Giải bài tập cơ học kỹ thuật 1 năm 2024

1. PHONG ĐIỀN (Chủ biên) TS. NGUYỄN QUANG HOÀNG - GS. TSKH. NGUYỄN VĂN KHANG TS. NGUYỄN MINH PHƯONG
2. PHONG ĐIỂN (Chủ biên) TS. NGUYỄN QUANG HOÀNG - GS. TSKH. NGUYÊN VÃN KHANG TS. NGUYỄN MINH PHƯƠNG BÀI TẬP C ơ HỌC KỸ THUẬT (Tái bản lấn thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM
3. ô rtỔ À y đ ẩ Ẩ Ắ / Cơ hoc k ỹ thuầt là một môn học cơ sở trong chương trình đào tạo sinh viên đại học kỹ thuật, ơ Liên Xô trước đây và Liên bang Nga hiện nay, tên môn học này được gọi là Cơ học lý thuyết, ơ Mỹ, CHLB Đức, Anh. Canada, Nhật Bản, Singapore, Thái Lan,... tên môn học này được gọi là Cơ học kỹ thuật (Tiếng Anh: Engineering Mechanics). C nước ta trước năm 1990, tên môn học này là Cơ học lý thuyết. Từ nàm 1990 trở lại đây, tên môn học này ở Trường Đại học Bách khoi Hà Nội được gọi lâ Cơ học, Cơ học lý thuyết hoặc Cơ học kỹ thuảt, ở Trường Đại học Xây dựng được gọi là Cơ học cơ sở, ở Trường Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh được gọi là Cơ họclv thuyết. Đe phù hợp với chủ trương Đại học của Việt nam hội nhập với Đại học khu vực và Đại học thế giới của Bộ Giáo dục và Đạc tạo, hiện nay một số trường đại học đã gọi tên môn học này là Cơ học kỹ thuật. Nội dung của môn học Cơ học kỹ thuật gồm ba phần: Tĩnh học vật í:;/;, , răn Dộng học vật răn; Động lực học vật răn. Cuốn Bài tập Cơ học kỹ thuạt này được viết tương ứng với cuốn sách Cơ học kỹ thuật của GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang (NXB Giáo dục Việt Nam năm 2009). Đe học tốt môn học này sinh viên cần phải làm các bài tập. Mỗi bài tập cơ học là một mô hình của một vân đề kỹ thuật nào đó. Do đó người học vừa phải nắm vững kiến thức toán học và cơ học, vừa phải có nr duy về kỹ thuật tương đối tốt. Đe giúp cho sinh viên dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập, chúng tôi phân chia cuốn sách này thành hai phần: Phần một gồm các bài tập và đáp sô', phần hai là các 3
4. hướng dẫn giải. Cuốn sách có tổng cộng 435 bài tập được chia thành 20 chương. Hầu hết các bài tập đã có lời giải hoặc hướng dẫn giải. Tuy nhiên nếu chưa thực sự cần thiết, sinh viên không nên xem ngay phần lời giải. Cuốn sách này không chỉ là tài liệu học tập cần thiết cho sinh viên của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội mà còn là tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên của tất cả các trường đại học trong toàn quốc. Trong quá trình biên soạn sách không tránh khỏi các thiếu sót, các tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp và của các em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn trong các lần tái bản sau. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: PGS. TS. Nguyễn Phong Điền, Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội hoặc theo địa chỉ E-mail: [email protected] hoặc công ty CP sách Đại học —Dạy nghề, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội. Hà 10 tháng 6 năm 2010 Các tác giả 4
5. Tóm tắt lý thuyết và bài tập......................................................................7 Chương 1. Cân bằng của vật rắn phẳng................................................................ 9 Chương 2. Cân bằng của vật rắn không gian.......................................................29 Chương 3. Cân bằng của vật rắn khi có ma sát....................................................39 Chương 4. Trọng tâm vật rắn...............................................................................51 Chương 5. Đùng học của điểm........................................................................ .59 Chương 6. Chuyển động cơ bản của vật rắn....................................................... 65 Chương 7. Chuyển động tương đối của điểm......................................................71 Chương 8. Chuyển động song phảng cùa vật rắn................................................79 Chương 9. Động học vật rắn không gian.............................................................91 Chương 10. Động lực học chất điểm.................................................................107 Chương 11. Các đặc trưng hình học khối lượng................................................113 Chương 12. Cơ sở phương pháp động lượng......................................................121 Chương 13. Cơ sở phương pháp năng lượng......................................................137 Chương 14. Nguyên lý công ảo.........................................................................149 Chương 15. Nguyên lý d’Alembert...................................................................157 Chương 16. Nguyên lý d’Alembert-Lagrange và phương trình Lagrange II.... 167 Chương 17. Động lực học vật rắn không gian...................................................177 Chương 18. Va chạm giữa các vật rắn...............................................................189 Chương 19. Động lực học chuyển dộng tương đối............................................198 Chương 20. Dao động tuyến tính...................................................................... 206 Phần II. Hướng dẫn giải và lòi giải....................................................................213 Chương 1............................................................................................................ 215 Chương 2............................................................................................................ 230 Chương 3............................................................................................................ 237 Chương 4............................................................................................................ 247 Chương 5............................................................................................................ 250 Chương 6.................................................................................... 256 5
6. . . í..1L;,................................................ 259 Chương 8........................................................................................................... 269 Chượng 9............................................................................................................284 Chương 10..............................................................................1 .........................301 Chương 11........................................................................................................309 Chương 12.................................................................................... ....................315 Chương 13................................................................................. ................ . .331 Chương 14................................................................................................... ......343 Chương 15......................................................... 352 Chương 16..........................................................................................................363 Chương 17................................ . ... . . . . . ........................................................ .373 Chương 18.................................................................................. ........382 Chương 19...... ....388 Chương 20.............................. ..............396 ■• ............... ...................:.:V;Ỉ : ;.;7ob qí:f.k; ■'}."{ .. . 7 Tài liệu tham khảo....................................... ......................................................... 400 • - .........................................................lỉfí’ ỌÍJÌ Ịịíĩíin ■'Ịcỉk- 5àíi"í *'LíflC| j j } i V*Jií’ ) (/.[: ị 1 ...................... ................................................................ . O í i ĩịỉì(Ỵj 7í ÍV J/ l i 7A '■ í [ịivm đ " ) .......................... ...... ..................................... IìXkí-^{iÀ i /) í i i y v ị r ò Ị . . . . H í ỉ n n í É 7 7} í ì i r í i > i k . ỉ t t o đ r n s í A ' ! ; .7 :. h .( Ị r? í ' - ..........................................................................m Àỉị :ÌŨÔÍỈẢ n h i ìiỵỉ :.)ỌĨỈ yụị ;.ỰĨỘQ s ị 7 iỉ?W íO v T í .......................................................................... . ........... : u ; ' ỉ ỉ ệ v J k.) húi;.i in ụ & j ; ; ■ / .7 1 / . • : / y - j f ! ' > ...............................................................io b ỉịttXítii ỈẬíỉộh aÒVUib ‘:;y>u -Ạ!í ĨỰ.lỌii .ọ 1 ;rr;Ọíj.i'.) ..................................................................................rỉíííl i’ yj ĩ ịj í '.ìíũú} ,.vv). .17 ;;* ■-;jí r ) U i iúì ủ ĩ ikịịị n h h ỊỊíÙPisII -lẳ Jf?,nrf
7. THUYỂT VÀ BÀI TẬP
8.
9. CỦA VẬT RẮN PHANG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Lực và ngẫu lực Một lực được xác định bởi các yếu tố: Điểm đặt, hướng tác dụng và độ lớn (tính theo N hoặc kN). Mômen đại số của lựcđối với một tâm được xác định bởi: fh0(F) = ±Fd, (1.1) trong đó: ta quy ước dấu cộng nếu lực quay quanh o ngược chiều kim đồng hồ, dấu trừ nếu lực quay quanh o thuận chiều kim đồng hồ. Ngầu lựclà một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều và có cùng độ lớn. Độ lớn của ngẫu lực được xác định bởi mômen đại số m theo hệ thức: fn = ±Fd = ±F'd, (1.2) trong đó: quy ước vé dấu giống như trường hợp mômen dại số của lực. Hệ lực phân bố được xác định bởi cường độ và quy luật phân bô' cùa các lực thành phần. Hệ lực phân bô' song song có họp lực Q dật tại trọng tâm của diện tích phân bô'. Hai hệ lực phân bô' dơn giản nhất được biểu diễn trên hình sau. 0 ° d ''ỵy' N ' 1/2, 1/2 < > j< H Phân bố đều Phân bô' theo quy luật tam giác Hệ lực phẳng Hệ lựclà tập hợp các lực tác dụng lên cùng một vật rắn. Hệ lực song song phẳng và hệ lực đồng quy phẳng là những trường hợp đặc biệt. 9
10. lực phẳng (Fv F2,...,có dạng: R' = ± F k Jt= i Mômen chínhcủa hệ lực phảng (Fv F2,...,F M0 = Ê mo(Fk) (1.4) • . .*= 1' 'bỉnh Hyvòdgrioni Khí hệ lực phảng có hợp lực,ỹ mômen của hợp lực đối với một điểm o bất kỳbằng tổng mômen của các lực thành phần đối với điểm o. fñ0 (R) = ¿ m 0 (Fk) với Định lý về thugọn hệ l ự c : Thu gọn hệ lực phẳng vétâ và một ngẫu lực. Lực đặt tại o và được biểu diễn bởi véctơ chính của hệ lực. Ngẫu lực có mômen đại số bằng mômen chính của hệ lục đối với tâm o. fltỉiỉ) «01 ob ỉ$ầF;?MẫẤầĩịMp)ií: , V, , , , . 7 Cân bằng của vật rán phảng tự do Điêu kiện cân bằng tổng quát của vật rắn phẳng tự do: iỉ' —0 và M0 —0 (1.7) Các phương trình cân bằng: Dạng I: ị x = 0. Ị x = °! i « » ® - 0. : (1.8) ; : Pạng 2: ¿ Fk& = o, Ỳ i ^{o ừ ị ) - 0. ộ ỉ i (1,9) V-. k~ *= 1 .'Jiirif 'jtHJoí!) m o> rwrnôrn iòđ ỉinrh '"j'nÁ với À là trục bất kỳ không vuông góc với AB. Dạng 3: Ỳ. mAữk)™B(ầ )= °.. Z = °- (1.10) >ul :)iv.ì Hih í'^iítulq ỉịii! ób Hfi'óti'j iófrltinib oh/, oo'u'b "cv. ■r*í< in’ . s trong đổcác diem Ạ, B, c không thắng hàng. Vật rận chiu tác dụng của hệ lực phẳng đặc biệt (dồng quy hoặc song Sồng) có tôi đa hai phương trình cân bằng độc lập. Phản lực liên kết của một số liên kết phẩng V » • /1 Liên kết tựa(không ma sát): Phản lực liên kết tựa có phương vuông góc dường tựa (hoặc mặt tựa) và có chiêu hướng vế phía vật khạo sát. í í 4 ^u u a V / ỊIẲCỊi LUuy M l t u VỈỈ1 VU u u u ỉ ỉ g VV p m a VÜL iviiciw o u i . * 1 c * / I Ñ, " 1 A L = = = - .=} B Gối tưa cố đinh Gối tưa di đônc D >iỉ Gối tựa cố định Gối tựa di động 10
11. mềm (nhẹ và không giãn). Phản lực liên kết dây (sức căng dây) có phương dọc theo dây và có chiều hướng ra phía ngoài vật khảo sát. Liên kết bản lề phẳng. Phản lực liên kết bản lề phẳng R0 có phương, chiều và độ lớn chưa xác định. Trong các bài toán cân bằng của vật rắn phẳng, lực này thường được phân thành 2 thành phần vuông góc với nhau (có chiều chưa xác định). Liên kết thanh. Với giả thiết thanh có trọng lượng không đáng kể và chỉ chịu kéo nén, phản lực liên kết có phương nằm dọc theo dường nối giữa hai điếm liên kết và có chiều chưa xác định. Liền kết ngàtn phảng. Phản lực liên kết được phân tích làm 3 thành phần: 2 thành phần lực vuông góc với nhau và 1 ngẫu lực (chiều của lực và ngẫu lực chưa xác định). Liên kết rãnh trượt (máng trượt). Nếu rãnh trượt có chiều dài dủ lớn, ta có thể phân tích phản lực liên kết theo hai quan điểm: quy về dạng ngàm hoặc quy về hai liên kết tựa ở hai đầu (xem hình vẽ). Chiếu các thành phần lực và ngẫu lực chưa xác định. Vật khảo sát Quy về Nên kết ngàm iN, -E msmmm Quy về 2 liên kết tựa 11
12. là ngắn, phản lực liên kết là một lực có phương vuông góc với đường trượt như hình vẽ và có chiều chưa xác định. N Ạ Rãnh trượt ngắn - - - Ọ - - - Con trươt Liên kết bản lề cốiphảng (ổ chận). Phản lực liên kết gồm hai thành phần vuông góc X A và ỶA, trong đó thành phần ỶA có phương vuông góc với mặt bị chặn. II. BÀI T Ậ P 1-1. Cầu trục trọng lượng p có thể di chuyển được nhờ bánh xe B chạy thanh đường ray chữ I. Khoảng cách giữa hai bánh xe AB = Tời nâng dầm của cầu trục và đang giữ vật nặng trọng lượng Ổ ở vị trí cách A một Tìm phản lực liên kết tại A và B. trên hai đặt trên đoạn Đáp số: N t N , = Qx ~T L + — 2 p_ 2 1-2. Một thanh thẳng đồng chất trọng lượng p chiều dài 4a tựa trên cạnh của một góc vuông tại A và tường nhẵn tại B. Tìm góc nghiêng ọ khi thanh ở vị trí cân bằng. Xác định phản lực tại AvầB khi đó. Đáp số: cos5 . 12
13. có chiều dài / và trọng lượng không đáng kể được đặt nằm ngang giữa hai mặt phang nghiêng nhẵn. Tại vị trí X trên thanh, người ta đặt một vật c mang trọng lượng p. Tìm X dể thanh cân bằng ở vị trí nầm ngang. Xác định phản lực tại A và B khi đó. rN / , sinơrcos/? w „ sin p w „ sina Đáp số: X = / - — ——; N Á= p — — ỉ- — Nu = p sin(a + P) sin(a -f P) sin(a + P) 1-4. Một thanh có chiều dài l = ypĩr và trọng lượng khồng đáng kể được đặt trên một chỏm cẩu nhẵn bán kính r. Trên thanh có gắn một vật nặng có trọng lượng p. a) Tìm vị trí của vật nặng (khoảng 1 cách x) sao cho thanh can bằng ở vị trí nghiêng với phương nằm ngang một góc a = 15°. b) Tìm phản lực tại A và B khi đó. Đáp số: a )x = V 3T T ; V3P b) n = N g = — . B 2 Hình bài 1-4 1-5. 'ĩhanh AB đồng chất, trọng lượng p đặt trên nền gấp khúc như hình vẽ. Một sợi dây vắt qua ròng rọc có một đầu nối với thanh tại B, đầu kia treo vật nặng D có trọng lượng Q đủ để giữ cho thanh dứng cân bằng. Cho biết đoạn dây BC song song với mặt nghiêng của nền. Tìm Q và phản lực tại A và B. l l _ p p h T _ ' h p Đáp số: Q= ; NẢ ==-; Ne = -PP- . 4 2 4 1-6. Một thanh đồng chất khối lượng m, chiều dài / đặt trên một bậc thang có độ cao /ỉ. Đê giữ thanh cân bằng ở vị trí nghiêng với phương nằm ngang một góc a, người ta tác dụng vào điểm B trên thanh một lực F theo phương ngang. Tìm độ lớn của lực F , phản lực liên kết tại A và B. Bỏ qua ma sát trượt. 13
14. mgl sin a casa lsin a cos2a ' F = ■ ■ ■ .- — ; =■- ~ — ■ - - ;7Vfl = mg 2h 2h 1 - 2h ) 1-7. Một thanh đồng chất trọng lượng được giữ tựa trên hai mặt tường nhẵn thẳng đứng nhờ dây CD tại vị trí như hình vẽ. Tìm phản lực tại A, B và sức căng của dây CD. Đáp số: ■Na= ■ ± M ’ P ; Nb=T’ = — p . 12 Ií f ỉ ! j ụ> ỉ;r .fií được treo lên trần nhờ bản lề tại /1. Tại điểm B trên tấm người ta buộc một sợi dây, đầu dây treo vật nặng trọng lượng p. a) Tìm quan hệ giữa avầb sao cho tấm cân bằng ở vị trí a = 30°. b) Tìm phản lực tại A khi tấm ờ vị trí này. Đáp số: a) I ■ = ; b) =ỘỴÁ + Q . 1-9. Một dầm gấp khúc ABCDE liên kết với nền thông qua ,bản lề tại A và được giữ bởi một sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc, nối với dầm tại hại điểm B và Dầm chịu tác dụng một lực thẳng dứng Cho biết tgc* = 4 / 3. Tìm phản lực tại A và sức căng của dây. càng cùa dây. d ;! iiib í íCd:. V Đáp số: X A = - - i F ; Y A = : ^{F:; T = 2} ứ ’I ZỊ
15. được giữ nầm ngang nhờ bán lề A và dây Thanh chịu tác dụng của một hệ lực phán bô' dều có cường độ q và chịu một lực tập trung F = 3 theo phương thẳng dứng tại diểm D. Xác định phản lực tại A và sức căng của dây. < 7 F 1-11. Thanh AB liên kết với tường nhờ bản lé A và dược giữ nằm ngang nhừ thanh gấp khúc CD. 'Thanh chịu tác dụng một lực F thắng đứng tại đầu B. Bỏ qua trọng lượng của các thanh. Hãy xác định phương chiều và độ lớn của phản lực liên kết tại _ . .. v -373F Đáp số: XA = — ; Y. = ——. 2 2 1-12. Dầm ABchiều dài 3a dược ngàm chặt vào tường tạ i/4. Dầm chịu tác dụng của một hệ lực phân bố tam giác dọc theo chiều dài A B, lực tập trung F và một ngẫu lực M đặt tại B. Cho biết cường độ lực phân bố tại A là < 7, lực F nghiêng với phương thẳng đứng một góc 30°. Xác định phản lực tại A. Bỏ qua trọng lượng của dầm. Đáp số: X, E _. Y - 3a<7 p73 2 9 m A = 'Ầalq 2 - M . 1-13. Một khung hình chữ L ngược dược chôn chặt xuống nền tại A, đầu B lắp ròng rọc. Người ta vòng qua ròng rọc một sợi dây, một dầu treo vật năng trọng lượng p, một dầu buộc với khung tại c . Tun phản lực tại A và nội lực tại mặt khung. Bò qua trọng lượng cùa khung. Đáp số: X A ~ i ) Y A = p '- m A 2Pa 73 p_ ~ 2 Yd =P 1+ 7 3 Ì 2 mD = P ^_2_ s73 + 14 2> 15
16. đuợc lồng vào trụ CD ở vị trí nghiêng với phương thẳng đứng một góc 60°. Đầu A của thanh tựa vào tường, đầu B treo vật nặng trọng lượng p. Xác định phản lực tại A và phản lực từ trụ CD Ịên thanh (quy vế hai liên kết tựa). Đáp số: — • N = — • N = — V 3; c 73 ; D 7 3 ' 1-15. Một máy kéo có trọng lượng p,bộ phận bốc h nâng một vật nặng trọng lượng F. Các kích thước cho trên như hình vẽ. a) Tìm điều kiện giữa p, Q và Fđ ể bánh B của máy mặt đất. b) Tìm phản lực liên kết tại điểm tiếp xúc A khi hệ ở trạng thái cân bằng. Đáp số: a) F s ; B Ht . fe ± Ĩ Eís . * a d Hỉnh bài 1-15 16
17. nâng người dùng để hỗ trợ lấp đặt thiết bị trên cao có trọng lượng dang nâng một người trọng lượng Xác dịnh dối trọng / dược đặt ở trên xe sao cho xe không bị lặt. , . „ C.P, Đáp sô: P3 > 2 a + b 1-17. Cần trục trọng lượng p di chuyến dược nhờ bánh xe D chay trên hai dường ray. Trọng tâm cần trục nằm trên đường trung trực của Vật cần nàng có trọng lượng Một đối trọng được đặt tại phía đối diện với vật nâng. Các kích thước cho trên hình vẽ. Xác định trọng lượng Q cùa dối trọng dể cần trục không bị lật. Hình bài 1-16 Đáp số: - F.—F- 1m — — 4 Hình bài 1-17 Hình bài 1-18 1-18. Bể nước trọng lượng p dược dặt trên hai chân tháp. Tại A là gối cô' định, tại B là gối di dộng. Ở tầm cao lì có lực tác dụng của gió nầm ngang. Tìm khoảng cách a giữa hai chán tháp dê tháp không bị lật. Đáp số: > 2Fh p 1-19. Trong một hộp có hai trụ đồng chất cùng bán kính , cùng trọng lượng nằm chổng lên nhau như hình vẽ (đường nối hai tâm trụ nghiêng với đường nàm ngang một góc 45°). Tìm các phản lực của hộp tác dụng lên các trụ và lực tương hỗ giữa hai trụ khi cân bằng. Đáp số: Na = P N b = 72 p ; Nc = p ; 17
18. trụ đồng chất tâm Cị và C2 nằm chồng lên nhau trong một góc vuông như hình vẽ. Trọng lượng của hai trụ lần lượt ìầ Pị= 10 N, p2 = 30 N. Tìm góc nghiêng ọ của đoạn nối hai tâm CịC2 và lực tương hổ giữa hai trụ khi hệ cân bằng. Đáp số: < p= 0; N= loVã N 1-21. Một cần trục gồm cần gắn với tháp CD thông qua khớp bản lề tại Chân tháp được giữ cố định với nền để tháp luôn thắng đứng. Cần AB được giữ nằm ngang nhờ dây BG. Giả thiết A và CD được xem là vật đồng chất có trọng lượng trên một đơn vị chiều dài là p. Tìm phản lực tại c, D và sức căng của dây khi cần trục đang giữ vật có trọng lượng p ở trên cao. 18
19. lực liên kết tại các khớp cho cơ cấu như hình vẽ. Đáp số: XA = 3F; Ya = 2,5F X B = -3F: = -Ị5 F ; = 4F; r c = 2,5F; 1-25. Hai thanh dầm liên kết với nền thông qua bản lề tại Aygối tựa di động tại Z ?, đồng thời liên kết với nhau nhờ bản lé tại c. Ngoài ra, hai dầm được giữ với nhau bàng' dây FF. Trên hai dầm dặt một thùng bia có trọng lượng p. Tim phản lực tại các điểm A, B ,c và sức căng của dây. Bỏ qua trọng lượng của cả hai dầm. Đáp số: X a = o -> ya = n b = £ . XC = - P ; Y C =0; 2 19
20. dầm nối với nhau bằng khớp bản lề tại c, bị ngàm tại B và được dỡ bởi gối tựa di động tại A.Hệ chịu tác dụng của các lực và ngẫu lực như trê Tim phản lực tại A, B và c. „ , , .r 7 q a M Đáp SỐ : n a = - ⁺~; 3 Za X B =0-, = — 4qa2 2 qa M + F mu X c 3 3 2a + M - aF ; 0 ; Yr -2 qa M 3 + 2a Hình bài 1-26 1-27. Hệ hai dầm liên kết với nhau nhờ bản lé tại c, bị ngàm tại A và dược đỡ bởi gối tựa di động tại B. Hệ chịu tác dụng của lực phân bố đéu có cường độ Tìm phản lực tại A, B và c. Đáp số: X A = 0 ; Ya = 1,5go ; mA 2; NB = < 1 a I a Hình bài 1-27 0,5 q a ; X c =0; = 0,5 1-28. Cầu gồm dầm AB trọng lượng p nối với dầm BC trọng lượng Q nhờ bản lề B và chịu liên kết như hình vẽ. Từ giữa dầm cầu AB đến cuối dầm cầu BC có một đoàn tàu dang đỗ, trọng lượng xem như phân bố đều với cường độ q. Xác định phản lực các gối A ,c, D và lực tác dụng tương hỗ tại B. 20
21. Q 3 . 2 (P+ Q A 3 Q ’ Q ’ 1B - Q O < 3 N, 2P 3 1-30. Một hệ khung gồm hai dầm thép /Iß và ßC nối với nhau bằng khớp bản lề tại tí. Hệ khung bị ngàm tại được đỡ bởi gối tựa di động tại và chịu tác dụng của lực Ftheo phương thẳng đứng tại c .Tìm phản lực tại /4, ß và D. Đáp số: X A = 0 -Y A = - j F - , m A = ^{F - 0 0 x u =o - y b = ~ f -,n d =} f o o 1-31. Hệ khung dầm chịu lực gồm hai dầm AC và CB liên kết với nhau và với nền như hình vẽ. Dầm AC chịu tác dụng của hệ lực phân bố cường độ q và lực tập trung F = 4<7«. Tìm phản lực tại A, B và c Đáp số: Na = '3qa ; X D= 4q a ; YB = -qa ; mB 2; X c 4 1-32. Cho hệ khung gồm hai dầm liên kết với nhau, liên kết với tường và nén thông qua các khớp bản lể tại c, A và B. Hê chịu tác dụng của một hẹ ỉực phân bố tam giác có cường độ lớn nhất q= 4,5 kN/m và một lực tập trung biểu diễn trên hình vẽ. Tim phản lực tại A, B và Đáp sô: X A = -1,4 k N; YÀ = 4,5 k N; = 1,4 ; YB = U k N ; Xc =ì,4kN; Yc - 9 kN. 21
22. gồm 2 khung có trọng lượng khồng đáng kể liên kết với nhau bằng khớp bản lé tại c và liên kết với nén thông qua các gối cố định A, B. Hệ chịu tác dụng của-các ngơại lực như hình vẽ. Tìm phản lực liên kết tại A, B và c. Đáp số: X Ả =-F-t YÁ =2F +^{X B =2F:YB = -2F +} - X c = -2F YC =2F + 1-34. Cho hệ gồm 2 khung liên kết với nhau bằng khớp bản lể tại c và liên kết với nền thông qua các gối cố định Ay B. Hệ chịu tác dụng của các ngoại lực như hình vẽ. Cho biết qa = 3F . Tìm phản lực liên kết tại A, B và c. Đáp số: 2F 24F X Á*=— Ya = — ; S i fỴ S i fỴ ~9F Ị F ~ J ’ 1 B ~ J » V 2 F , Y. ~ l8 c 7 7 1-35. Tim lực liên kết tại các điểm Av& c cho hệ chịu lực như hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng của các dầm AB, CB và của thanh CD. Đáp số: 2qa 7qa 2 = - 3 ; Ya = 2 m'A= 69 ; c _ 5 “ C D ~ r (l a - 0 F Hình bài 1-33 22
23. nằm ngang liên kết với nền tại /4 , tựa trên đầu thanh CD tại c và chịu lực phân bố đều cường độ q dọc theo chiều dài. Thanh CD dựa vào một góc vuồng ở vị trí nghiêng với phương ngang góc 60°, đầu thanh liên kết với nền tại D. Bỏ qua trọng lượng cùa hai thanh. Tìm phản lực liên kết tại A, c, D và E. Đáp số: X A = 0; YA - -6aq Nc - 18aq Ằ D= -9j3aq Yp = 9aq NE = 18aq. 1-37. Thanh AB nằm ngang chịu liên kết với nền tại bản lề A, đầu B đặt tựa trên thanh CD và chịu lực phân bố cường độ q như hình vẽ. Dây CE có vị trí thẳng đứng. Góc nghiêng của thanh CD so với phương ngang là a. Tìm phản lực tại A, B, c và D. Bỏ qua trọng lượng 2 thanh. Đáp số: x , = ^{l lga- , Y , = ĩ l - , N , =} í - 2 2 2cosa Tc = 9aq 8cos2a X D = 3aq tga; Yd = 3aq Hỉnh bài 1-37 c ỉ B t s t y* A 8cosa 1-38. Thanh AB dựa nghiêng vào thanh BC tại điểm B và chịu lực phân bố đều cường dộ q trên toàn bộ chiều dài. Thanh Cfí được giữ nằm ngang nhờ ngàm tại c. Cho biết kích thước và vị trí các thanh như trên hình vẽ. Tim phản lực tại A, B và c. Đáp số: XA= x„= Aaq sin a 3 8aq sin a 3 ; Y a = •Y = 11c Aaqcosa ~ Y ~ Saqcosa ~T~ ; N n = 8aq ; mc = 8a¿qcosa. 23
24. hai thanh chịu liên kết như hình vẽ. Thanh BC dược đặt nghiêng so với phương nằm ngang một góc a và chịu tác dụng của một ngẫu lực có mômen M. Thanh AB được đỡ nằm ngang trên gối tựa tại A và chịu lực phân bố đều cường độ q trên toàn bộ chiều dài thanh. Bỏ qua trọng lượng các thanh. Tìm phản lực tại A, B, c và D. Đáp số: x b = o-,yb = ^ - , x c = Ố (M A — 4- 4aq u sin a cosa; Yn Aaq 3 (M_ a A ì 2 (M A 4 4aq cos a ND = — 4 4aq cosa. ) l a ) 1-40. Cho cơ hệ gồm 4 thanh liên kết với nhau và với tường bằng a " các bản lề như hình vẽ. Thanh AF chịu tác dụng của hệ lực phân bố đều dọc theo chiều dài với cường độ lực phân bố CỊ. Bỏ qua trọng lượng của các thanh. Xác định phản lực liên kết tại A, B và ứng lực trong hai thanh CD, EF Đáp số: I a I a , a I a/2 k--- ------► X a = 15aq 8 Hình bài 1-40 . V _ 9ag v _ 15 a q. v _ 3aq c » A ~ *A tì ~ o ** 1 3 ~ , » ^CD ~ o ’ *^EF ì5Í2aq 8 8 8 1-41. Cho hệ dầm - thanh chịu tác dụng của các ngoại lực như hình vẽ. Tìm lực liên 1-42. Vật nặng trọng lượng pđ ược treo vào nút A của hệ khung với nhau như hình vẽ. Tim ứng lực các thanh. 24
25. Acủa hệ khung gồm 6 thanh có treo vật nặng trọng lượng p. Tìm ứ lực các thanh. Đáp số: 5, = 2P; S2 =-V3P; = 0; 5, = -VrP; Sr >= ,-2 p 73 4p s6 =^ 6 73 1-44. Tìm ứng lực các thanh 1, 2, 3 thanh truyền AB = Pít-tông B chịu tổng áp lực hơi là F. Tìm mômen M tác dụng lên tay quay dể hệ cân bằng trong trường hợp tay quay nghiêng với phương ngang một góc a Đáp số: A M - Fr sin a 1+ cosa yj(l / r)2- sin2a Hình bài 1-45 1-46. Cơ cấu culít của máy bào ngang gồm một bánh răng có thể chuyển động quay quanh tâm o, trên đó có lắp con trượt Acách tâm o một đoạn O A=R Khi bánh răng chuyển động, con trượt Achuyển động dọc trên culít BCvà làm cho culít 25
26. qua lại quanh vị trí thảng đứng. Bánh răng chịu tác dụng của mômen M, còn culít chịu tác dụng của lực ngang F đặt tại c. Cho biết chiều dài BC = l . Hệ cân bằng tại vị trí ứng với các góc a và ự ? như hình vẽ. Bỏ qua ma sát và trọng lượng của các vật. a) Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu tại vị trí đang khảo sát. b) Tìm phản lực liên kết tại B. Đáp số: a) M = b) X b =F -Fỉ sin 2a cos(#? 4- a ) 1- 2sin#? Isin acos2a R sin (Ọ >Yb = - Fl sin2a cos R sin (p 1-47. Một cam đĩa lệch tâm quay quanh tâm o dưới tác dụng của ngẫu lực có mômen M làm cho cẩn dẩy AB chuyển động dọc theo phương thẳng dứng. Khi hệ cân bằng tại vị trí ứng với các góc av à /? như hình vẽ, tìm liên kết tác dụng lên cần đẩy AB. Cho biết độ lệch tâm o c = e. Đáp số: F M cos B 7 ’ NA esina M 3Msin/? M sinổ 7 > N E= — 7 ; ND= — 7. esina 2esina 2esina 1-48. Cam A là khối lăng trụ thiết diện tam giác vuông trượt được theo mặit phẳng nhẵn nằm ngang dưới tác dụng của lực F đẩy cần BC trượt thẳng đứng lên phía trên. Biết góc nghiêng của mặt cam là a. Tìm lực Q phải đặt vào cần trượt BC đỉể hệ có cần bằng. Đáp số: Q = Tcotga . 26
27. dé hé cán báng. Biét = CB = a. Hinh bái 1-50 Hinh bái 1-51 1-50. Tay don chiéu dái / tua tren góc cüa mót bác thang có dó cao h = r. Dé báy con lán bán kính r,trong luong P lén cao, ta tác dung váo dáu tay don mót theo phuüng tháng dúng. Giá thiét trong luong tay don khóng dáng ké va bó qua ma sát truca. Hay tim: a) Luc tác dung cüa con lán lén nén nám ngang, b) Tri só' cüa luc F dé con lán có thé nhá'c lén khói mát nén ngang. Dáp só': a) N= P - — F; b) F >— P . 2 r l 1-51. Cho co cáu máy ép nhu hinh ve. Dé ép vát, ngudi ta tác dung lirc F vuóng góc vói tay don OB lám cho cháy ép CD truot doc tren hai ránh truot CyD va ép xuóng vát tai E. Cho biét khoáng cách tir ducmg tám truc CD den diém O la a, khoáng 27
28. b, OA = é', =/. Tại vị trí cân bàng tay dòn OB nằm ngang. Tìm phản lực tại A,c, D và F. 2Pl Đáp số: NA = NE = — ; Nc = - N D e -Pl(2a + e) eb 1-52. Cho mô hình cơ cấu máy ép tay như hình vẽ. Lực F tác dụng vào đầu tay đòn OA sẽ truyền qua hệ các thanh CB, CD và CE dẩy đầu ép xuống dưới ép vào vật. Cho biết OA =a, OB = b, CB nằm ngang, CD/IOA. Tim lực ép xuống vật và ứng lực trong các thanh tại vị trí cân bằng của hệ ứng với các góc a và ß. Đáp số: r Fa cos ß - Fa = -- ; S = ; 0sin(a + /?) bcosa SC D - Fa cos ß bcosa sin(a 4 - ß) Fa 6sin(a + ß) Hình bài 1-52 1-53. Một chiếc kìm có cấu tạo và kích thước tiêu chuẩn tính theo mm như hình vẽ. Tác dụng lên cán kìm hai lực ngược chiều nhau có cùng độ lớn F. Tim lực tác dụng lên vật bị kẹp tại A. 1-54. Máy cắt kim loại có mồ hình như hình vẽ. Lực F đặt vào tay đòn OAB truyén lực qua thanh AC xuống dao cắt làm dao trượt thẳng đứng trên rãnh trượt và cắt xuống tấm vật liệu. Tim lực cắt tại đầu mũi dao. F(V3a + 26) Đáp số: ND 2a
29. CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Mômen của lực đối với một điểm và một trục Véctơ mômen rh0(F) của lực F đối với điểm o có phương vuồng góc với mặt phảng chứa điểm o và lực F, có chiều sao cho nhìn từ đầu mút của véctơ xuống mặt phẳng này ta thấy lực F quay quanh o ngược chiều kim dồng hồ, có trị số bàng Fd. Ta có công thức tính véctơ mômen dưới dạng: rh0(F) — f X F (2.1) Mômen của lực dối với một trục. Mômen của lực F dối với trục A là mômen đại số của lực F' đối với điểm o fnA(F) = fn0(F') = ±F'd'ì (2.2) trong đó: F' là véctơ hình chiếu của lực F lên mật phảng n vuông góc với trục A, 0 là giao diểm của trục A với mặt phang n, d' là khoảng cách từ o dến F Khi F //A hoặc khi F cắt trục A thì mA(F) —0. Véctơ mômen của ngẫu lực Mômen của ngẫu lực rh(F,F') (hoặc rà) có phương vuông góc với mặt phảng tác dụng của ngảu lực, có chiều sao cho nhìn từ đẩu mút véctơ xuống mặt phảng ngảu lực thấy chiều quay ngẫu lực ngược chiều kim dồng hổ, trị số m = Fd. 29
30. lực không gian về một tâm Véctơ chínhTỉ'của hệ lực không gian (có dạng: (fc = l Véctơ mômen c h ín h M 0 cùa hệ lực không gian (f đối với tâm o được xác định bởi: “ MƠ= Ẻ ™ X ) (2.4) ' Ả :— 1 Các hình chiếu của véctơ mômen chính lên các trục của một hệ tọa độ Decartes: M0x= XX (Fk ịMU y = XX ), Mơ2 = X JU 1 *= 1 *= 1 Định lý về thu gọn hệ lực không gian: Thu gọn hệ lực không gian về tâm o tùy ý ta được một lực và một ngẫu lực. Lực đặt tại o và được biểu diễn bởi véctơ chính của hệ lực. Ngẫu lực có véctơ mồmen bằng véctơ mômen chính của hệ lực đốivới tâm o. (Fv F2t...,Fn) = (R i,M 0) (2.6) Cân bằng của vật rán không gian tự do Điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn không gian tự do: R' = õ và M0 = õ (2.7) Các phương trình cân bằng: ¿x = ° . ỉx = ° ' ịx = ° - Jb = l J fe = l *= 1 = 0, X X ( F J = 0, ¿ m 2(FJ = 0. (2.8) *=1 k = l* = 1 Vật rắn chịu tác dụng của hệ lực không gian đặc biệt (đồng quy hoặc song song) có tối đa ba phương trình cân bằng dộc lập. Phản lực liên kết của một số liên kết khống gian Liên kết tựa. Vật rắn khảo sát tựa lên vật gây liên kết. Phản lực liên kết tựa có phương vuông góc với mặt tiếp xúc (trơn nhẩn), chiều hướng vào vật. Liên kết bản lề trụ(ổ trụ). Phản lực liên kết được phân tích làm 2 thành ph vuông góc với nhau đồng thời vuông góc với đường tâm trục. Chiều các thành phần lực chưa xác định. 30
31. cối(ổ cối). Phản lực liên kết gồm ba thành phần lực Z như trên hình vẽ. Liên kết bản lê cầu (khớp cầu). Vật chịu liên kết và vật gây liên kết có thể quay tưong đối với nhau qua tâm o của khớp cầu. Phản lực liên kết bản lề cầu đi qua tâm o, với phương chiều chưa xác định, khi tính toán thường được phân thành ba thành phần vuông góc với nhau như minh họa trên hình vẽ. Liền kết n g à m k h ô n ggian. Phản lực liên kết được phân tích làm 6 thành phần gồm: 3 thành phần lực vuông góc với nhau và 3 ngẫu lực tương ứng có mặt phẳng tác dụng vuông góc với 3 thành phần lực trên. Chiều các thành phần lực và ngẫu lực chưa xác định. Liên kết ngàm t r ư ợ t . Phản lực được phân tích làm 4 thành phần gồm 2 thành phần lực có phương vuông góc với nhau, dồng thời vuông góc với dường tâm trục và 2 thành phần ngẫu lực tương ứng có mặt phẩng tác dụng vuông góc với 2 thành phần lực trên. Chiều các thành phần lực và ngẫu lực chưa xác định. 31
32. Xe ba bánh trọng lượng p đồ trên mặt đường nằm ngang có kích thước và vị trí trọng tâm G như trên hình vẽ. Xác định phản lực từ đường tác dụng lên các bánh xe. Đáp số: n a = p =N 3p_ 8 2-2. Một hệ dàn gồm 9 thanh liên kết với nhau và liên kết với nền như trên hình vẽ. Nút A của hệ chịu tác dụng của một lực Fc ó phương song song với trục y. Xác dịnh ứng lực trong các thanh. Đáp số: F ~ ' ‘'3 s, =S2 = - ^ ; 5a =->/2 S4 = S7 = 0 5S=-5„ = | ; Sa = S9 = -F . b Hình bài 2-2 2-3. Một thiết bị dùng dể kéo vật gồm một trục quay được giữ thẳng đứng nhờ bản lề cối tại A và bản lề trụ tại B, đầu trục lắp tay quay CD vuông góc và đối xứng qua tâm trục, thân trục lắp tang tời bán kính r có quấn dây. Cho biết đoạn dây ngoài phần bị quấn vào tang tời có phương song song với trục X và có sức căng là 7 khoảng cách CD=2R, trọng lượng của toàn bộ phần quay là p. Tìm lực F tác dụng vào hai đầu tay quay theo phương vuông góc với mặt phẳng chứa tay quay và trục z để hệ cân bằng, phản lực tại A và B. Đáp số: f = I l . X _ J L . 2R' A a +b' A X B =— = 0 . = 0; ZA =P- Ể ỉ + b Hình bài 2-3 32
33. bì dùng để nâng vật gồm một trục nằm ngang có thể quay quanh hai ổ trục A và B, trôn dó lắp tang tời bán kính r có quấn dây dùng dể treo vật nặng, dồng thời tay quay CD được hàn chặt với trục. Xác định lực F tác dụng vào tay quay theo phương vuông góc với mặt phắng chứa trục y và CD để vật được giữ cân bằng tại vị trí tay quay nghiêng với phương thẳng dứng một góc 30°. Tìm phản lực tại A và B. Đáp số: Pr F = — ; X A ỉ Í3Pr 4 ì 2 X B = 3V3Pr 4 3T 2ĩ 2-5. Thiết bị tời nâng sử dụng bộ truyền đai gồm bánh dẫn bán kính r0 lắp trên trục AB liên hệ với bánh bị dẩn lắp trên trục CD thông qua một sợi đai. Bánh bị dán là một trục bậc có đường kính trục lớn là /?, đường kính trục nhỏ r, trên đó có quấn dây dùng để treo vật nặng như hình vẽ. Biết nhánh 1 của dây đai nằm ngang, nhánh 2 nghiêng với mặt phảng nằm ngang một góc 30°, sức căng của nhánh dây 1 lớn gấp hai lần sức căng nhánh dây 2. a) Tìm ngẫu lực M cần tác dụng vào trục bánh dẫn để trọng lượng p được giữ cân bằng. b) Xác dịnh sức cãng của hai nhánh dây dai và phản lực của ổ trục c, D. Đáp số: Pr a ) M = - ỷ - r 0 ; ,r _ P r rr _ 2Pr v _ -3(4 + Vã „ _ (3r + V ) 1 1 — —“ i 9 — —“ — Ị -A r — --- 7-- : / j r — ____7 Ị R R 10 10 _ K 4 + V3)Pr. „ _ (r + 3R)P D 5 R D 5 33
34. cấu như hình vẽ. Biết các kích thước a, r, /?, góc a và trọng lượng p. Tìm trọng lượng Q và phản lực liên kết tại A và B khi hệ cân bằng. Đáp số: < ? = — ; X A X B = Pcosa -APcosa _ P(R + 4rsina) i 3 3r v _ P(2iỉ - rsina) ’ " B - õ ■ 3r T O Z= cFj + aF2; my bF2; mz 2-8. Một khung không gian chịu tác dụng của hệ các lực bao gồm lực phân bô' hình chữ nhật cường độ q,lực F/, F2 và F3 có phương, chiều như hình vẽ. Xác định phản lực liên kết tại A, B và Đắp sổ: X a X + Ya =F2; ZB ^ - B 4 E t 2a ‘ òqa F,b F2 -2—+ — i- + — ; 4 2ữ 2 Hình bài 2-8 34
35. liên kết với nền thông qua khớp cầu tại A và được giữ bởi ba thanh tại các điểm B, c, D. Khung chịu tác dụng của hai hệ lực phân bố hình chữ nhạt như hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng của khung và các thanh. Tìm phản lực tại A và ứng lực trong các thanh. Đáp số: XA =2 q a; VA 2 ; ZA Sy = -qa s t = -qa ; S .J - -2qa . 2-10. Một tấm đồng chất hình chữ nhật, trọng lượng p, liên kết với tường nhờ hai khớp bản lề tại A và B, đồng thời được giữ nằm ngang nhờ thanh CD. Tìm phản lực tại A, B và ứng lực trong thanh CD. Đáp số: V3P „ 5 XA = 8 -5V3p ZA = 8 8 -P 8 s = - P . 2-11. Một tấm đồng chất hình chữ nhật, trọng lượng 2ỠỠN mắc vào tường nhờ gối cầu A và bản lề B và dược giữ cân bằng ở vị trí nằm ngang nhờ dây CE nghiêng 60° với đường thắng đứng AE. Biết đường chéo AC nghiêng 30° với cạnh AB. Tìm phản lực tại A, B và sức căng của dây. Đáp SỐ : T - 200 N Hình bài 2-10 XA = 50V3 N= 150 Hình bài 2-11 ZA - 100 N; XB= z u= 0 N; YÁ =150 N. 35
36. trọng lượng không đáng kê chịu lực F và được đỡ ở vị trí nằm ngang nhờ 6 thanh không trọng lượng như hình vẽ. Toàn hình có dạng khối lập phương. Tìm ứng lực các thanh. Đáp số: s , - -s3 =-S6 =F ; s2= -s4= 2-13. Một tấm trọng lượng không đáng kể có dạng tam giác vuông được giữ bởi 6 thanh và chịu tác dụng của các lực F và Q. Tìm ứng lực trong các thanh. Đáp số: ^1 “ “ F s* = F_ V 2: F - Q -Q ; s. = 0; 2-14. Một tấm đồng chất hình chữ nhật trọng lượng p được giữ bởi 6 thanh không trọng lượng như hình vẽ. Tìm ứng lực trong các thanh. Đáp số: s,= s s 36
37. quảng cáo được giữ bởi 6 thanh như hình vẽ. Biển mang trọng lượng p và chịu lực của gió Q tác dụng vuông góc với bề mặt. Tìm ứng lực trong các thanh. 2-16. Cột AB có trọng lượng p = 5kN cân bằng ở vị trí thắng đứng như hình vẽ. Thanh CD có trọng lượng nhẹ không đáng kể dược gán cứng với AB, CD song song với trục X. Hệ lực phân bố theo quy luật tam giác có phương thẳng đứng, cường độ tại c là qm ux - 30N/cm. Lực F - 1000N đặt tại B, phương của F song song với trục y. Cho biết các khoảng cách AE = EB = 2BC = CD = 120cm, các góc a = 45°, p = 60°. Xác định phản lực liên kết tại bản lé cầu A và ứng lực trong các thanh EK, EH. Đáp số: SE h = 4000 N ,S E K = -6 0 0 7 2 N .X A =600Af, YA = - 1 0 0 0 ZÁ ^ 966 2-17. Thanh AB đồng chất, chiều dài 2ữ, trọng lượng p được dựng vuông góc với tường nhờ gối cầu A và hai thanh (không trọng lượng) BC và BD. Vị trí của điểm liên kết giữa thanh với tường biểu diễn trên hình vẽ. Tìm phản lực tại A và ứng lực trong các thanh. 37
38. hình chữ L liên kết với tường thông qua bản lề cầu tại A Vì được giữ bởi 3 thanh. Khung chịu tác dụng của lực F theo phương thẳng đứng tạ trung điểm BC. Cho biết AB vuông góc với tường, BCIIADIIEF. Bỏ qua trọng lượig của khung và các thanh. Tìm phản lực tại A và ứng lực trong các thanh. X A = - Ặ ; Ya =(2 + V3)F; ZA = 0; SB D = SB E = & C F 2 F V3' 38
39. CỦA VẬT RẮN KHI CÓ MA SÁT I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Ma sát trượt Ma sát trượt t ĩ n h . Ma sát trượt được gọi là tĩnh khi giữa hai vật thể mới chỉ xuấ hiện xu hướng chuyển động trượt tương đối, nhưng chúng vẫn ở trạng thái cân bằng tương đối với nhau. Ma sát trượt động. Ma sát trượt được gọi là ma sát trượt động khi hai vật thể có chuyển động trượt tương đối với nhau. Định luậtCoulom b vềma sát trượt trượt tĩnh có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc, có hướng ngược với xu hướng trượt của vật và có độ lớn bị chặn trên FL< t*o*, (3-1) FL iiN Xu hướng chuyển động trong đó: N là phản lực pháp tuyến và /Jữlà hệ số ma sát trượt tĩnh. Định luật Coulomb về ma sát trượt tĩnh cho phép ta xác định điều kiện cân bằng của vật rắn trên mặt tựa có ma sát. Lực ma sát trượt tĩnh là một loại phản lực liên kết và có thể được tính toán từ các phương trình cân bằng tĩnh học. Định luậtCoulom b vềma sát trượt động. Lực ma sát trượt dộng có hướ với hướng chuyển động và có độ lớn : F L = nN, (3.2 ) trong dó: N là phản lực pháp tuyến và ụ. là hệ số ma sát trượt động. Ma sát lăn Ma sát lăn t ĩ n h . Ma sát lãn tĩnh xuất hiện khi giữa hai vật thể mới chỉ xuất hiện xu hướng chuyển động lăn tương đối (chúng vẫn ở trạng thái cân bằng tương đối với nhau). Ma sát lăn động. Ma sát lăn được gọi là ma sát lăn động khi hai vật thể có chuyển động tương đối là lăn. 39
40. vê ma sát lăn tĩnh. Ngẫu lực ma sát lăn tĩnh có chiều ngược với xu hướng lăn và có độ lớn bị chặn trên ML < k0N,(3.3) trong đó: N là phản lực pháp tuyến và k0 là hệ số ma sát lăn tĩnh. Định luật Coulomb về ma sát làn động. Ngẫu lực ma sát lãn động có chiều ngược với chiều chuyển động lăn và có độ lớn: M d m s = hN, (3.4) trong đó: N là phản lực pháp tuyến và k là hệ số ma sằt lăn động. Ngẫu lực ma sát lãn tĩnh là ngẫu lực liên kết thụ động. Ngẫu lực ma sát trượt động là ngẫu lực chủ động. Trong một số bài toán cân bằng của vật rắn, ta có thể phải tính đến cả lực ma sát trượt tĩnh và ngẫu lực ma sát lăn tĩnh. Trong một số mô hình cơ học, nếu phản lực pháp tuyến có chiều chưa xác định thì định luật ma sát trượt tĩnh và ma sát lăn tĩnh được biểu diễn dưới dạng: F L < to W l M L < k 0N cỏng thức Euler về ma sát trượt của dây Xét mô hình cơ học của dây vắt qua một trụ tròn như trên hình vẽ. Ta ký hiệu T{ và T2 là sức căng của hai nhánh dây, J U () là hệ số ma sát trượt tĩnh, ¡Ảlà hệ số ma sát trượt động và a là góc ôm của dây trên trụ. - Nếu Tị > T2, điều kiện để giữa dây và trụ không xảy ra trượt là: Tx < Tỵ«* (3.6) (Trong trường hợp có hiện tượng trượt tương đối, ta có quan hệ ĩ ; = T fT ). - Nếu Tj < T2, điều kiện để giữa dây và trụ không xảy ra trượt là: T2 < XỊe"0 “ (3.7) (Trong trường hợp có hiện tượng trượt tương đối, ta có quan hệ T2 = T1 e'“*). (3.5) 40
41. Ậ P 3-1. Một chiếc hòm có trọng lượng p dặt trôn nền nằm ngang không nhẩn. Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa hòm và nền là JLỈ(Ì. Tim lực F nhỏ nhất tác dụng vào hòm theo phương nghiêng với phương nằm ngang một góc a dể có the kéo hòm xê dịch. F Hình bài 3-1 Đáp số: H>p cosa + sin a 3-2. Một vật có hình dạng khối lập phương, đổng chất, trọng lượng p dược đặt nghiêng tựa trên tường và nền không nhẵn. Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa khối lập phương với tường cũng như với nền ngang là /J0 = 0,3. Tìm góc nghiêng a khi khối lập phương ở trạng thái sắp trượt. Đáp số: tga= ] — ^ L =— , a 28,3°. 1+ /J0 13 3-3. Một dầm đồng chất có chiều dài / và trọng lượng p được đặt nghiêng trên hai gối tựa Avà B. Đầu dầm bên phải treo vật nặng trọng lượng Q 2 Do lực ma sát trirựt tại A và B, dầm được giữ cân bàng ở vị trí nghiêng với phương ngang một góc a. Cho biết hệ sô' ma sát trượt tại Av à a) Xác định phản lực pháp tuyến tại A và B. b) Với giá trị nào của /xu thì thanh ở trạng thái sắp trượt? Đáp số: a) Na = 6,5Pcos a;N 0 = 9,5Pcosa; b) /Ju 16 Hình bài 3-4 Q 3-4. Một con lăn đồng chất trọng lượng p được giữ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng bằng một lực F tác dụng theo phương thắng đứng. Cho biết góc nghiêng cùa mặt phẳng so với phương ngang là a, hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lãn với 41
42. và bỏ qua ma sát lăn. Xác định F và /z0 theo p và a. , _ _ _ sin <2 Đáp số: F = p --; /J0 > tga. 1- sin a 3-5. Tìm lực F cần thiết theo phương thẳng đứng phải đặt vào con lăn đồng chất trọng lượng p để con lăn ở trạng thái sắp chuyển động. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lăn với tường thẳng đứng cũng như nền ngang là ¿¿0. Bỏ qua ma sát lăn. Đáp số: F = p _^ọíL±ifaL. 1■ + ■/i0 “Ị ” 2/i0 3-6. Một con lăn hai tầng trọng lượng tầng trong bán kính rđ ược quấn quanh bằng một sợi dây mềm (đầu dây nối cố định với tường) tầng ngoài bán kính R đặt trên mặt phẳng nghiêng. Cho biết góc giữa mặt phẳng nghiêng so với phương ngang là a,phần dây nối giữa tường với con lăn song song với mặt phẳng nghiêng. Bỏ qua ma sát lãn. a) Khi con lãn đứng yên, xác định sức căng của dây và lực ma sát giữa con lăn với nền. b) Tìm hệ số ma sát trượt ,Uịi giữa con lăn với mặt phẳng nghiêng để không xảy ra hiện tượng trượt. / ĩ T Đáp số: a) T = —— —p sin a ; Fm t = —-— R-r R - r P sina; b) J U 0 —- - 3-7. Một cam đĩa lệch tâm đặt ở vị trí nghiêng với phương nằm ngang một góc a. Tìm độ lệch tâm e nhỏ nhất sao cho dưới tác dụng của lực F, tại điểm tiếp xúc B nhận được một phản lực pháp tuyến có độ lớn N. Biết rằng hệ số ma sất trượt tĩnh giữa cam với nền là /4). Bỏ qua ma sát lăn. Fl N ụ°r Đáp số: e = — ---- . cosa - /J0sin a 42
43. tời kéo sử dụng bộ truyền bánh răng lắp trên hai trục A và B. Bánh răng 1 có bán kính vòng lăn r{ăn khớp với bánh răng 2 có bán kính vòng lăn R2. Góc ăn khớp của hai bánh răng là a. Bánh răng 2 gắn với tời kéo có bán kính r2, trên tời quấn dây dùng để kéo vật nặng trọng lượng p trên mặt phẳng nghiêng góc p so với phương nầm ngang. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa vật với mặt nghiêng là ju(h díiy kéo vật song song với mặt nghiêng, bỏ qua trọng lượng của các bánh răng. a) Tìm trị số mômen cần thiết M của ngẫu lực tác dụng vào bánh răng 1 để vật nặng ở trạng thái sắp trượt lên cao. b) Tìm phản lực tại ổ trục B Đáp số: a) M = Pr,r2(sin p + //ọCosyg) Ạt b) X B - P(sin +/j0cos/3) Y¡J = P(sin p + /J0cosậ) r2sin a Recosa sin p - cos 3_ R, 3-9. Tấm phẳng Ađặt trên nền nằm ngang, trên tấm đặt hai vật nặng và được nối với nhau bằng một sợi dây. Trọng lượng của tấm A là PA, trọng lượng của vật và lần lượt là PRvà pc.Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa tấm A với vật B, vật c và với nền lần lượt là /Jm, /J()2 và /J()V Tìm lực tác dụng theo phương ngang vào vật B để hệ ở trạng thái cân bằng. Hình bài 3-8 F ' ■ > B /-S c A kk) M 02 Hình bài 3-9 Đáp số: F < min Poì^{b + M o Á P A + p u 3-10. Một con lăn trọng lượng p dặt trên một nêm có trọng lượng Q và được giữ bởi một sợi dây nằm ngang như hình vẽ. Cho biết góc nghiêng của nêm là a. Tim hệ số ma sát trượt tĩnh giữa nêm với mật phẳng ngang //,,] và giữa nêm với con lăn /4,2 để hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát lăn. Đáp số: /4), > P sin a (P + Ọ)(l + cosa) ’}°2 sin a 1+ cosa Hình bài 3-10 43
44. đổng chất trọng lượng Q, chiều dài / dặt trên một con lăn đổng chất trọng lượng bán kính r.Thanh được liên kết với nền bởi bản lề tại A và nghiêng với phương nằm ngang một góc a. Tìm hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lăn với nền /Jm và giữa con lăn với thanh /um dể hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát lãn. Đáp số: Hình bài 3-11 p 2r 2 O L a -1 a A I --cotg —+ cosa cotg — Q l 2 2 ; m> 2 * cosa cotg — L 2 J 3-12. Một khung trọng lượng không đáng kể được lổng vào một trụ đặt thẳng đứng không nhẩn có bán kính mặt ngoài là r .K hoảng cách giữa hai vòng tròn trên khung là b. Tìm hệ số ma sát trượt /tị, giữa khung với trụ để khung không bị trượt khi chịu ^{tác dụng của một lực F thẳng đứng có dộ lớn tùy ý đật cách tâm trụ một đoạn là a. Đáp số: //u >} -. La Hình bài 3-12 3-13. Một vật trọng lượng Q được giữ chặt trên tường nhờ một thanh đồng chất trọng lượng pđặt nghiêng với phương ngang một góc a. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa vật với thanh là và giữa vật với tường là a) Tìm trọng lượng cho phép của vật nặng để hệ cân bằng. b) Tìm điều kiện với góc a để xảy ra hiện tượng tự hãm. Đáp số: a ) Q < p / tfn + — ; b) tga < P01. 2 (tg a - ^ 01) 44
45. cơ cấu kẹp như hình vẽ. Tìm hệ số ma sát trượt tĩnh ỊẨ ị) giữa má kẹp với vật nặng dể cơ cấu có thể nhấc vật trọng lượng p tùy ý lên cao. ... . . bd Đáp sô: /¿y > - . ac + be 3-15. Một thiết bị kẹp giữ vật A gồm hai chặn kẹp cố định có góc nghiêng a và hai con lãn cùng kích thước, cùng trọng lượng p. Nhờ ma sát mà vật A bị giữ chặt giữa hai con lăn. Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa con lăn với chặn kẹp cũng như với vật A là /i0. Bỏ qua ma sát lăn. a) Tim trọng lượng Q của vật A đế hệ cân bằng. b) Với giá trị nào của ¿4)thì hiện tượng tự hãm xảy ra? Đáp số: a) Q < 2/Ầ Qsin a cosa - /U Q (1 + sin a) P b) //„ 2: cosa 1+ sin a 3-16. Cho mô hình cơ cấu phanh tay như hình vẽ. Để hãm bánh phanh o dưới tác dụng của một ngẫu lực có mômen bằng M, người ta dặt một lực vào đầu tay đòn làm cho má phanh ép vào bánh phanh tại Biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa má phanh với bánh phanh là /V Các kích thước của hệ cho trên hình vẽ. Tìm trị số F của lực dê cơ cấu cân bằng trong hai trường hợp: a) Mômen Mn gược chiều kim dồng hồ. b) Mômen M thuận chiều kim dồng hồ. Đáp số: a) F > —-— _ ° ' ; b) F >— - Mo I Rm JR 45
46. cấu phanh tang trống gồm một tang trống có thể quay quanh tâm o cố định và hai má phanh có thể quay quanh hai bản lề cố định tại A và B. Tác dụng lực đẩy F vào hai đầu má phanh sẽ làm cho má phanh ép sát vào tang trống và tạo ra mômen phanh. Cho biết hệ sô' ma sát trượt giữa má phanh và tang trống là ỊU . Xác định mômen phanh tạo ra trong quá trình phanh. Đáp số: M - — J Fa. 25 - 16/r2 Hỉnh bài 3-18 3-18. Cho cơ cấu cam cần đẩy, đáy bằng chịu tác dụng của lực tại D theo phương nghiêng với phương thẳng đứng một góc a. Dưới tác dụng của ngẫu lực có mômen là M, cam quay quanh trục o sẽ đẩy cần chuyển động tịnh tiến theo rãnh trượt thẳng đứng. Cho biết hệ sô' ma sát trượt giữa cần đẩy với cam là /4,1 và giữa cần đẩy 46
47. là /J()2 ' Tại vị trí như trên hình vẽ, xác định mômen cần đặt vào cam đế cần đấy ở trạng thái sáp trượt lên cao. Đáp số- M= 2 a F (e ± Poi& )(Po2sin « + 008 a) ■ 2 a- jL ioĩ(e - 2ựm a) 3-19. Lực nằm ngang F đặt vào nêm A làm cho nó có xu hướng trượt và dẩy nêm B lên cao theo máng trượt nghiêng góc a với mật nằm ngang. Góc nghiêng của mặt tiếp xúc giữa hai nêm là ß<90°. Cho biết hệ số ma sát tĩnh giữa hai nêm là /4,. Tìm lực Q phải tác dụng dọc nêm B để có cân bằng và điều kiện xảy ra tự hãm. Đáp số: Q > p[sin(a + ß)+ ^{ijC os} + /?)] sin ß + /r0cosyỡ sin(a + ß) < ß0cos(a + F 3-20. Vật nặng trọng lượng p gắn trên bể mặt của một dây băng dẹt được giữ cân bằng trên mặt cong nhám (có dạng một phần tư cung tròn) tại vị trí vật nằm trên đường thẳng đi qua tâm cung tròn và nghiêng với phương thẳng đứng một góc a nhờ một lực tác dụng vào đầu kia của sợi dây. Cho biết hệ sô' ma sát tĩnh giữa mặt cong với dây là /4,. Tìm trị số F của lực. Đáp số: Pc (sin a —/ruco sa) < F
48. số: a) F >— ; b) /•’ > — --- ,với Ĩ7T/ 6. ‘ l(ew’ -1 ) /(e''"n -1 ) 3-22. Một chiếc tời dùng dể kéo thả dây cáp khi di chuyển ô tô trong quá trình sửa chữa có cấu tạo gồm dầu tời dược truyền động thông qua một động cơ điện. Một sợi dây cáp quấn vài vòng xung quanh đầu tời, một đầu nối với thân xe, một đầu giữ bằng tay. Cho biết lực kéo ô tô lúc đó là |, số vòng dây cáp quấn quanh đầu tời là nv òng, hệ số ma sát giữa tời và cáp là /4). Tìm lực giữ bằng tay F2 tại đẩu dây để khi động cơ quay, thì tời sẽ kéo ô tô chuyển động. Đáp số: F2 > F,e 2"n # 3-23. Thiết bị tời kéo sử dụng bộ truyền đai gồm bánh dẫn bán kính / ị, bánh bị dẫn bán kính R2, tang tời bán kính r2 gắn với bánh bị dẫn, vật nặng kéo trượt trên mặt phẳng nghiêng. Cho biết góc nghiêng của mặt phẳng là dây kéo vật song song với mặt nghiêng, hệ sổ ma sát trượt giữa dây đai và các bánh đai là /Ẩ uu giữa vật và mặt phẳng là fiin. góc ôm là a. Giả thiết bán kính r < Ạị. Để hạn chế trượt giữa dây đai và bánh đai, dây đai dược căng với sức căng ban đầu là T{ ) . Tìm ngẫu lực M tác dụng vào bánh dẫn và sức căng T{ )để vật nặng đứng yên trên mật phẳng nghiêng ở trạng thái sắp trượt lên cao. Đáp số: M — Prĩ'2(sin ¡3+ /i02cos/3) r 2 . r p > M(e*'a + 1) ’ 0 “ 2r1(e*lQ - 1 ) ' 3-24. Một chiếc xe lu dang chuyển động trên đường thì bị phanh bằng một lực vừa đủ F tác dụng lên cánh tay đòn khiến xe dừng ngay tại chỗ. Khi đó dây đai vắt qua một bánh trụ nhỏ bán kính rg ắn cứng với bánh xe sẽ bị kéo cãng v tì sát vào bánh xe bán kính R. Cho biết hệ số ma sát trượt giữa dây đai và bánh trụ 48
49. má phanh với bánh xe là ụm. Bỏ qua khối lượng của cánh tay đòn và dây dai. a) Tính sức căng của dây dai trên nhánh 1và 2. b) Tính toán lực pháp tuyến tại điểm tiếp xúc giữa má phanh với bánh xe. c) Tính toán lực ma sát giữa bánh xe và mặt đường. Bỏ qua ma sát lăn. 2 2 _ 4r Đáp số: a) T, - - F ; T2 =- ẻ F b) = — — - F 1 3 2 3 3(A/r02+ r ) c) F = / TU.S 2r . — —(e2 3R l) + 7 4r 3(A//02 + M oĩe 2W n F. 3-25. Một con lăn trọng lượng p, bán kính /? dược đặt trên nén nằm ngang. Một sợi dây nối tại tầm con lãn, vắt qua ròng rọc và đầu kia treo vật nặng trọng lượng Q. Cho biết giữa con lán với nền có hệ số ma sát trượt tĩnh là /4, và hệ số ma sát lãn tĩnh là k0, đoạn dây CB nghiêng với phương ngang một góc a. Tìm trọng lượng Q để hệ cân bằng. Đáp số: Q < min ' Ịk p Kcosa + /Ấ Qsina Kp Rcosa + ks in a J 3-26. Một con lăn hai tầng trọng lượng p, tầng trong bán kính r, được quấn quanh bằng một sợi dây mềm (đầu dây dược giữ cố định), tầng ngoài bán kính R dặt trên mặt phẳng nghiêng (góc nghiêng à). Cho biết phần dây không bị quấn vào con lãn song song với mặt phảng nghiêng, giữa con lăn với nén có hệ số ma sát trượt tĩnh là /4) và hệ số ma sát lãn tĩnh là k0.Tìm điểu kiện của a để con lã bằng trên mặt phẳng nghiêng. „ , (r + R)un +kn Đáp sô: a < arctg -^-2- 2-. r Hình bài 3-27 49
50. phẳng trọng lượng pđ ặt nằm ngang trên hai kính R, trọng lượng Q được lắp trên hai trục A và B. Cho biết giữa tấm và quả lô có hộ số ma sát trượt tĩnh là /4; và hệ số ma sát lãn tĩnh là Tại vị trí đang xét, trọng tâm c của tấm cách trục A một đoạn a, cách trục B một đoạn b (b > a ). Xác định ngẫu lực M tác dụng vào quả lô lắp trên trục A để tấm phẳng ở trạng thái bắt đầu chuyển động không trượt trên hai quả lô. p Đáp số: k0P = M <—— [kữ(b +k0) +/J0R(a - 0 + 6 50
51. VẬT RẮN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Còng thức xác định trọng tâm vật rán Địnhnghĩa về trọng tâmvật rắn.Trọn thức tổng quát: trong đó: p là trọng lượng của vật rắn, fc là véctơ định vị trọng tâm c của vật. Chiếu véctơ fc lên trục tọa độ Oxyz nhận được: xc = ị ị x d P , yc = ị [ y d P , zc = ị ị z d P (4.2) •* B * 0 B Khi vật rắn được xem như ghép lại từ các vật khác nhau, mỗi vật mang trọng lượng pk và có vị trí trọng tâm r . Trọng tâm của vật ghép được xác định bởi công thức: (4.6) Vật bị khuyết thì được xem như là vật nguyên ghép với phần khuyết có trọng lượng âm. 51
52. đồng chất có mặt phẳng (trục, tâm) đối xứng thì trọng tâm của nó nàm trên mặt phẳng (trục, tâm) đối xứng đó. Nếu vật rắn đồng chất có nhiéu mặt phẳng đối xứng thì trọng tâm của vật rắn nằm trên đường giao của các mặt phảng đối xứng đó. Nếu vật rắn đồng chất có nhiều trục đối xứng thì trọng tâm của vật rắn nằm tại giao điểm của trục đối xứng đó. Một số quy tác xác định trọng tâm của vật rán dồng chất và dối xứng Các công thức Guldin Công thức tínhdiện tích m ặxoay Diện tích của mặt tròn xoay sinh ra bởi đường cong phẳng quay quanh một trục dồng phẳng A không cắt nó bằng tích chiều dài đường cong với chiều dài đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của đường cong quay quanh trục A. A = 2nrcL, (4.7) trong đó L là chiều dài đường cong, rc là bán kính đường tròn tạo ra bởi trọng tâm c của đường cong trong chuyển động quay quanh trục A. Công thức tính thể tíchkhối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay V sinh ra bởi hình phảng quay quanh một trục đổng phẳng A và không cắt nó bằng tích giữa diện tích hình phảng và chiều dài đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của hình phẳng quay quanh trục A (xem hình vẽ). V = 2ĩtrcA , (4.8) trong đó A là diện tích hình phẳng, rc là bán kính đ tâm c của hình phẳng trong chuyển động quay quanh trục A. 52
53. Ậ P 4-1. Xác định trọng tâm của hệ thanh đồng chất, cùng thiết diện và vật liệu. c) xc — -6(6 +2c) a(a 26 + 2c) Vc d ) xc = 2(u + b + c) 2(a +b +c) a(l + 2V2) z0 2{a+ 6 + c) 6(1+ V2) ' 53
54. trọng tâm của các tấm phảng đổng chất sau: Đáp số: a) xc 25 26 „ 8 t1 m 2 1+ — - - —- a 25 a 25 a j b) xc= 0; yc = 1 - 1 Ị 13 a 399a 50 32 ?/„ = — a c 13 1 + 5 t 1 í t 64 a 64 Va 1 1 t ~ 13 ã 12la 13 4-3. Xác định trọng tâm của các tấm phẳng dồng chất sau: x _ 4r -2 a) xr - yr - -— ; b) -yr = - -— . c yc ‘ ÌTÌ 3(4 + 3/r) a (-128 + 9 ^{-4 7 2 ) , 0,.„ . a(-128 + 15}--4V2) c) xr = ———— --- « 1,366a ; ^ = —- — ---- w c 6(— 16 + 7ĩ) c 6(-16 + 1,122a 54
55. định trọng tâm của các tấm phẳng đổng chất sau: Hình bài 4-4 Đáp số: a) xc =0; yc b) xn - -an 4(16 - k ) h(2ah - 3nr2) 6(ah - 2nr2) ; y0 =o. ‘ 2 (68-3/r)a (56~3/r)a c Xfí = — 3(20 - ~ỉĩ) ; Vc3 ( 2 Õ ^ T „ a(-865 + 36tt) r a(-485 + 42«-) d) xn « —— — — --- = 5,516a ; yn = "4—— —-- - 6(-29 + 2/r) 3(-29 + 2;r) 5,180a 55
56. tâm của tấm đồng chất giới hạn bởi các đồ thị cho trên hình vẽ a ) Hình bài 4-5 Đáp số: a) b) Xç c) xc d) xc 3 3. r : y' 8 Ò' — a; yc =~b. 10 4 12 - n2 n Vc = 3(4 - x) 0; yc = 5 6(4 - ) 56
57. trọng tâm của bán cầu rỗng bề dày không đáng kể và bán cầu đặc đồng chất có cùng bán kính R. bài 4-6 y Hình Đáp số: a) x= = 0; b) xc= yc= 0; 4-7. Xác định trọng tâm của các khối dồng chất có kích thước như hình vẽ. Đ áp số: 56 5 a) xc = a yc =-jr 6 6 b) xc ~ Vc ~ 49a ~38' c) X, = yc = 0; 2C = 11h Ts” ' d) xc = yc =0; zc = 3(r4 - 26zn ) 4(2r 3 +36i?2) 57
58. thức Guldin xác định: a) Diện tích của mặt tạo bởi đường thảng quay quanh trục À. b) Diện tích của mặt tạo bởi đường tròn quay quanh trục A. c) Thể tích của khối tạo bởi tấm phẳng hình thang quay quanh trục A. d) Thể tích của khối tạo bởi tấm tròn quay quanh trục A. Hình bài 4-8 Đáp số: a) A =3/rrVr2 + /i2 ; b) A= 8;r2r2; c) V 3 4-9. Dùng công thức Guldin xác định trọng tâm của nửa đường tròn và nửa tấm tròn tâm o bán kính R. rv< _ 2 R 4 Đáp số: a) xc =— - ; yc= 0. b) ; 0. n 3*- 58
59. CỦA ĐIỂM I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vận tốc và gia tốc của điểm Véctơđịnh vị: f = f { t ) Vận tốc cùa điểm: V = — T d t n .. . . ,- _ d 2f Gia tốc của điém: ả = — ——T r á t d i 1 Tọa độ Descartes X = x ( t ) , y = y ( t ) , z z ( t ) r = xẽx + y ẻ v + V = x ẻ z+ ỷ ẽ y + z ẽ t ả = X ẻ x+ ý ẽ v + z ẽ t Tọa độ cực (quỹ đạo phảng) f - r(t)ẽr, ự) =
60. chất của chuyến động - Chuyển động đều: aT =0, chuyển động biến đổi: a ' ^ 0 ; - Chuyển động thẳng: a n = 0, chuyển động cong: 0; - Chuyển động biến đổi đều: a r hằng số; - Chuyển động cong đều: an hằng số. II. BÀI T Ậ P 5-1. Xác định phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm nếu phương trĩnh chuyển động của điểm dưới dạng tọa độ Descartes được cho như sau: a) X — + 2 y = 3 - 13 Trong đó các tọa dộ X, y tính bằng em', biến thời gian t tính bằng giây. b) X =l Ocos — t 5 y =10 sin — í y 5 Đáp số: a) X + y= 5, V = 3í2V2, a = 6tyÍ2 b) X2 + y 2 = 1 0 0 , V = 4 /r,a = 1,6 60
61. tô A và B đang ở vị trí kế tiếp nhau và chuyển động thẳng cùng một hướng. Xe A đang có vận tốc v ĩ và bắt đầu chuyển động chậm dần dều với gia tốc a v trong khi xe B vẫn giữ vận tốc v2 không đối. Iỉãy xác định khoảng cách d giữa hai xe tại thời điểm xe A dừng lại. Đáp số: d = 2^ 2 - ‘ 2 5-3. Xe ồ tồ chuyển động trên đường thẳng có vận tốc thay dổi theo quy luật V = 3t2 + 21 m/s, trong đó t được tính bằng giây. Hãy xác định gia tốc của xe và quãng đường s xe di được sau 3 s. Cho biết khi t = 0 thì s = 0. V t = 0 Hình bài 5-3 Đáp số: Gia tốc a = 20 m/s; s = 36 m. 5-4. Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng xuống nước với vận tốc ban dầu vồ = 60 m/s. Khi chuyển động trong nước, viên đạn chuyển động chậm dần với gia tốc a = - k v 3(m/s2) trong đó hộ số k = 0,4 và vận tốc của viên đạn V được tính bằng m/s. Hãy xác định vận tốc của viên đạn và khoảng cách viên đạn đi được tại thời điểm t = 4 s sau khi bắn. Đáp số: V 0,559 m/s; s 4,43 m. 5-5. Quỹ dạo của điểm p trên mặt phẳng được xác dịnh bởi phương trình y 2 = 4kx. Cho biết hình chiếu vận tốc của điểm p trên trục y là vy = /3t với k, 0 là các hằng số. Hãy tìm các thành phần gia tốc của điểm p. Đáp số: ax= + y)ay= /3. ¿K 5-6. Điểm p chuyển động trên đường thẳng có vị trí được xác định bởi phương trình Sp - at3 + b t2 + ct, trong đó Sp được tính bằng cm và t bàng giây. Cho biết các hệ số tt = 1, b = -9, c = 15. Hãy xác định giá trị lớn nhất của vận tốc và của gia tốc điểm p trong khoảng thời gian 0 < t < 10 s. Đáp số: v ỊỊmx = 135cm/s; aỉn H X= 42cm/s2. 5-7. Xe c chuyển động theo một dường tròn bán kính R = 90 m từ trạng thái dứng yen. Cho biết cứ sau một giây, vận tốc của xe lại tăng lên 2m/s. Hãy xác dịnh khoảng thời gian để gia tốc của xe dạt được giá trị 2,4 m/s2. Tính toán vận tốc của xe khi dó. Đáp số: T w 5,46 s; V « 10,93 m/s. 61
62. 5-7 Hình bài 5-8 5-8. Xét một hạt vật liệu A đứng yên trên một băng tải vật liệu, bãng tải chuyển động đều. Các kích thước trên hình vẽ được tính bằng mét. Hãy xác định vận tốc v0 của băng tải để hạt vật liệu có thể rơi lọt vào khe chứa BC. Đáp số: 4,698 < v0 < 7,233 m/s. 5-9. Một bao vật liệu trượt trong ống dẫn và đạt vận tốc v0 12m/s theo phương ngang khi ra khỏi miệng ống. Độ cao của miệng ống so với sàn là = 6 m. Hãy xác định khoảng thời gian dến lúc bao chạm vào mặt sàn và khoảng cách d tính theo phương ngang từ miệng ống đến điểm rơi B. Đáp số: T se 1,11s; d .«13,3 m. 5-10. Điểm p chuyển dộng theo quỹ dạo parabol / a)2. Cho biết quy luật ip =arctan U)0t trong đó V ? là góc giữa trục X và véctơ định vị của điểm p như hình vẽ, a, b, c J0 là các hằng sô' cho trước. Hãy xác định biểu thức vận tốc của đi p, trị số vận tốc của điểm p khi đạt tới vị trí điểm B. Đáp số: V = ^{2- yịĩ + ĩ ũ ỹ;p = B: Vp =}-^2-./1 + 4-77 0 V 62
63. chuyển động trong mặt phảng Oxy, gia tốc của điểm có hình chiếu trên hai trục là a = 4 cm/s2và a = 2£ cm/s2. Cho biết khi t = 0 điểm nằm tại gốc tọa độ, khi t = 2 s thì véctơ vận tốc của điểm tạo với trục X một góc 45° và có trị số V - I2V2 cm/s. Hãy xác định phương trình chuyển động của điểm. Đáp số: X —2t2 + í = f + 8 Í . 5-12. Xác định phương trình chuyển động của điểm M dưới dạng tọa độ tự nhiồns = s(í) nếu biết phương trình chuyển động của M dưới dạng tọa độ Descartes như sau: a) X — 3í2 + 5, y =4í2 + 3 b) e1cos í, sin Đáp số: a) s =5í2, b) s= V3 (e1- l) 5-13. Tay quay OA của cơ cấu tay quay - con trượt chuyển động theo quy luật
64. góc Ớ J = 0,27rsin(50í); ỡ2 = 0,27Tsin(50í —7r/3)rad. Hãy xác định các biểu thức vận tốc, gia tốc của điểm cuối c là hàm theo Đáp số: xc = X+ ¿,0]cosớ, + ¿ 2 (6 ? , + ớ2)cos(ỡj + 02),ỳc sinớ, + ¿2(0, + ớ2)sin(ỡj xc = X+ ¿ J Ớ Jcos ớ, + ¿ 2 (ớ, + ớ2)cos(ớ, + ỡ2) —¿ J 0,2sin Ỡ J —¿ 2(ớ, + ớ2)2sin(ớj + 02) ýc — LịO ysin 9ị ¿2(^{1T 02)sin(ớj T ớ2) -Ị-/ịớ ị C O SỚ Ị T ¿2(} 1 T ^{2) ,ưos(ỡj " 1 “ớ2). 5-15. Xe ôtô B chuyển động theo một đường tròn có bán kính và được quan sát bởi một người đứng tại vị trí điểm A như hình vẽ. Góc quan sát ip = íp(t) là góc giữa bán kính ngang và đoạn AB. Hãy xác định các biểu thức vận tốc và gia tốc của xe là hàm theo 9?, < p vạ ip. Đáp số: V = — 2 p tp s 'u u p ẽ r + 2 p (fic o s < p ẽ ifi, ã = — 2yơ(ỹjsin 2cos<£>)ểr + 2p(tpcos- 5-16. Một rôbốt mô tả trên hình vẽ được điều khiển để bàn kẹp A chuyển động theo một quỹ dạo định trước. Trong khi tọa độ 2 và góc quay thay đổi theo quy luật 9 =0, 5t (rad) và 2 = 3sin 49 (cm), khoảng cách = 90 cm được giữ không đổi. Hãy xác định vận tốc và gia tốc của bàn kẹp tại thời điểm í = 3 s. Đáp số: VA « 45,37 cm/s; a A22,75 cm/s2. 5-17. Sử dụng hình vẽ của bài 5-16. Quỹ đạo của bàn kẹp A dược xác định theo quy luật 9 =0,5£ (rad) và 2 - 4í2 (cm), vận tốc = 15cm/s là hằng số. Hãy xác định vận tốc và gia tốc bàn kẹp tại thời điểm 3 s với khoảng cách r = 90 cm. Đáp số: VA ss 53,16 cm/s; aA Âí 28,20 cm/s2. 64}
65. c ơ BẢN CỦA VẬT RẮN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chuyển động tịnh tiến của vật rán Khi vật rắn thực hiện chuyển động tịnh tiến, mọi điểm thuộc vật có quỹ đạo chuyển động giống nhau, vận tốc của các điểm thuộc vật bằng nhau, gia tốc các điểm bằng nhau. Chuyển động của vật rắn tịnh tiến dược khảo sát theo mô hình điểm (đã trình bày trong chương 5). Vận tốc và gia tốc góc của vật quay quanh một trục cố định - Quay chậm dần đều: < 0 hoặc 0 65
66. + ^0 (Ể- 0 “ 2 £° “ ^o)2 (6-7) Trong đó u;0 = a/(í0)> < /> „ = (¿> (í0). Vận tốc và gia tốc của điểm p thuộc vật w (0 = u ữ - e 0 ( t - t ữ) Các hệ truyền dộng cơ khí đơn giản Truyền động bánh răng Truyền động bánh răng 66
67. và II. BÀI T Ậ P 6-1. Một bánh đà chuyển dộng quay nhanh dần đều từ trạng thái tĩnh. Tại thời điểm í, = 20 s kể từ lúc khởi động, bánh đà đạt tốc độ quay n lOOOvòng/phút. Biết bánh dà có đường kính d =60 cm, hãy xác định: a) Gia tốc góc của bánh đà b) Sô' vòng quay được của bánh đà sau í2 = 30 s c) Vận tốc và gia tốc của điểm M trên vành bánh tại thời diểm ¿3 = 1s kể từ lúc khởi động. Đáp số: a) é = Õ 7 T/ 3, b) N= 375 ,c )v M = 157,1 cm/s; aM 837, 6-2. Đĩa tròq bán .kính 45 cm quay nhanh dần đều từ trạng thái đứng yên với gia tốc góc £ =6 rad/s2. Hãy xác định vận tốc và gia tốc của điểm A trên vành khi đĩa quay được = 8 vòng. Đáp số: VA « 11,05 m/s; aA Âí 271,45 m/s2. 6-3. Vận tốc góc của đĩa tròn được xác định bởi quy luật L ừ =5í2 -ị- 2 (rad/s) với t tírih bằng giây. Cho biết bán kính của đĩa R -80 cm, hãy xác định vận tốc và gia tốc của điểm A trên vành đĩa tại thời điểm t =0,5 s. Đáp số: VA =2,6 m/s; aA ss 9,35 m/s2. Hình bài 6-2, 6-3 6-4. Vật quay quanh trục cố dịnh theo quý luật góc quay ip(t) = 1,5 —4í (rad), trong đó t dược tính bằng giây. Hãy xác dịnh: 67
68. của chuyển động ở các thời điểm íj = 1s và í2 =2 s. - Vận tốc và gia tốc của điểm A cách trục quay một khoảng íỉ = 0,2m tại hai thời điểm trên. Đáp số: Tại í = ls, vật quay chậm dần. = 0,2m/s, aA ~ 0,633m/s2. 6-5. Đĩa A quay nhanh dần theo chiều kim đồng hồ với gia tốc góc £= 0. Gí2 + 0,75 (rad/s2), t tính bằng giây. Cho biết vận tốc góc ban đầu của đĩa là u0 =6 rad/s, bán kính r - 0,15 m. Hãy xác định vận tốc và điểm t = 2 s. Đáp số: vu — 1,365 m/s, aB « 0,473 m/s2. 6-6. Thanh răng 1 chuyển động theo phương ngang theo quy luật sin kt với x0 và k là các hằng số. Thanh răng truyền động cho cặp bánh răng 2-3 lắp cứng trên cùng một trục, bánh răng 3 ăn khớp với bánh răng 4 có gắn kim. Cho biết bán kính các bánh răng tương ứng là r2,r3 và r4, hãy xác định góc của kim. Tại t =2s, vật quay nhanh dần. VA = 0,4 m/s, 1m/s2. Hình bài 6-4 ŨB Hình bài 6-5 T Đáp số: = - Hình bài 6-6 68
69. nâng chuyển động từ trạng thái tĩnh khi s= 0. Bánh đai A nhận được một gia tốc góc hằng số £0 = 6 rad/s2. Bán kính của bánh đai A là rA = 5cm. Bánh đai c gồm hai tầng, tầng trong có bán kính rc =7,5 cm và tầng ngoài có bán kính Rc = 15cm. Hãy xác dịnh vận tốc của vật nâng B tại thời điểm khoảng cách s = Sj = 6m. Đáp số: Vg « 1,34 m/s. 6-8. Động cơ A có tốc độ quay n = 960 vòng/phút. Để truyền chuyển động từ động cơ đến trục tời B, nguời ta sử dụng một hộp số bánh răng hai cấp như hình vẽ. Cho biết sô' răng của các bánh răng là .Zj =15, Z2 = 60, = 20 và Zị = 80. Tời B có đường kính d -300 mm. Hãy xác định: a) Tỷ sô' truyền của hộp số b) Sô' vòng quay/phút của tời B c) Vận tốc của vật nâng c. Đáp số: a) i = 16; b) nB = 60vòng/phút; c) vc « 94,25cm/s. Hình bài 6-8 6-9. Bộ truyền bánh răng côn có thể truyền chuyển động quay quanh hai trục vuông góc như hình vẽ. Bánh rãng cồn 1 chuyển động nhanh dần từ trạng thắi đứng yên với gia tốc gốc không đổi £j = 2 rad/s2. Cho biết bán kính vòng lăn của hai bánh răng là /?] = 5cm, /Ị, = 9cm. Hãy. xác định khoảng thời gian cần thiết để bánh rãng côn 2 đạt được vận tốc góc u2 = 50rad/s. Đáp số: T = 45 s. 69
70. cấu cam cần đẩy-đáy bằng như hình vẽ. Cam có biên dạng là đường tròn bán kính r = 10cm, quay theo quy luật a = 0,5£2(rad), trong đó t được tính bằng giây. Hãy xác định vận tốc và gia tốc của cần AB khi t = 5 giây. Đáp số: VAB « 3,32 cm/s; aAB « 2,49 m/s2(ngược chiều VB). 70
71. ơ n g 7 CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG Đ ối CỦA ĐlỂM I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phân tích chuyển động Hệ quy chiếu cố định Rq - {xữyữzữ} , hệ quy chiếu động ỉị Chuyển động tuyệt đ ố i : Chuyển động của p được xác định trên hệ ỈỈQ tuyệt đối vtt và gia tốc tuyệt đối ã . Chuyển động tương đối:Chuyển động của p được xác định trên hệ /ỉ, tốc tương đối VT và gia tốc tương đối ã . Chuyển động theo: Chuyển động của hệ lị đối với hệ có vận tốc góc theo ũ)e và gia tốc góc theo ic. Vận tốc Vị,- và gia tốc ãp. xác định trên trùng điểm p* (một điểm thuộc hệ quy chiếu /ỉ, và có vị trí trùng với điểm p tại thời điểm khảo sát) được gọi là vận tốc theo = Vp. và gia tốc theo ãc - ãp. của điểm p. 71
72. .+ ị Định lý cộng gia tốc của điểm ãa = ẵc +ảr +ãc (7.2) trong đó gia tốc Coriolis ảc được xác định bởi công thức: Định lý cộng vận tốc của điểm ãc = 2ủc X vr. (7.3) Phương chiều và trị số của gia tốc Coriolis ãc được xác định nhờ hình vẽ dưới đây theo hai trường hợp. II. BÀI T Ậ P 7-1. Tay quay AB của cơ cấu trên hình vẽ quay quanh trục cố định theo quy luật V ?= 7 rí2/16 rad. Viên bi M chuyển động theo quy luật 8m trên rãnh thẳng của thanh truyền BC. Cho biết AB = DC = 0,5m. Hãy tìm vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của M khi t = 2 s. Đáp số: va « 0,356 m/s aa m 0,133 m/s2. B M D Q 72
73. bán kính R quay đều với vận tốc góc Q, điểm E trượt theo hướng đường kính của đĩa theo quy luật a = R s , trong đó uI vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm E. Đáp số: va = R ị ũ ? sin2 Õ Ă+ Q2cos2 aa = R ^(u;4 + fi4 + 2u;202)sin2U )t + 4u;2fì2cos2 7-3. Cho mô hình kính thiên văn trên mặt phắng thắng đứng như hình vẽ. Một động cơ thủy lực điều chinh cho khoảng cách OA lớn dần với tốc độ V = 0,5 m/s. Cho biết tại thời điểm khảo sát, kính quay xung quay trục qua o với vận tốc góc U I= 5rad/s, gia tốc góc £= 1rad/s2 và khoảng cách OA = 1,5m. Hãy tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối của điểm cuối A. Đáp số: va « 7 ,52m/s; aa 38,06m/s2. 7-4. Thanh OA quay xung quanh trục cố định qua o theo quy luật 6 = 1 (rad). Tại cùng một thời diểm, con trượt B chuyển động dọc theo OA về phía dầu A với quy luật r =100/2 (mm), trong đó t dược tính bằng giây. Hãy xác định vận tốc và gia tốc tuyệt đối của con trượt tại thời điểm t Đáp số: va % 0,36 m/s; aa « 1,93 m/s2. 7-5. Thanh OA có hình dạng một phần tư đường tròn bán kính R, quay đều xung quanh trục qua o với vận tốc góc U ). Con trượt M chuyển động với vận tốc tương dối u( so với thanh) là hằng số. Hãy xác định biểu thức vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối của M là hàm theo góc 9. 73
74. u + 2Ru sin2 va ỵ = Ru) sin 9 2 9 9 u2 a^ = —R u 2sin ớ, aa y = 2uu 2 7-6. Vành tròn bán kính R quay đều quanh trục nằm ngang AB với vận tốc góc không đổi u0. Con trượt c di chuyển trên vành với vận tốc tương đối u là hằn;g số. Hãy xác định vận tốc và gia tốc (tuyệt đối) của con trượt c là hàm theo góc ip. Đáp số: va = ựư2 + R?u2(1 —cos < /?)2, J — cos (f —Ru2(1 —cos If) + 4u2w2sin2ự > . 7-7. Cơ cấu diếu tiết ly tâm gồm hai quả vãng M, N và con chạy c. Tại thời diểm khảo sát với góc Q = 45°, hệ quay xung quanh trục AB thẳng đứng vói vận tô'(Cgóc u =7 T/ 2 rad/s và gia tốc góc £ = 1rad/s2. Thanh treo quả văng có vận tốc góc = 7 T/ 2 rad/s và gia tốc góc £, — 0,4rạd/s2. Cho hãy xác định vận tốc và gia tốc của quả văng tại thời điểm đó. Đáp số: va « 100,9cm/s; aa ss 293,7 cm/s2. 7-8. Tay quay OA = /, quay đều quanh o với vận tốc góc uữ làm con trượt A chuyển động trong rãnh của culit K, tạo ra chuyển động theo phương ngang của culit K cùng pit-tông B. Lúc khảo sát = 30°. Hãy tìm vận tốc của culit K, vận tốc tương đối của 74
75. đối với K, gia tốc của culit K. Đáp số: vr = lu)n lcư „ VK = au IlJq y ftî 7-9. Con trượt A của cơ cấu được mô tả trên hình vẽ có thể trượt dọc theo rãnh của cẳn lắc BC. Khi tay quay OA = 0,5 (m) có vị trí nằm ngang, OA có vận tốc góc tư — 6rad/s, gia tốc góc £ = 2rad/s2 và góc a 30°. Hãy xác định vận tốc góc, gia tốc góc của cần lắc BC tại thời điểm đó. Đáp số: U 1B C = 1.5rađ/s; eBC = 0;5rad/s2. 7-10. Đĩa quay xung quanh trục cô' định qua o được gắn chốt A để có thể truyền chuyển động cho cần lắc BC như hình vẽ. Tại thời điểm khảo sát, đĩa có vận tốc góc cư —6 rad/s và gia tốc góc £ = 10 rad/s2, khoảng cách = 0,75 m và góc a = 30° Cho biết OA = r = 0,3 m. Hãy xác định: - Vận tốc góc, gia tốc góc của cần lắc BC. - Vận tốc tương dối và gia tốc tương đối của chốt A so với BC. Đáp số: U )B C — 0; eBC =14,4rad/s2 V , = Ị 8 m/s; ar = 3m/s2. 7-11. Tay quay oc của cơ cấu culit quay xung quanh trục qua o và truyển chuyển động cho thanh AB theo rãnh K nhờ con chạy A như hình vẽ. Xác định vận tốc, gia tốc của thanh AB. Biết OK = /, tại thời điểm khảo sát oc có vận tốc góc cư, gia tốc góc £ và tạo với OK một góc < p. Đáp số: VAB ko l 21sin (¿ 5 , aAB = — 2 g + 3 cư . cos tp cos {Ọ 75
76. cấu như hình vẽ có thể truyền chuyển động quay giữa hai trục song song. Tay quay AB quay đều quanh trục O, với vận tốc góc tư, làm cho máng hình chữ thập quay quanh trục 0 2. Biết 0 |0 2= 0,A = 0,B =b. Hãy tìm vận tốc góc và gia tốc góc của máng chữ thập tại thời điểm 0 |0 2vuông góc với AB. Đáp số: 7-13. Cơ cấu mô tả trên hình vẽ được sử dung trong hệ truyền động của các máy đóng gói sản phẩm. Tay quay OA quay đều với vân tốc góc C J0. Hãy xác định vận tốc góc, gia tốc góc của cần lắc 0|D và vận tốc, gia tốc của thanh BC ở thời điểm mà tay quay OA nằm ngang vé bên phải. Cho biết OA = o o , = 73 , /ỉ = 2r r _ uĩ-j32ru0 Đap sô: ^{0 ,0 —} , e0)ß g ) vU C ) aBc ~ 2 ru)0 4 76
77. được điều khiển bằng pit-tông M trượt trong xylanh ngang. Tay quay COD (OC vuông góc OD) quay quanh trục cố định o. Con trượt B nối với thanh AB thẳng đứng, con trượt E nối với thanh EM, khoảng cách /Ỉ2 = 15 cm. Khi M có vận tốc VM = 10 cm/s, gia tốc aM = 2 cm/s2(cùng chiều hướng sang phải), khoảng cách /ỉ, = 20 cm, góc a = 60°, hãy xác định: - Vận tốc góc của thanh o c, vận tốc của thanh AB; - Gia tốc góc của thanh oc. Đáp số: U J0C = 0,5 rad/s; VAB = 23cm/s; 0,39 rad/s2. Hình bài 7-15 7-15. Cơ cấu truyền động máy của bào ngang (dạng đơn giản) được mô tả như hình vẽ. Tay quay OA = r quay đều quanh trục qua o với vận tốc góc DE chuyển động tịnh tiến theo phương ngang, đường trượt của con trượt c hướng thẳng đứng. 77
78. khoảng cách OB = rv à BC = 2rV3. Tại thời đi hãy tìm vận tốc và gia tốc của DE. . _ 3 _ V V 3 2 Đáp số: VD E = -~ru)0, aD E =—y - u i 2 4 7-16. Đĩa quay đều xung quanh trục cố định với vận tốc góc U )ữ. Cho biết AC = l và BC = 0,8 l.Hãy tìm vận tốc góc và gia tốc góc của BC tại thời điểm a = 20° Đáp số: U JBC ~ 1,225 L O 0 eB C ~ 5,95o»ổ. 78
79. ơ n g 8 CHUYỂN ĐỘNG SONG PHANG CỦA VẬT RẮN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình chuyển động cua vật rán phẳng trên mặt phẳng Hộ tọa độ cố định { O x y z } . Hệ tọa độ động gắn với vật {A£??c}, trong đó trục 2 song song với trục ( và cùng vuông góc với mặt phảng chuyển động. Điểm gốc A được chọn tùy ý và gọi là điểm cực. Phương trình chuyển động của vật rắn phẳng có dạng: X A = xA(t), yA = yA(t), ip= trong đó: X A , y A là tọa độ của điểm cực A trên hệ tọa độ cô' định, y? là góc quay tương đối của vật (góc giữa trục X và trục £ như hình vẽ). Vận tốc góc và gia tốc góc của vật rán phăng Vận tốc góc: cũ = I pẽ( (8.2) Gia tốc góc: £= ỹ?ẽ( (8.3) 79
80. định vị trí của một điểm thuộc vật rán phẳng Vị trí của điểm M trên hệ tọa độ cố định được xác định bởi công thức dưới dạng ma trận: X M X A — + Vm y A cos íp sin ự) —sin f cos ự > iu Vm ’ (8.4) trong đó: ,Ĩ]M là tọa độ của điểm M trên hệ tọa độ động gắn với vật. Quan hệ vận tốc giữa hai điểm thuộc vật rắn phảng VM = VA +VM A (8.5) Trong đó VM A — ủ X AM( VM A đặt tại M và có chiều hướng theo chiều quay của £ ũ, trị số V MA = AM.ui). Quan hệ về hình chiếu vận tốc: h C AM ( v J = h C AM ( v A ) (8-6> Tâm vận tốc tức thời Định nghĩa: Tâm vận tốc tức thời p có vận tốc 0 tại thời điểm khảo sát. Quan hệ vận tốc giữa tâm vận tốc tức thời p và các điểm khác thuộc vật: 80
81. A = AP MP Quy tắc tìm vị trí của tâm vận tốc tức thời p của vật rắn phảng được minh họa bằng các hình dưới đây Quan hệ gia tốc giữa hai điểm thuộc vật rán phảng — ãA+ ãT M A + ãn M A Trong đó: aM A = ẽ X À M ( ắM A có phương vuông góc với AM, chiều hướng theo chiều quay của £, trị sô' a1 M A = AM.e ). àyA = ủ XVM A ( ãn M A hướng từ M về A và có. trị số an M A = AM .ú1). Tính toán vận tốc góc của cơ cấu vi sai phảng bằng công thức VVillise Quan hệ giữa các vận tốc góc của cơ cấu vi sai phảng theo công thức Willise có dạng: 81
82. ±ĨL = ± h r, z. Trong đó ũ)t là vận tốc góc của tay quay OA, r, và r2 là các bán kính vòng lăn, Zl và Z2 là số răng của bánh răng 1 và 2. Công thức (8.9) có dấu (+) nếu bánh 1 và bánh 2 ăn khớp trong, dấu (-) nếu ăn khớp ngoài. Để áp dụng đúng công thức (8.9) ta cần quy ước một chiều quay tham chiếu làm chiều dương (thí dụ chiều của ũt là chiều dương). Vận tố có chiều ngược với chiều dương quy ước sẽ nhận giá trị âm (u> t < 0). II. BÀI T Ậ P 8-1. Cơ cấu bánh răng hành tinh trên hình vẽ có tay quay OA quay đều với vân tốc góc u > 0. Bánh răng 2 bán kính r ăn khớp trong với bánh răng 1 cố định có bán kính R = 3r. Ký hiệu BD và CE là các đường kính của bánh rãng 2, hãy xác định: -V ận tốc của các điểm c và D; - Gia tốc của các điểm B và E. Đáp số: VD = 4 ru/0, vc = 2rÍ2 uj0, aB = 6rcư„, — 2rúịỊE. '///////, 8-2. Tại thời điểm khảo sát, tâm B cùa trụ chuyển động với vận tốc Vg = 0,6m/s và gia tốc aB = 2,4 m/s2 cùng hướng xuống phía dưới. Tim gia tốc của điểm D, cho biết các bán kính r = 0,08 m và R =0,2 Đáp số: aD « 14 m/s2 . 82
83. bài 8-3 Hình bài 8-4 8-3. Con lăn c có habtầng, bán kính lăn là r = 20 cm, bán kính cuốn dây là R = 40cm. Khi vật M chuyển động xuống phía dưới chậm dần đều với gia tốc a= 5cm/s2làm cho con lăn chuyển động lăn không trượt trên nền ngang. Tại thời điểm khảo sát, vật M có vận tốc V = 10 cm/s. Hãy tìm: - Vận tốc góc của con lăn, vận tốc tâm c của con lăn và vận tốc điểm A; - Gia tốc các điểm B ,c. Đáp số: u = 0,5rad/s; vc =10 cm/s; VA = 30 cm/s. aB « 1 1 ,18 cm/s2; ac =5 cm/s2. 8-4. Trụ quấn dây A quay nhanh dần với gia tốc góc không đổi eA = 3rad/s2. Tại thời điểm khảo sát, trụ A đạt vận tốc góc ưA = 30rad/s. Cho biết các bán kính R =15cm, r = 8cm. Hãy xác dịnh vận tốc và gia tốc của vật nâng c tại thời diểrr đó. Đáp số: vc =225cm/s; ac = 22,5 cm/s2. 8-5. Con lãn hai tầng lăn không trượt trên nền nghiồng, bán kính quấn dây là R , bán kính lăn li r.Tại thời điểm khảo sát, tâm c cùa con lãn có vận tốc v0và gia tốc cùng hướng xuốrg phía dưới. Giả thiết dây dủ dài, nhánh dây lối con lăn 1 với trụ 2 song song với mặt nghiỉng, hai nhánh dây nối trụ 2 và ròng rọc 3 song song với nhau. Hãy tìm vận tốc và gia tốc của 'ật 4. Hình bài 8-5 83
84. bán kính r = 0,125 m có thể lăn không trượt trên bé mặt của hai tấm A và u. Nếu hai tấm dịch chuyển theo phương ngang với vận tổc không đổi VA = 0,ĩ 5m/s, Vg = 0,4 m/s như hình vẽ, hãy xác định vận tốc góc của con lăn, vận tốc tâm c. Đáp số: w = 2,6 rad/s; vc = 0,075 m/s. A 8-7. Sơ đổ một hệ truyẽn động của cẩu trục được mô tả trên hình vẽ. Để truyền chuyển động từ động cơ A có vận tốc góc UA = 150 rad/s đến bánh xe B, người ta sử dụng một hộp sô' bánh răng hai cấp. Cho biết số răng của các bánh răng là Zx = Z3 =17, Zị = 85. Bán kính của bánh xe B là 30 cm. Giả thiết bánh xe lăn không trượt so với đường ray. Hãy xác định sô' răng Z2 nếu vận tốc của tâm bánh xe là V = 180 m/phút. Đáp số: Z2 =51. 8-8. Cơ cấu của máy nén khí một xy-lanh bao gồm tay quay AB = 0,2m, thanh truyền có độ dài BC = 0,4 m. Tay quay AB quay đều với vận tốc góc = 5 rad/s. Hãy xác định vận tốc và gia tốc của pit-tông C tại vị trí khảo sát như trên hình vẽ. Đáp số: vc « 0,577 m/s; ac « 5,96 m/s2. 84

Giải bài tập cơ học kỹ thuật 1 năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội