Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[2cos^2x 3cosx + 1 = 0\]
Phương pháp giải:
Đặt\[t = \cos x\], đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết:
\[2cos^2x 3cosx + 1 = 0\]
Đặt \[t = cosx\] với điều kiện \[-1 x 1\], khi đó ta có:
\[2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Với \[t = 1\], ta có: \[cos x = 1 x = k2π, k \mathbb{Z}\]
Với \[t = {1 \over 2}\]ta có:\[\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = k2\pi ,x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
LG b
\[25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\]
Phương pháp giải:
Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\]
\[ 25[1-cos^2x] + 15.2sinxcosx + 9cos^2x= 25\]
\[ \Leftrightarrow 25 - 25{\cos ^2}x + 30\sin x\cos x + 9{\cos ^2}x - 25 = 0\]
\[ -25 cos^2x + 30sinxcosx + 9cos^2x = 0\]
\[ -16cos^2x + 30sinxcosx = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow - 2\cos x[8\cos x - 15\sin x] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr
8\cos x - 15\sin x = 0 \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\8\cos x = 15\sin x\end{array} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\frac{8}{{15}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos x = 0 \hfill \cr \tan x = {8 \over {15}} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = \arctan {8 \over {15}} + k\pi \hfill \cr} \right.,k \in \mathbb{Z} \cr} \]
Vậy nghiệm của phương trình là\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,x = \arctan \frac{8}{{15}} + k\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
LG c
\[2sinx + cosx = 1\]
Phương pháp giải:
Phương trình dạng\[a\sin x + b\cos x = c\], chia cả 2 vế cho\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Lời giải chi tiết:
Chia cả hai vế của phương trình cho \[\sqrt 5 \], ta được:
\[{2 \over {\sqrt 5 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 5 }}\cos x = {1 \over {\sqrt 5 }}\] [*]
Vì\[{\left[ {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right]^2} + {\left[ {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right]^2} = 1\]nên tồn tại một góc \[α\] thỏa mãn:
\[\left\{ \matrix{
\sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr
\cos \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr} \right.\]
Khi đó, phương trình [*] trở thành:
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\sin x\sin \alpha + \cos x\cos \alpha = \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \cos \left[ {x - \alpha } \right] = \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \alpha = \alpha + k2\pi \\
x - \alpha = - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\alpha + k2\pi \\
x = k2\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left[ {k \in Z} \right]
\end{array}\]
Vậy nghiệm của phương trình là:\[{x = 2\alpha + k2\pi ;x = k2\pi }\] \[[k \in Z]\].
LG d
\[sin x + 1,5cot x = 0\]
Phương pháp giải:
Biến đổi, quy đồng, đưa phương trình về dạng phương trình bậc cao đối với 1 hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[sin x 0 x kπ, k \mathbb{Z}\].
Phương trình đã cho biến đổi:
\[\eqalign{
& \sin x + {3 \over 2}.{{\cos x} \over {\sin x}}=0 \cr &\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2[1 - {\cos ^2}x] + 3\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 2 = 0 \,\,\,\,[*]\cr} \]
Đặt \[t = cosx\] với điều kiện \[-1 \le t \le 1\]
Khi đó, phương trình [*] trở thành:
\[2{t^2} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 2 \hfill\,\,\,\text{[loại]} \cr
t = {{ - 1} \over 2} \hfill \,\,\,[tm]\cr} \right.\]
Với\[t = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]