp A gồm các số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ tập hợp A này có thể thiết lập được mấy số tự nhiên gồm 05 chữ số từng đôi một khác nhau và đảm bảo số 5 và số 2 không đứng bên cạnh nhau.
Giải:
- Tìm ra số tự nhiên có 05 chữ số khác nhau từng đôi một tùy ý:
Số tự nhiên gồm 05 chữ số khác nhau với đôi một tùy ý có dạng là n = a1a2a3a4a5. Trong đó:
- a1 có tổng cộng là 6 cách để chọn [a1 ≠ 0].
- a2 có tổng cộng 6 cách để chọn.
- a3 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a5 có tổng cộng 3 cách để chọn.
Như vậy thì chúng ta có 6 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2169 số tự nhiên.
- Tìm ra số tự nhiên gồm 05 chữ số khác nhau từng đôi một và có số 2 với 5 không được đứng cạnh nhau:
Giả sử ta có số 2 với số 5 là một chữ số a ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ tìm số tự nhiên có 04 chữ số:
Trường hợp 1: a1 = a
- a1 có tổng cộng 5 cách để chọn.
- a2 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 3 cách để chọn.
Như vậy thì chúng ta sẽ có 5 x 4 x 3 = 60 số.
Trường hợp 2: a1 ≠ a nên:
- a1 có tổng cộng 4 cách để chọn [Vì a1 ≠ 0,2,5].
- giả sử a2 = a thì có 3 vị trí cho số a.
- a3 có tổng cộng 4 cách để chọn.
- a4 có tổng cộng 3 cách để chọn.
Như vậy ta sẽ có 4 x 3 x 4 x 3 = 204. Mà số 2 và số 5 có thể hoán đổi vị trí cho nhau. Vì thế nên suy ra ta có: 204 x 2 = 408 số.
Theo yêu cầu bài toán thì: 2160 – 408 = 1572 cách.
Qua những bài tập trên, các bạn có thể hiểu cách áp dụng các công thức trong toán học. Đó là công thức tính chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị trong các bài toán cụ thể. Từ đó các bạn sẽ làm bài tập nhanh chóng và tiếp thu kiến thức nhanh hơn.
Công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị là kiến thức cơ bản ở THPT. Công thức này xuất hiện trong một vài đề thi tốt nghiệp THPT trong nhiều năm qua. Vì vậy, các bạn học sinh phải nắm chắc công thức tính tổ hợp, chỉnh hợp trên để thuận tiện cho quá trình mình ôn thi và làm các bài thi quan trọng.
Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở đâu?
Sau đây là 2 sự khác biệt cơ bản của tổ hợp và chỉnh hợp:.
Chỉnh hợp là bộ sắp có thứ tự: ví dụ, {a,b,c}, {a,c,b}, ….
Tổ hợp là bộ sắp không có thứ tự: ví dụ, {a,b,c} –> đúng. Trong khi đó {a,c,b} và các cách sắp thứ tự kiểu khác của {a,b,c} không được tính là tổ hợp..
Tổ hợp là gì ví dụ?
Trong toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Các tổ hợp có thể là tổ chập gồm k phần từ khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không có sự lặp lại. Như ví dụ nêu phía trên thì không có sự lặp lại.
Thế nào là chỉnh hợp?
Trong toán học, chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự.
PN trong toán học là gì?
Hoán vị trong toán học và các dạng thường gặp Thường thì số lượng hoán vị của “n” sẽ được viết ký hiệu ngắn gọn là “Pn”.