Trình bày giải bất phương trình
|
TĂNG HỒNG DƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ MỘT ẨN I. Khái niệm bất phương trình một ẩn 1. Định nghĩa: Cho hai hàm số f(x),g(x) có các tập xác định Df,Dg. Đặt , mệnh đề chứa biến dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn. Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x>5x+3 2. Tập hợp nghiệm: Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị 3. Điều kiện của bất phương trình Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình là 4. Bất phương trình chứa tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn. Ví dụ: mx+2>5 (tham số m) 5. Hệ bất phương trình một ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó. II. Bất phương trình tương đương 1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Định lý 2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x) <=> f(x) + h(x) > g(x) + h(x) * Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi thì bất phương trình: f(x) > g(x)<=> f(x).h(x) > g(x).h(x) + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi thì bất phương trình: f(x) > g(x) <=> f(x).h(x) < g(x).h(x) 2.3. Định lí 3 (bình phương): Nếu f(x) > 0, g(x)>0 thì f(x) > g(x) <=> * Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình. + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương. + Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu. + Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) -f(x) > -g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế. * Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7 <=> x > 4 => tập nghiệm là b) 2x-10 > 3x-2<=> III. Dấu của nhị thức bậc nhất 1. Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b ; 2. Định lý : Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.  * Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải Đặt f(x)=0 <=> 2x+3= 0 <=> IV. Dấu Tam thức bậc hai1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng . 2. Định lý: (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai + Nếu thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x. + Nếu thì f(x) cùng dấu với hệ số a với . + Nếu thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) : * Chú ý : ta có thể thay bởi V. Phương pháp giải bất phương trình đại số 1 ấn Phương pháp 1: Lập bảng Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu f(x) a) b) Giải Dấu f(x) Vậy: và Dấu f(x)
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau a) b) Giải
*)Dấu vế trái:
Bất phương trình có nghiệm: . b) *)Nghiệm tử: x=2;x=3 *) nghiệm mẫu:x=1 *)Dấu vế trái
Vậy bất phương trình có nghiệm: . Ví dụ 3: Giải bất phương trình: Giải: Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
vậy S= Ví dụ 4: Gải bất phương trình: Giải Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
Vậy S = Bài tập tự luyện Bài 1: Giải các bất phương trình sau Đáp số:
Bài 2: Giải các bất phương trình sau a) b) c) Đáp số:
Phương pháp 2: Phương pháp trục số Trước hết xin bật mí rằng, so sánh phương pháp này với phương pháp lập bảng nhanh hơn rất nhiều và nếu số lượng các nhân tử càng lớn thì tốc độ càng nhanh gấp nhiều lần. Xin giới thiệu các bạn phương pháp.
+) h(x) cùng dấu a trên khoảng . +) Các khoảng còn lại: -/ Nếu với nghiệm bội lẻ của tử hoặc mẫu thì hai khoảng kề nghiệm đó trái dấu nhau . -/ Nếu tử hoặc mẫu có nghiệm bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó không đổi dấu. -/ Nếu tử và mẫu có nghiệm chung bội lẻ thì hai khoảng kề với nghiệm đó của không đổi dấu. Chứng minh: Mời các bạn xem thêm trong chuyên đề Bất phương trình tích thương giải bằng phương pháp khoảng. Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: Giải: Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4. Bước 2: Xét dấu vế trái
Bất phương trình có nghiệm: Bình luận: các nghiệm vế trái đều bội lẻ ( bằng 1). Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: Giải: Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4. Bước 2: Xét dấu vế trái
Bất phương trình có nghiệm: Bình luận: Hệ số a= -1<0, các nghiệm x=1;x=2;x=4 đều bội lẻ, Riêng x=3 bội chẵn. Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: Giải: Bước 1: Nghiệm tử: x=1;x=2 Nghiệm mẫu: x=3;x=4. Bước 2: Xét dấu vế trái
Bất phương trình có nghiệm: Bình luận: Các nghiệm của tử và mẫu đều bội lẻ ( bằng 1). Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: Giải: Bước 1: Nghiệm tử: x=1;x=2 Nghiệm mẫu: x=3;x=4. Bước 2: Xét dấu vế trái
Bất phương trình có nghiệm: Bình luận: a=1<0, Nghiệm tử x=2 là nghiệm bội chẵn, các nghiệm còn lại đều bội lẻ. Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau: Giải: Bước 1: Nghiệm tử: x = -1; x = 3 Nghiệm mẫu: x = 3; x = 4 Bước 2: Xét dấu vế trái
Bất phương trình có nghiệm: Bình luận: a=1<0, tử và mẫu đều có nghiệm bội lẻ x=3, các nghiệm còn lại đều bội lẻ. Tóm lại: Về quy trình, ta có các bước sau Bước 1: Tìm nghiệm của tử và mẫu (nếu có). Bước 2: Xét dấu vế trái.
Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình. Bài tập thực hành Bài 1: Giải các bất phương trình sau: Đáp số:
Bài 2: Giải các bất phương trình sau: a) b) c) d) Đáp số: a) S= (;-1) U (2;) b) S= (-2;-1] U (2;)
Bài 3: Giải các bất phương trình sau Đáp số: a) S=(;-1)U (/3;5/4) b) S=(1/3;3/2)U (4;) c) S= [-3;-1/2) d) S=(;-1/3)U[0;1/2)U[8;) ----------------------------------------------------------- |
