Trên tập hợp các số phức xét phương trình z^2-2(2m-1)z+4m^2-5m=0
|
Đặt z0 = x + yi (x, y \(\in\) R) là nghiệm của pt ban đầu Theo giả thuyết, ta có \(\left| {{z_0}} \right| = 5 < = > {x^2} + {y^2} = 25(1)\) Thay z0 vào pt ban đầu ta có \(\begin{array}{l} {(x + yi)^2} - 2(m + 1)(x + yi) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - {y^2} - 2mx + {m^2}) + (2xy - 2my - 2)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} - 2mx - 2x + {m^2} = 0\\ 2xy - 2my - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} - 2mx - 2x + {m^2} = 0(2)\\ y(x - m - 1) = 0(3) \end{array} \right.\\ (3) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 0\\ x = m + 1 \end{array} \right. \end{array}\) TH1: Với y = 0 => (1) <=> x2 = 25 <=> \(x = \pm 5\) Nếu x = 5 => (2) <=> m2 - 10m + 15 = 0 <=> \(m = 5 \pm \sqrt {10} \) Nếu x = -5 => (2) <=> m2 + 10m + 35 = 0 (vô nghiệm) TH2: x = m + 1=>(1) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} = 25 - {(m + 1)^2}( - 6 \le m \le 4)\\ (2) \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 25 + {(m + 1)^2} - 2m(m + 1) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 5\\ m = 5(loai) \end{array} \right. \end{array}\) Vậy có 3 giá trị tham số m thỏa mãn Chọn C
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây ! Số câu hỏi: 50
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2-2(m+1) z+m^2=0}$ ( ${m}$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của ${m}$ để phương trình đó có nghiệm ${z_0}$ thỏa mãn ${\left|z_0\right|=7 ?}$
2 .
3 .
1 .
4 .
Sort by date Sort by votes
Phương trình ${z^2-2(m+1) z+m^2=0}$.
Ta có ${\Delta\prime =(m+1)^2-m^2=2 m+1}$
Trường hợp 1: Nếu ${2 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có nghiệm thực nên
${\left|z_0\right|=7 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_0=7 \\ z_0=-7\end{array}\right.}$
Với ${z_0=7}$ thay vào phương trình ta được ${7^2-2(m+1) .7+m^2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=7+\sqrt{14} \\ m=7-\sqrt{14}\end{array}\right.}$
(thoả ${m \geq-\dfrac{1}{2}}$ ). Với ${z_0=-7}$ thay vào phương trình ta được ${7^2+2(m+1) .7+m^2=0 \Leftrightarrow m^2+14 m+63=0}$ phương trình vô nghiệm.
Trường hợp ${1:}$ Nếu ${\quad 2 m+1<0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có hai nghiệm phức là
${\left[\begin{array}{l}z=m+1+i \sqrt{-2 m-1} \\ z=m+1-i \sqrt{-2 m-1}\end{array}\right.}$
Khi đó ${\left|z_0\right|=7 \Leftrightarrow(m+1)^2-2 m-1=49 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=7 \\ m=-7\end{array}\right.}$.
Kết hợp với ${m<-\dfrac{1}{2}}$ ta được ${m=-7}$.
Vậy có 3 giá trị ${m}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải của GV Vungoi.vn Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*). TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 8\\{z_0} = - 8\end{array} \right.\). + Nếu \({z_0} = 8\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {8^2} - 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m= 12\\m= 4\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn. + Nếu \({z_0} = - 8\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 64 + 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 16m + 80 = 0\end{array}\) \( \Rightarrow \) Vô nghiệm. TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \)\(\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\). Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \). Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = {8^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {8^2} \)\(\Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 64\,\,\left( 1 \right)\). Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 64 \Leftrightarrow m = \pm 8\). So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 8\). Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 12 \), \(m = 4 \) và \(m = - 8\)). Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z^2 - 2(m+1)z + m^2=0(m là số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm Zo thỏa mãn |Zo|=7 A. 1 B. 4 C. 3 D. 2
Câu hỏi: A. \(1\). B. \(2\). C. \(4\). \(\) D. \(3\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Cách 1: Ta có \(\Delta ‘ = m + 1\). Trường hợp 1: \(m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 1\). Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} = – 13\end{array} \right.\). Từ đó suy ra \(\left[ \begin{array}{l}{7^2} – 2\left( {2m – 1} \right)7 + 4{m^2} – 5m = 0\\{\left( { – 13} \right)^2} – 2\left( {2m – 1} \right)\left( { – 13} \right) + 4{m^2} – 5m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{m^2} – 33m + 63 = 0\\4{m^2} – 47m + 143 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = \frac{{21}}{4}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Trường hợp 2: \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < – 1\). Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là \({z_0}\) và \({\bar z_0}\) và thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10\) \( \Leftrightarrow \left( {{z_0} + 3} \right)\left( {{{\bar z}_0} + 3} \right) = 100 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} + 3\left( {{z_0} + {{\bar z}_0}} \right) + 9 = 100 \Leftrightarrow 4{m^2} – 5m + 3.2\left( {2m – 1} \right) – 91 = 0\) \( \Leftrightarrow 4{m^2} + 7m – 97 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – \frac{{7 + \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = – \frac{{7 – \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\). Vậy có 3 giá trị của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Ta có \({z^2} – 2\left( {2m – 1} \right)z + 4{m^2} – 5m = 0 \Leftrightarrow {\left( {z – 2m + 1} \right)^2} = m + 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\). Trường hợp 1: \(m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 1\). Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2m – 1 + \sqrt {m + 1} \\z = 2m – 1 – \sqrt {m + 1} \end{array} \right.\). Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10\). Do đó \(\left[ \begin{array}{l}\left| {2m + 2 + \sqrt {m + 1} } \right| = 10\\\left| {2m + 2 – \sqrt {m + 1} } \right| = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = \frac{{21}}{4}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). Trường hợp 2: \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < – 1\) Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2m – 1 + i\sqrt {\left| {m + 1} \right|} \\z = 2m – 1 – i\sqrt {\left| {m + 1} \right|} \end{array} \right.\). Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10\). Do đó \(\left| {2m + 2 + i\sqrt {\left| {m + 1} \right|} } \right| = 10 \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 – m – 1 = 100 \Leftrightarrow 4{m^2} + 7m – 97 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – \frac{{7 + \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = – \frac{{7 – \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\). Vậy có 3 giá trị của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. ======= |
