c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ [với a, b, c là các số dương]
d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{[x+y]^{2}}{a+b}$ [với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý]
3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương:
a, $[a+b]\left [ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right ]\geq 4$
b, $[1+ab]\left [ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right ]\geq 4$
c, $\left [ 1+\frac{a}{b} \right ]\left [ 1+\frac{b}{c} \right ]\left [ 1+\frac{c}{a} \right ]\geq 8$
Với Cách So sánh căn bậc hai số học cực hay, có đáp án Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập So sánh căn bậc hai số học từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Phương pháp giải
Dựa vào tính chất: Nếu a, b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:So sánh các số sau:
- 9 và √80
- √15 - 1 và √10
Hướng dẫn:
- Ta có: 9 = √81. Vì √81 > √80 nên 9 > √80
- Ta có: √15 - 1 < √16 - 1 = 3
√10 > √9 = 3
Vậy √15-1 < √10
Ví dụ 2:So sánh các số sau
- √10 + √5 + 1 và √35
Hướng dẫn:
- [3√2]2 = 32.[√2]2 = 9.2 = 18
[2√3]2 = 22.[√3]2 = 4.3 = 12
⇒ [3√2]2 > [2√3]2 ⇒ 3√2 > 2√3
- Ta có: √10 + √5 + 1 > √9 + √4 + 1 = 6
mà √35 < √36 = 6
⇒ √10 + √5 + 1 > √35
- Ta có:
mà √3 < √4 = 2
Bài tập vận dụng
Bài 1: So sánh các số sau:
- 2 và √3 b] 7 và √50
Bài 2:
- 2 và 1 + √2 b] 1 và √3 - 1
- 3√11 và 12 d] -10 và -2√31
Hướng dẫn giải và đáp án
Hướng dẫn:
Bài 1:
- 2 > √3 b] 7 < √50
Bài 2:
- Ta có: 1 + √2 > 1 + 1 = 2
⇒ 2 < 1 + √2
- √3 - 1 < √4 - 1 = 2 - 1 = 1
⇒ √3 - 1 < 1
- 3√11 < 3√16 = 3.4 = 12
⇒ 3√11 < 12
- -2√31 < -2√25 = -10
⇒ -2√31 < -10.
Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau [làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3]:
- x² = 2
⇔ x = √2 hoặc −√2
⇔ x = 1,414 hoặc − 1,414
- x² = 3
⇔ x = ±√3 = ±1,732
- x² = 3,5
⇔ x = ±√3,5 = ±1,87
- x² = 4,12
⇔ x = ±√4,12 = ±2.03
Bài 4. SGK Toán 9 tập 1
Tìm số x không âm, biết:
- √x = 15
⇒ x = 15² = 225 > √a ≥ 0.
Với a ≥ 0:
Số x là căn bậc hai số học của a tức là
x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = [√a]² = a.
Cuối cùng, ta phải nhớ định lí sau về căn bậc hai số học:
\>>> Học Toán 9 online với giáo viên liên hệ 035 3150072.
Bài tập nâng cao về Căn bậc hai
Bài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉ
Để để chứng minh một số a là số vô tỉ, ta thường dùng phương pháp phản chứng: Giả sử a là số hữu tỉ thì dẫn đến mâu thuẫn.
Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ.
Căn bậc hai số học của 9 là bao nhiêu?
Ví dụ, căn bậc hai số học của 9 là 3, ký hiệu √9 = 3, vì 32 \= 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm. Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm.
Căn bậc hai của 1 là bao nhiêu?
Bất cứ nghiệm nào của 1 đều là 1 .
Căn bậc hai của 3 là bao nhiêu?
a3 \= 18817/10864 = 1.73205081...
Căn bậc hai của 4 là bao nhiêu?
Ví dụ: 2 là căn bậc hai của 4, bởi.