Bài 46 trang 13 sbt hình học 10 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng khi \(a + b \ne c + d\) thì luôn tìm được điểm \(M\) sao cho

\(\overline {MA} .\overline {MB} = \overline {MC} .\overline {MD} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\overline {MA} .\overline {MB} = \overline {MC} .\overline {MD} \\ \Leftrightarrow (\overline {OA} - \overline {OM} )(\overline {OB} - \overline {OM} )\\ = (\overline {OC} - \overline {OM} )(\overline {OD} - \overline {OM} )\\ \Leftrightarrow \overline {OA} .\overline {OB} - \overline {OM} .\overline {OB} - \overline {OA} .\overline {OM} + {\overline {OM} ^2}\\ = \overline {OC} .\overline {OD} - \overline {OM} .\overline {OD} - \overline {OC} .\overline {OM} + {\overline {OM} ^2} \\\Leftrightarrow \overline {OM} .\overline {OD} + \overline {OC} .\overline {OM} - \overline {OM} .\overline {OB} - \overline {OA} .\overline {OM} \\ = \overline {OC} .\overline {OD} - \overline {OA} .\overline {OB} \\\Leftrightarrow \overline {OM} (\overline {OD} + \overline {OC} - \overline {OA} - \overline {OB} )\\ = \overline {OC} .\overline {OD} - \overline {OA} .\overline {OB} \\ \Leftrightarrow \,\,\overline {OM} .(d + c - a - b) \\= cd - ab\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array}\)

Do \(a + b \ne c + d\) nên \(\overline {OM} = \dfrac{{cd - ab}}{{d + c - a - b}}.\)

LG b

Khi \(AB\) và \(CD\) có cùng trung điểm thì điểm \(M\) ở câu a) có xác định không?

Áp dụng. Xác định tọa độ điểm M nếu biết:

\(a=-2 ; b=5 ;\) \( c=3, d=-1.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(AB\) và \(CD\) có cùng trung điểm \(I\). Khi đó

\(\dfrac{{\overline {OA} + \overline {OB} }}{2} = \dfrac{{\overline {OC} + \overline {OD} }}{2}( = \overline {OI} ),\)

Hay \(a+b=c+d\). Khi đó, \(ab \ne cd\) (vì nếu \(ab=cd\) và \(a+b=c+d\) thì dễ dàng suy ra bốn điểm \(A, B, C, D\) không phân biệt). Vậy từ (*) ta suy ra điểm \(M\) không xác định.

Áp dụng:

Với \(a=-2, b=5, c=3, d=-1\), ta thấy \(a + b \ne c + d\) . Theo câu a), điểm \(M\) được xác định và ta có

\(\overline {OM} = \dfrac{{cd - ab}}{{d + c - a - b}}\)

\(= \dfrac{{3.( - 1) - ( - 2).5}}{{ - 1 + 3 + 2 - 5}} = - 7.\)

Suy ra điểm \(M\) có tọa độ là \(-7.\)