Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng [-∞; -4] và [-1; 1], nghịch biến trên các khoảng [-4; -1] và [1; +∞]
- TXĐ: R
y′=3x2−12x+9y′=3x2−12x+9
y’ = 0 x=1; x=3; x=1x=3
y’ > 0 trên các khoảng [-∞; 1], [3; +∞] nên y đồng biến trên các khoảng [-∞; 1], [3; +∞]
y'< 0 trên khoảng [1; 3] nên y nghịch biến trên khoảng [1; 3]
- TXĐ: R
y′=4x3+16=4x[x2+4]y′=4×3+16=4x[x2+4]
y’ = 0 x = 0
y’ > 0 trên khoảng [0; +∞] => y đồng biến trên khoảng [0; +∞]
y’ < 0 trên khoảng [-∞; 0] => y nghịch biến trên khoảng [-∞; 0]
Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Hướng dẫn làm bài
- TXĐ: R\ {-7}
y = %5E2%7D]
y’ < 0 trên các khoảng [-∞; -7], [-7; +∞] nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó
- TXĐ: R\ {5}
y’ = -2/[x-5]3
y’ < 0 trên khoảng [5; +∞] nên y nghịch biến trên khoảng [5; +∞]
y’ > 0 trên khoảng [-∞; 5] nên y đồng biến trên khoảng [-∞; 5]
- TXĐ: R{-3; 3}
y’ = %7D%7B%5Cleft[x%5E2-9%5Cright]%5E2%7D]
y’ < 0 trên các khoảng [-∞; – 3], [-3; 3], [3; +∞] nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.
- TXĐ: R\ {0}
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [−∞;−1−√6],[−1+√6;+∞][−∞;−1−6],[−1+6;+∞]
và nghịch biến trên các khoảng [−1−√6;−1],[−1;−1+√6]
- TXĐ: R\ {2}
y’ = %5E2%7D]
[do x2−4x+7x2−4x+7 có ∆’ = – 3 < 0]
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [−∞;2],[2;+∞]
Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xét tính đơn điệu của các hàm số:
Hướng dẫn làm bài
- TXĐ: [-5; 5]
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [0; 100] và nghịch biến trên khoảng [100; +∞]
- TXĐ: [-4; 4]
%5Csqrt%7B16-x%5E2%7D%5E%7B%20%7D%7D%3E0] ; ∀ x ∈ [-4; 4]
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [-4; 4].
- TXĐ: [-∞; √66] ∪ [√66; +∞]
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-∞; -3], [3; +∞], nghịch biến trên các khoảng [-3;−√6−6 ], [√66; 3].
Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Hướng dẫn làm bài
Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.
Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].
- y=x+2cosx, x ∈ [π/6;5π/6]
y′=1−2sinx < 0 với x ∈ [π/6;5π/6]
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng [π/6;5π/6]
- Xét hàm số y=sin1/x với x > 0.
Giải bất phương trình sau trên khoảng [0;+oo]
Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Xác định m để hàm số sau:
Hướng dẫn làm bài:
- Tập xác định: D = R{m}
Hàm số đồng biến trên từng khoảng [−∞;m],[m;+∞] khi và chỉ khi:
- Tập xác định: D = R{m}
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:
- Tập xác định: D = R
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:
- Tập xác định: D = R
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn làm bài
- Đặt y = 3[cos x – 1] + 2sin x + 6
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y[ ] = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R.
Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x\=π
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
- Đặt y\=4x+cosx−2sinx−2
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y[0] = 1 – 2 = -1 < 0 ; y[π]\=4π−3\>0
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y[0] = 1 – 2 = -1 < 0 ; y[π]=4π−3>0y[π]=4π−3>0 .
Hàm số liên tục trên [0;π][0;π] và y’[0] < 0 nên tồn tại x0∈[0;π] sao cho y[x0]=0
Suy ra phương trình có một nghiệm x0 .
- Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, y[π]=4π−3>0y[π]=4π−3>0, x ∈ R.
Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.
Mặt khác y[-1] = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0
y[1] = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0
Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y[-1]y[1] < 0 cho nên tồn tại x0∈[−1;1] sao cho y[x0]=0.
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
- Đặt y = x5 + x3 – 7
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y[0] = -7 < 0 ; y[2] = 32 + 8 – 7 = 33 > 0
Hàm số liên tục trên [0; 2] và y[0] y[2] < 0 cho nên tồn tại x0∈[0;2] sao cho y[x0]=0
Mặt khác y′=5x4+3x2=x2[5x2+3]≥0,∀x∈R
\=> Hàm số đồng biến trên [−∞;+∞][−∞;+∞].
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh phương trình x5−x2−2x−1=0 có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn làm bài:
Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình [tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào]. Ta nhận xét
x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = [x + 1]2 0 => x ≥ 0
\=> [x + 1]2 1 => x5 1 => x 1
Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc [1;+∞][1;+∞] .
Xét hàm số f[x]=x5−x2−2x−1f[x]=x5−x2−2x−1 ta thấy f[x] liên tục trên R
Mặt khác, f[1]=−30
Vì f[x] liên tục trên [1; 2] và f[1] f[2] < 0 nên tồn tại x0∈[1;2] sao cho f[x0]=0
Ta có: f’[x] = 5x4 – 2x – 2 = [2x4 – 2x] + [2x4 – 2] + x4
\= 2x[x3 – 1] + 2[x4 – 1] + x4 > 0 , ∀x≥1∀x≥1
Suy ra f[x] đồng biến trên [1;+∞]
Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
- tanx>sinx,0