TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘIVIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌCBÙI XUÂN DIỆUBài GiảngGIẢI TÍCH II[lưu hành nội bộ]CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂNPHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾTTRƯỜNGTóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giảiHà Nội- 2009MỤC LỤCMục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . . . . 51 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . . . . . . . . . 51.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại một điểm. 51.2 Độ cong của đường cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số . . . . . . . . . . 72 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . . . . . . 102.1 Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham số 102.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong. . . . . . . . . . . 112.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai mặtChương 2 . Tích phân bộ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descar tes . . . . . . . . . . . . 352.3 Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 383 Các ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham s ố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 Tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312 MỤC LỤC1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 631.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 662 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . 672.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Chương 4 . Tích phân đường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.2 Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 801.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802 Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.2 Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 822.3 Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 92Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951 Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.2 Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952 Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.1 Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.5 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . . . . . . . . . 105Chương 6 . Lý thuyết trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.2 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092MỤC LỤC 32 Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2 Thông lượng, dive, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4 Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11234 MỤC LỤC4CHƯƠNG 1CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂNTRONG HÌNH HỌC§1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONGHÌNH HỌC PHẲNG1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đườngcong tại một điểm.1. Điểm chính quy.• Cho đường cong [L] xác định bởi phương trình f[x, y]= 0. Điểm M[x0, y0]được gọi là điểm chính quy của đường cong [L] nếu tồn tại các đạo hàm riêngfx[M], fy[M]không đồng thời bằng 0.• Cho đường cong [L] xác định bởi phương trình tham sốx = x[t]y = y[t]. ĐiểmM[x[t0], y[t0]]được gọi là điểm chính quy của đường cong [L] nếu tồn tại cácđạo hàm x[t0], y[t0]không đồng thời bằng 0.• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.2. Các công thức.• Phương t rình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phươngtrình tại điểm chính quy:56 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học– Tiếp tu yến[d]: fx[M].[x − x0]+ fy[M].[y − y0]= 0.– Pháp tuyếnd:x −x0fx[M]=y − y0fy[M].Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f [x]thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M[x0, y0] chính quy lày − y0= f[x0][x − x0]. Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chươngtrình phổ thông.• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong [L] xác định bởi phươngtrình tham sốx = x[t]y = y[t]tại điểm M[x[t0], y[t0]]chính quy:– Tiếp tu yến[d]:x −x[t0]x[t0]=y − y[t0]y[t0].– Pháp tuyếnd: x[t0].[x −x[t0]]+ y[t0].[y − y[t0]]= 0.1.2 Độ cong của đường cong.1. Định nghĩa.2. Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm.• Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f[x]thì:C[M]=|y|[1 + y2]3/2• Nếu đường cong cho bởi phương trình tham sốx = x[t]y = y[t]thì:C[M]=xyxy[x2+ y2]3/2• Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r[φ]thì:C[M]=r2+ 2r2−rr[r2+ r2]3/261. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 71.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một thamsố1. Định nghĩa: Cho họ đường cong [L] phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗiđường cong trong họ [L] đều tiếp xúc với đường cong [E] tại một điểm nào đó trên Evà ngược lại, tại mỗi điểm th uộc [E] đều tồn tại một đường cong của họ [L] tiếp xúcvới [E] tại điểm đó thì [E] được gọi là hình bao của họ đường cong [L].2. Qu y tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số.Định lý 1.1.Cho họ đường congF[x, y, c]= 0phụ thuộc một tham sốc. Nếu họđường con g trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cáchkhửctừ hệ phương trìnhF[x, y, c]= 0Fc[x, y, c]= 0[1]3. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình [1] bao gồm hình bao[E] và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:a] y = x3+ 2x2−4x −3 tại[−2, 5].Lời giải.Phương trình tiếp tuyến y = 5Phương trình pháp tuyến x = −2b] y = e1−x2tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 .Lời giải. – Tại M1[−1, 1],Phương trình tiếp tuyến 2x −y + 3 = 0Phương trình pháp tuyến x + 2y −1 = 0– Tại M2[−1, 1],Phương trình tiếp tuyến 2x + y −3 = 0Phương trình pháp tuyến x −2y + 1 = 0c.x =1+tt3y =32t3+12ttại A[2, 2].Lời giải. – Phương tr ình tiếp tuyến y = x.– Phương trình pháp tuyến x + y −4 = 0.78 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình họcd. x23+ y23= a23tại M[8, 1].Lời giải. – Phương tr ình tiếp tuyến x + 2y −10 = 0.– Phương trình pháp tuyến 2x −y −15 = 0.Bài tập 1.2. Tính độ cong của:a. y = −x3tại điểm có hoành độ x =12.Lời giải.C[M]=|y|[1 + y2]3/2= =192125b.x = a[t −sin t]y = a[t −cos t][a > 0]tại điểm bất kì.Lời giải.C[M]=xyxy[x2+ y2]3/2= =12a√21√1 −cos xc. x23+ y23= a23tại điểm bất kì [a > 0].Lời giải. Phương trình tham số:x = a cos3ty = a sin3t, nênC[M]=xyxy[x2+ y2]3/2= =13a|sin t cos t|d. r = aebφ,[a, b > 0]Lời giải.C[M]=r2+ 2r2−rr[r2+ r2]3/2=1aebφ√1 + b2Bài tập 1.3. Tìm hình bao của họ đường cong sau:a. y =xc+ c281. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 9b. cx2+ c2y = 1c. y = c2[x − c]2Lời giải. a. Đặt F[x, y, c]:= y −xc− c2= 0.Điều kiện: c = 0.Xét hệ phương trình:Fx[x, y, c]= 0Fy[x, y, c]= 0⇔Fx[x, y, c]= 01 = 0, hệ phương trình vônghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta cóF[x, y, c]= 0Fc[x, y, c]= 0⇔y −xc− c2= 0−2c +xc2= 0⇔x = 2c3y = 3c2nênx22−y33= 0. Do điều kiện c = 0 nên x, y = 0. Vậy ta có hình bao của họđường cong là đườngx22−y33= 0 trừ điểm O[0, 0].b. Đặt F[x, y, c]:= cx2+ c2y −1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đãcho nên điều kiện: c = 0.Xét hệ phương trình:Fx[x, y, c]= 0Fy[x, y, c]= 0⇔2cx = 0c2= 0⇔ x = c = 0, nhưng điểm kìdị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kìdị. Ta cóF[x, y, c]= 0Fc[x, y, c]= 0⇔cx2+ c2y = 1x2+ 2cx = 0⇔x =2cy =−1c2Do đó x, y = 0 và ta có hình bao của họ đườn g cong là đường y = −x44trừ điểm O[0, 0].c. Đ ặt F[x, y, c]:= c2[x − c]2− y = 0.Xét hệ phương trình:Fx[x, y, c]= 0Fy[x, y, c]= 0⇔Fx= 0−1 = 0, hệ phương trình vô nghiệmnên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị.Ta cóF[x, y, c]= 0Fc[x, y, c]= 0⇔c2[x −c]2− y = 0[1]2c[x − c]−2c2[x − c]= 0[2][2]⇔c = 0c = xc =x2, thế vào [1] ta được y = 0, y =x416.Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y =x416.910 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học§2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONGHÌNH HỌC KHÔNG GIAN2.1 Hàm véctơGiả sử I là một khoảng trong R.• Ánh xạI → Rnt →−−→r[t]∈ Rnđược gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếun = 3, ta viết−−→r[t]= x[t].−→i + y[t].−→j + z[t].−→k . Đặt M[x[t], y[t], z[t]], quỹ tíchM khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của hàm véctơ−−→r[t].• Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn là−→a khi t → t0nếu limt→t0−−→r[t]−−→a=−→0 , kí hiệu limt→t0−−→r[t]=−→a .• Liên tục: Hàm véctơ−−→r[t]xác định trên I được gọi là liên tục tại t0∈ I nếu limt→t0−−→r[t]=−−→r[t0]. [tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x[t], y[t], z[t]]• Đạo hàm: Giới hạn, nếu có, của tỉ số limh→0∆−→rh= limh→0−→r[t0+h]−−→r[t0]hđược gọi là đạo hàmcủa h àm véctơ−−→r[t]tại t0, kí hiệu−→r[t0]hayd−→r[t0]dt, khi đó ta nói hàm véctơ−−→r[t]khảvi tại t0.Nhận xét rằng nếu x[t], y[t], z[t]khả vi tại t0thì−−→r[t]cũng khả vi tại t0và−→r[t0]=x[t0].−→i + y[t0].−→j + z[t0].−→k .2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đ ườngcong cho dưới dạng tham sốCho đường congx = x[t]y = y[t]z = z[t]và M[x0, y0, z0] là một điểm chính quy.• Phương trình tiếp tuyến tại M[d]:x −x[t0]x[t0]=y − y[t0]y[t0]=z − z[t0]z[t0].• Phương trình pháp diện tại M.[P]: x[t0].[x −x[t0]]+ y[t0].[y − y[t0]]+ z[t0].[z −z[t0]]= 0.102. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 112.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặtcong.Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f [x, y, z] = 0 và M[x0, y0, z0] là một điểmchính quy của S.• Phương trình pháp tuyến tại M[d]:x − x0fx[M]=y − y0fy[M]=z − z0fz[M].• Phương trình tiếp diện tại M[P]: fx[M].[x − x0]+ fy[M].[y − y0]+ fz[M].[z − z0]= 0.Đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương t rình z = z[x, y]thì phương trình tiếp diện tại Mlà[P]: z −z0= zx[M].[x − x0]+ zy[M].[y − y0].2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đ ườngcong cho dưới dạng giao của hai mặt congCho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sauf[x, y, z]= 0g[x, y, z]= 0.Đặt−→nf=fx[M], fy[M], fz[M], là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặtcong f[x, y, z]= 0 tại M.Đặt−→ng=gx[M], gy[M], gz[M], là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặtcong g[x, y, z]= 0 tại M.Khi đó−→nf∧−→nglà véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại M. Vậy phươngtrình tiếp tuyến là:PTTQ :fx[M].[x −x0]+ fy[M].[y − y0]+ fz[M].[z − z0]= 0.gx[M].[x −x0]+ gy[M].[y − y0]+ gz[M].[z −z0]= 0.PTCT :x−x0fy[M]fz[M]gy[M]gz[M]=y−y0fz[M]fx[M]gz[M]gx[M]=z−z0fx[M]fy[M]gx[M]gy[M]Bài tập 1.4. Giả sử−→p[t],−→q[t],−→α[t]là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng:a.ddt−→p[t]+−→q[t]=d−→p[t]dt+d−→q[t]dt1112 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình họcb.ddtα[t]−→p[t]= α[t]d−→p[t]dt+ α[t]−→p[t]c.ddt−→p[t]−→q[t]=−→p[t]d−→q[t]dt+d−→p[t]dt−→q[t]d.ddt−→p[t]∧−→q[t]=−→p[t]∧d−→q[t]dt+d−→p[t]dt∧−→q[t]Lời giải. a. Giả sử−→p[t]=[p1[t], p2[t], p3[t]],−→q[t]=[q1[t], q2[t], q3[t]], khi đó:ddt−→p[t]+−→q[t]=ddt[p1[t]+ q1[t], p2[t]+ q2[t], p3[t]+ q3[t]]=p1[t]+ q1[t], p2[t]+ q2[t], p3[t]+ q3[t]=p1[t], p2[t], p3[t]+q1[t], q2[t], q3[t]=d−→p[t]dt+d−→q[t]dtb.ddtα[t]−→p[t]=[α[t]p1[t]],[α[t]p2[t]],[α[t]p3[t]]=α[t]p1[t]+ α[t]p1[t], α[t]p2[t]+ α[t]p2[t], α[t]p3[t]+ α[t]p3[t]=α[t]p1[t], α[t]p2[t], α[t]p3[t]+α[t]p1[t], α[t]p2[t], α[t]p3[t]= α[t]d−→p[t]dt+ α[t]−→p[t]c. Chứn g minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp.d.ddt−→p[t]∧−→q[t]=ddtp2[t]p3[t]q2[t]q3[t],p3[t]p1[t]q3[t]q1[t],p1[t]p2[t]q1[t]q2[t]= =p2[t]p3[t]q2[t]q3[t],p3[t]p1[t]q3[t]q1[t],p1[t]p2[t]q1[t]q2[t]+p2[t]p3[t]q2[t]q3[t],p3[t]p1[t]q3[t]q1[t],p1[t]p2[t]q1[t]q2[t]=−→p[t]∧d−→q[t]dt+d−→p[t]dt∧−→q[t]Bài tập 1.5. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:122. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 13a.x = a sin2ty = b sin t cos tz = c cos2ttại điểm ứng với t =π4,[a, b, c > 0].b.x =etsin t√2y = 1z =etcos t√2tại điểm ứng với t = 2.Lời giải. a. – Phương trình tiếp tuyến:[d]:x−a2a=y−b20=z−c2−c– Phương trình pháp diện:[P]: ax −a2−cz −c2= 0.b. – Phương trình tiếp tuyến:[d]:x√22=y−10=z−√22√22.– Phương trình pháp diện:[P]:√22x +√22z −√22= 0.Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:a] x2−4y2+ 2z2= 6 tại điểm[2, 2, 3].b] z = 2x2+ 4y2tại điểm[2, 1, 12].c] z = ln[2x + y]tại điểm[−1, 3, 0]Lời giải. a. – Phương trình pháp tuyến:[d]:x−24=y−2−16=z−312– Phương trình tiếp diện:[P]: 4[x −2]−16[y −2]+ 12[z −3]= 0b. – Phương trình pháp tuyến:[d]:x−28=y−18=z−12−1– Phương trình tiếp diện:[P]: 8[x −2]+ 8[y −1]−[z −12]= 0.c. – Phương trình pháp tuyến:[d]:x+12=y−31=z−1– Phương trình tiếp diện:[P]: 2[x + 1]+[y −3]−z = 0.Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:a.x2+ y2= 10y2+ z2= 25tại điểm A[1, 3, 4]b.2x2+ 3y2+ z2= 47x2+ 2y2= ztại điểm B[−2, 6, 1]1314 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình họcLời giải. a. Ta cóf[x, y, z]:= x2+ y2−10 = 0g[x, y, z]:= y2+ z2−25 = 0nênnf=[2, 6, 0]ng=[0, 6, 8].Do đó nf∧ng= 2[21, −8, 3]. Vậy:– Phương trình tiếp tuyến[d]:x−121=y−3−8=z−43– Phương trình pháp diện[P]: 21[x −1]−8[y −3]+ 3[z −4]= 0b. Tương tự,nf=[−8, 6, 12]ng=[−4, 4, −1], nf∧ng= −2[27, 27, 4]nên– Phương trình tiếp tuyến[d]:x+227=y−127=z−64– Phương trình pháp diện[P]: 27[x + 2]+ 27[y −1]+ 4[z −6]= 014CHƯƠNG 2TÍCH PHÂN BỘI§1. TÍCH PHÂN KÉP1.1 Định nghĩaĐịnh nghĩa 2.1.Cho hàm sốf[x, y]xác định trong m ột miền đóng, bị chặnD. ChiamiềnDmột cách tuỳ ý thànhnmảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là∆S1, ∆S2, , ∆Sn. Trong mỗi mảnh∆Silấy một điểm tuỳ ýM[xi, yi]và thành lập tổ ng tíchphânIn=n∑i=1f[xi, yi]∆Si. Nếu khin → ∞sao chomax{∆Si→ 0}màIntiến tới một giátr ị hữu hạnI, không phụ thuộc vào cách chia miềnDvà cách chọn điểmM[xi, yi]thì giớihạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm sốf[x, y]trong miềnD, kí hiệu làDf[x, y]dSKhi đó ta nói rằng hàm số f[x, y]khả tích trong miền D. Do tích phân kép không phụthuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia D thành hai họ đườngthẳng song song với các trục t o ạ độ, khi đó dS = dxdy và ta có thể viếtDf[x, y]dS =Df[x, y]dxdyTính chất cơ bản:• Tính chất tuyến tính:D[f[x, y]+ g[x, y]]dxdy =Df[x, y]dxdy +Dg[x, y]dxdy1516 Chương 2. Tích phân bộiDk f[x, y]dxdy = kDf[x, y]dxdy• Tính chất cộng tính: Nếu D = D1∪ D2và D1∩ D2= ∅ thìDf[x, y]dxdy =D1f[x, y]dxdy +D2f[x, y]dxdy1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ DescartesĐể tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.1. Phác thảo hình dạng của miền D.2. Nếu D là miền hình chữ nhật[D]: a x b, c y d thì ta có thể sử dụng mộttrong hai tích phân lặpDf[x, y]dxdy =badxdcf[x, y]dy =dcdydcf[x, y]dx3. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy,[D]: a x b, ϕ[x]y ψ[x]thì dùng tích phân lặp với thứ tự dy trước, dx sau.Df[x, y]dxdy =badxψ[x]ϕ[x]f[x, y]dy4. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Ox,[D]: c y d, ϕ[y]x ψ[y]thì dùng tích phân lặp với thứ tự dx trước, dy sau.Df[x, y]dxdy =dcdyψ[y]ϕ[y]f[x, y]dx5. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 3,4 t h ì thông thường ta sẽ chiamiền D thành một số hữu hạn miền có dạng 3 hoặc 4 rồi sử dụng tính chất cộng tínhđể đưa về việc t ính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 3, 4.Các dạng bài tập cơ bản161. Tích phân kép 17Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.Trong phần trên, chúng ta biết rằng thứ tự lấy tích phân và hình dáng của miền D cóliên quan chặt chẽ đến nhau. Nếu thứ tự dy trước, dx sau thì miền D có dạng hình thangcong song song với trục Oy, và có biểu diễn là[D]: a x b, ϕ[x] y ψ[x]. Ngược lại,nếu thứ tự dx trước, dy sau thì miền D có dạng hình thang cong song song với trục Ox,và có biểu diễn là[D]: c y d, ϕ[y] x ψ[y]. Do vậy việc đổi thứ tự lấy tích phântrong tích phân lặp chẳng qua là việc biểu diễn miền D từ dạng này sang dạng kia.1. Từ biểu thức tích phân lặp, vẽ phác thảo miền D.2. Nếu D là miền hình thang cong có các cạnh song song với Oy thì ta chia D thành cáchình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải tích của các miềncon, ví dụ[Di]: ci y di, ϕi[y] x ψi[y], sau đó viếtbadxy2[x]y1[x]f[x, y]dy =∑idicidyψi[y]ϕi[y]f[x, y]dx3. Làm tương tự trong trường hợp D là hình thang cong có các cạnh song song với Ox.Bài tập 2.1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:a]10dx√1−x2−√1−x2f[x, y]dyx1y1OD1D2Hình 2.1 a]Chia miền D thành hai miền con D1, D2như hình vẽ,D1:−1 y 0−1 −y2 x 1 −y2, D2:0 y 1−1 −y x 1 −yI =0−1dy√1−y2−√1−y2f[x, y]dx+10dy√1−y−√1−yf[x, y]dx1718 Chương 2. Tích phân bộib]10dy1+√1−y22−yf[x, y]dxx21y21OHình 2.1 b]Lời giải. Ta có: D :1 x 22 − x y √2x − x2nên:I =21dx√2x−x22−xf[x, y]dyc]20dx√2x√2x−x2f[x, y]dxx21y21OHình 2.1 c]Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ,D1:0 y 1y22 x 1 −1 −y2, D2:0 y 11 +1 −y2 x 2, D3:1 y 2y22 x 2Vậy:I =10dy1−√1−y2y22f[x, y]dx+10dy21+√1−y2f[x, y]dx +21dy2y22f[x, y]dx181. Tích phân kép 19d]√20dyy0f[x, y]dx+2√2dy√4−y20f[x, y]dxx√2y√2OHình 2.1 d]Lời giải.D :0 x √2x y √4 − x2nên:I =√20dx√4−x2xf[x, y]dyMột câu hỏi rất tự nhiên đặt ra là việc đổi thứ tự lấy tích phân trong các bài toán tíchphân kép có ý nghĩa như thế nào? Hãy xét bài toán sau đây:Bài tập 2.2. Tính I =10dx1x2xey2dy.x1y2OHình 2.2Lời giải. Chúng ta biết rằng hàm số f[x, y]= xey2liên tục trên miền D nên chắc chắnkhả tích trên D. Tuy nhiên các bạn có thể thấy rằng nếu tính tích phân trên mà làm theo1920 Chương 2. Tích phân bộithứ tự dy trước thì không thể tính được, vì hàm số ey2không có nguyên h àm sơ cấp! Cònnếu đổi thứ tự lấy tích phân thì:I =10dy√y0xey2dx =10ey2x22x=√yx=0dy =1210ey2.ydy =14ey2|10=14[e −1]Dạng 2: Tính các tích phân kép thông thường.Bài tập 2.3. Tính các tích phân sau:a]Dx sin[x + y]dxdy, D =[x, y]∈ R2: 0 y π2, 0 x π2Lời giải.I =π20dxπ20x sin[x + y]dy = =π2hoặc I =π20dyπ20x sin[x + y]dx = =π2b] I =Dx2[y − x]dxdy, D giới hạn bởi y = x2&x = y2xyO11y = x2x = y2Hình 2.3Lời giải.I =10dx√xx2x2y − x3dy = = −1504201. Tích phân kép 21Dạng 3: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối.Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối trong các bài toán tínhtích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ, để tính các tích phân kép dạngD|f[x, y]|dxdy. Khảo sát dấu của hàm f[x, y], do tính liên tục của hàm f[x, y]nênđường cong f[x, y]= 0 sẽ chia miền D thành hai miền, D+, D−. Trên D+, f[x, y] 0, vàtrên D−, f[x, y] 0. Ta có công thức:D|f[x, y]|dxdy =D+f[x, y]dxdy −D−f[x, y]dxdy[1][1]Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối:1. Vẽ đường cong f[x, y]= 0 để tìm đường cong phân chia miền D.2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nàolà D+, miền n ào là D−, ta xét một điểm[x0, y0]bất kì, sau đó tính giá tr ị f[x0, y0].Nếu f[x0, y0]> 0 thì miền chứa[x0, y0]là D+và ngược lại.3. Sau khi xác định được các miền D+, D−, chúng ta sử dụng công thức [1] để tính tíchphân.Bài tập 2.4. TínhD|x + y|dxdy, D :[x, y]∈ R2||x 1|,|y| 1Ox1D+y1D−Hình 2.4Lời giải. Ta có:D+= D ∩{x + y 0}={−1 x 1, −x y 1}D−= D ∩{x + y 0}={−1 x 1, −1 y −x}2122 Chương 2. Tích phân bộinên:I =D+[x + y]dxdy −D−[x + y]dxdy = =83Bài tập 2.5. TínhD|y − x2|dxdy, D :[x, y]∈ R2||x| 1, 0 y 1Ox1D+y1D−Hình 2.5Lời giải.D+= D ∩[x, y]y − x2 0=−1 x 1, x2 y 1D−= D ∩[x, y]y − x2 0={−1 x 1, 0 y x}I =D+y − x2dxdy +D−x2− ydxdy = I1+ I2trong đóI1=1−1dx1x2y − x2dy =231−11 − x232dxx=sin t=43π20cos4tdt = =π4I2=1−1dxx20x2− ydy =231−1|x|3dx =4310x3dx =13Vậy I =π4+13221. Tích phân kép 23Dạng 4: Tính các tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân là miền đốixứng.Định lý 2.2.Nếu miềnDlà miền đối xứng qua tr ụ cOx[hoặc tương ứngOy] và hàm làhàm lẻ đối vớiy[hoặc tương ứng đối vớix] thìDf[x, y]dxdy = 0Định lý 2.3.Nếu miềnDlà miền đối xứng qua tr ụ cOx[hoặc tương ứngOy] và hàm làhàm chẵn đối vớiy[hoặc tương ứng đối vớix] thìDf[x, y]dxdy = 2Df[x, y]dxdytrong đóDlà phần nằm bên phải trụcOxcủaD[hoặc tương ứng phía trên của trụcOytương ứng]Định lý 2.4.Nếu miềnDlà m iền đối xứng qua trục gốc toạ độOvà hàmf[x, y]thoả mãnf[−x, −y]= −f[x, y]thìDf[x, y]dxdy = 0Bài tập 2.6. Tính|x|+|y|1|x|+|y|dxdy.Ox1y1D1Hình 2.6Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f[x, y]=|x|+|y|là hàm chẵn với x, y nênI = 4D1f[x, y]dxdy = 410dx1−x0[x + y]dy =432324 Chương 2. Tích phân bội1.3 Phép đổi biến số trong tích p hân képPhép đổi biến số tổng quátPhép đổi biến số tống quát thường được sử dụng trong trường hợ p miền D là giao củahai họ đường cong. Xét tích phân kép: I =Df[x, y]dxdy, trong đó f[x, y]liên tục trên D.Thực hiện phép đổi biến số x = x[u, v], y = y[u, v] [1]thoả mãn:• x = x[u, v], y = y[u, v]là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trongmiền đóng Duvcủa mặt phẳng Ouv.• Các công thức [1] xác định song ánh từ Duv→ D.• Định thức Jacobi J =D[x,y]D[u,v]=xuxvyuyv= 0Khi đó ta có công thức:I =Df[x, y]dxdy =Duvf[x[u, v], y[u, v]] |J|dudvChú ý:• Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền D có hình dángphức tạp về tính tích phân trên miền Duvđơn giản hơn như là hình thang cong hoặchình chữ nhật. Trong nhiều trườ ng hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơngiản biểu thức tính tích phân f[x, y].• Một điều hết sức chú ý trong việc xác định miền Duvđó là phép dổi biến số tống quátsẽ biến biên của miền D thành biến của miền Duv, biến miền D bị chặn thành miềnDuvbị chặn.• Có thể tính J thông qua J−1=D[u,v]D[x,y]=uxuyvxvy.Bài tập 2.7. Chuyển tích phân sau sang hai biến u, v:a]10dxx−xf[x, y]dxdy, nếu đặtu = x + yv = x − yb] Á p dụng tính với f[x, y]=[2 − x −y]2.24