Bài tập tích phân đổi biến số có lời giải
|
Chú ý tính chất: $\int\limits_{a}{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{a}{b}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)}du$ (tích phân không phụ thuộc vào biến). Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có Lời giải chi tiếtBài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{6}{f\left( x \right)}dx=12.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}dx.$
Lời giải chi tiết Ta có: $I=\int\limits_{0}{2}{f\left( 3x \right)}dx=\frac{1}{3}\int\limits_{0}{2}{f\left( 3x \right)}d\left( 3x \right)\xrightarrow{t=3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}{6}{f\left( t \right)}dt=\frac{1}{3}\int\limits_{0}{6}{f\left( x \right)}dx=\frac{12}{3}=4.$ Chọn D. Bài tập 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ -1;+\infty \right)$ và $\int\limits_{0}{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)}dx=8.$ Tính $I=\int\limits_{1}{2}{x.f\left( x \right)}dx$
Lời giải chi tiết Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$ và đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=1 \\ x=3\Rightarrow t=2 \\\end{matrix} \right..$ Khi đó $I=\int\limits_{0}{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=2}\int\limits_{1}{2}{t.f\left( t \right)dt=8}\Rightarrow \int\limits_{1}{2}{t.f\left( t \right)dt=4\Rightarrow \int\limits_{1}{2}{x.f\left( x \right)dx=4.}}$ Chọn C. Bài tập 3: Cho $\int\limits_{4}{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)dx}{\sqrt{x}}=a}$ và $\int\limits_{0}{1}{f\left( 2x \right)}dx=b$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx$ theo a và b.
Lời giải chi tiết Ta có: $\int\limits_{4}{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)dx}{\sqrt{x}}=}\int\limits_{4}{9}{2f\left( \sqrt{x} \right)d}\left( \sqrt{x} \right)\xrightarrow{t=\sqrt{x}}\int\limits_{2}{3}{2f\left( t \right)dt=a\Rightarrow }\int\limits_{2}{3}{2f\left( t \right)dt=\frac{a}{2}}$ Do đó $\int\limits_{2}^{3}{2f\left( x \right)dx=\frac{a}{2}}.$ Lại có: $\int\limits_{0}{1}{f\left( 2x \right)}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}{1}{f\left( 2x \right)}d\left( 2x \right)\xrightarrow{u=2x}\frac{1}{2}\int\limits_{0}{2}{f\left( u \right)}d\left( u \right)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}{2}{f\left( x \right)}dx=b$ Do đó $\int\limits_{0}{2}{f\left( x \right)}dx=2b\Rightarrow \int\limits_{0}{3}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}{2}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{2}{3}{f\left( x \right)}dx=2b+\frac{a}{2}.$ Chọn A. Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right)}.\cos 3xdx=1$ và $\int\limits_{0}{\ln 2}{{{e}{x}}.f\left( {{e}{x}} \right)}dx=3.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx.$
Lời giải chi tiết Ta có: $\int\limits_{0}{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).\cos 3xdx=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).d\left( \sin 3x \right)}\xrightarrow{t=\sin 3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}{1}{f\left( t \right).dt=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}{1}{f\left( x \right).dx=}1$ $\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).dx=}3$ Lại có: $\int\limits_{0}{\ln 2}{{{e}{x}}.f\left( {{e}{x}} \right)}dx=\int\limits_{0}{\ln 2}{f\left( {{e}{x}} \right)}d\left( {{e}{x}} \right)\xrightarrow{u={{e}{x}}}\int\limits_{1}{2}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3$ Do đó $I=\int\limits_{0}{2}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3+3=6.$ Chọn D. Bài tập 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}{\frac{\pi }{2}}{\cot xf}\left( {{\sin }{2}}x \right)dx=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}}dx=1.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}}dx.$
Lời giải chi tiết $A=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}{\frac{\pi }{2}}{\cot xf}\left( {{\sin }{2}}x \right)dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{\sin x}f}\left( {{\sin }{2}}x \right)dx$ Đặt $t={{\sin }{2}}x\Rightarrow dt=2\sin x\cos xdx,$ đổi cận suy ra $A=\int\limits_{\frac{1}{2}}{1}{\frac{f\left( t \right)}{2t}dt}=1\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=2.$ Mặt khác $B=\int\limits_{1}{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}}dx=1\xrightarrow{u=\sqrt{x}}\int\limits_{1}{4}{\frac{f\left( u \right)}{{{u}{2}}}}2udu\Rightarrow B=2\int\limits_{1}{4}{\frac{f\left( u \right)}{u}}du=1\Rightarrow \int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=\frac{1}{2}$ Xét $I=\int\limits_{\frac{1}{8}}{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}}dx\xrightarrow{v=4x}I=\int\limits_{\frac{1}{2}}{4}{\frac{f\left( v \right)}{\frac{v}{4}}}.\frac{dv}{4}=\int\limits_{\frac{1}{2}}{4}{\frac{f\left( v \right)}{v}}dv=\int\limits_{\frac{1}{2}}{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=A+B=\frac{5}{2}.$ Chọn D. Bài tập 6: Cho các khẳng định sau: (1). $\int\limits_{0}{1}{\sin \left( 1-x \right)dx=}\int\limits_{0}{1}{\sin xdx}.$ (2). $\int\limits_{0}{\pi }{\sin \frac{x}{2}dx=}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}.$ (3). $\int\limits_{0}{1}{f\left( x \right)dx=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)\cos 2xdx}.$ (4). $\int\limits_{1}{2}{f\left( x \right)dx=}2\int\limits_{1}{2}{x.f\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}.$ Số khẳng định đúng là:
Lời giải chi tiết Ta có $\int\limits_{0}{1}{\sin \left( 1-x \right)dx=}-\int\limits_{0}{1}{\sin \left( 1-x \right)d\left( 1-x \right)}\xrightarrow{t=1-x}-\int\limits_{1}{0}{\sin tdt=}\int\limits_{0}{1}{\sin tdt=}\int\limits_{0}^{1}{\sin xdx}.$ $\int\limits_{0}{\pi }{\sin \frac{x}{2}dx=}2\int\limits_{0}{\pi }{\sin \frac{x}{2}d\frac{x}{2}=}2\int\limits_{0}{\frac{\pi }{2}}{\sin udu=}2\int\limits_{0}{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}.$ $\frac{1}{2}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)\cos 2xdx}=\frac{1}{4}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)d\left( \sin 2x \right)=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}{1}{f\left( v \right)dv=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}{1}{f\left( x \right)dx}.$ $2\int\limits_{1}{2}{x.f\left( {{x}{2}}+1 \right)dx}=\int\limits_{1}{2}{f\left( {{x}{2}}+1 \right)d\left( {{x}{2}}+1 \right)}=\int\limits_{1}{5}{f\left( z \right)dz}=\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}.$ Số khẳng định đúng là 2. Chọn B. Bài tập 7: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)}.dx=a$ và $\int\limits_{0}{1}{\frac{{{x}{2}}f\left( x \right)}{{{x}{2}}+1}}dx=b.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx$ theo a và b.
Lời giải chi tiết Đặt $x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=0 \\ x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4} \\\end{matrix} \right.$ Khi đó $\int\limits_{0}{1}{\frac{{{x}{2}}f\left( x \right)}{{{x}{2}}+1}}dx=\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{\frac{{{\tan }{2}}t.f\left( \tan t \right)}{{{\tan }{2}}t+1}.}\frac{1}{{{\cos }{2}}t}dt=\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }{2}}t.f\left( \tan t \right)dt=}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}b$ Suy ra $\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}+\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right).f\left( \tan x \right)dx}$ $=\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{\frac{f\left( \tan x \right)dx}{{{\cos }{2}}x}=}\int\limits_{0}{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)d\left( \tan x \right)=}\int\limits_{0}{1}{f\left( u \right)du=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$ |
