Bài tập có lời giải lý thuyết mẫu

Bài 2: Có hai lớp 10A và 10 B mỗi lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn và số học sinh giỏi toán được cho trong bảng sau. Có một đoàn thanh tra. Hiệu trưởng nên mời vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất?

Giải

Gọi V là biến cố học sinh giỏi Văn, T là biến cố học sinh giỏi Toán.

Ta có: Lớp 10A

\[$P[V + T] = P[V] + P[T] - P[VT] = \frac{{25}}{{45}} + \frac{{30}}{{45}} - \frac{{20}}{{45}} = \frac{7}{9}$\]

Lớp 10B:

\[$P[V + T] = P[V] + P[T] - P[VT] = \frac{{25}}{{45}} + \frac{{30}}{{45}} - \frac{{10}}{{45}} = 1$\]

Vậy nên chọn lớp 10B.

Bài 3: Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10 SV giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất:

1. Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.

1. Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

1. Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.

1. Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn.

Giải

1. Gọi A là biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn.

Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn.

Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.

\[$P[C] = P[A + B] = P[A] + P[B] - P[AB] = \frac{{50}}{{100}} + \frac{{45}}{{100}} - \frac{{10}}{{100}} = 0,85$\]

1. Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

\[$P[D] = 1 - P[C] = 1 - 0,85 = 0,15$\]

1. \[$P[\overline A B + A\overline B ] = P[A] + P[B] - 2P[AB] = \frac{{50}}{{100}} + \frac{{45}}{{100}} - 2.\frac{{10}}{{100}} = 0,75$\]

1. \[$P[A\overline B ] = P[A] - P[AB] = \frac{{50}}{{100}} - \frac{{10}}{{100}} = 0,4$\]

Bài 4: Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ba bóng để dùng. Tính xác suất để:

1. Cả ba bóng đều hỏng.

1. Cả ba bóng đều không hỏng?

1. Có ít nhất một bóng không hỏng?

1. Chỉ có bóng thứ hai hỏng?

Giải

Gọi F là biến cố mà xác suất cần tìm và Ai là biến cố bóng thứ i hỏng

1. \[$P[F] = P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} \right] = P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right]P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{\rm{/}}{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right]P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}/{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}} \right] = \frac{3}{{12}}.\frac{2}{{11}}.\frac{1}{{10}} = \frac{1}{{220}}$\]

1. \[$P[F] = P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} \right] = P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right]P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{\rm{/}}{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right]P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}/{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}} \right] = \frac{3}{{12}}.\frac{2}{{11}}.\frac{1}{{10}} = \frac{1}{{220}}$\]

1. \[$P[F] = 1 - P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} \right] = 1 - \frac{1}{{220}} = \frac{{219}}{{220}}$\]

1. \[$P[F] = P\left[ {\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \,.\,{{\rm{A}}_{\rm{2}}}\,.\,\overline {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} } \right] = P\left[ {\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} } \right]P\left[ {{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{\rm{/}}\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} } \right]P\left[ {\overline {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} /\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} {{\rm{A}}_{\rm{2}}}} \right] = \frac{9}{{12}}.\frac{3}{{11}}.\frac{8}{{10}} = \frac{9}{{55}}$\]

Bài 5: Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái.

1. Tính xác suất lấy được 3 trái hư.

1. Tính xác suất lấy được 1 trái hư.

1. Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư.

1. Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.

Giải

Gọi X là số trái hư trong ba trái lấy ra.

1. \[$P[X = 3] = \frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{4}{{120}} = 0,03$\]

1. \[$P[X = 1] = \frac{{C_4^1C_6^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{{60}}{{120}} = 0,5$\]

1. \[$P[X \ge 1] = 1 - P[X < 1] = 1 - \frac{{C_6^3}}{{C_{10}^3}} = 0,83$\]

1. \[\[P[X \le 2] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] = 0,97\]\]

Mời các bạn bấm nút TẢI VỀ hoặc XEM ONLINE để tham khảo đầy đủ Bài tập môn Lý thuyết xác suất thống kê có lời giải chi tiết!

Baøi 1: Coù ba khaåu suùng I, II vaø III baén ñoäc laäp vaøo moät muïc tieâu. Moãi khaåu baén 1 vieân. Xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuaû ba khaåu I, II vaø III laàn löôït laø 0,7; 0,8 vaø 0,5. Tính xaùc suaát ñeå a] coù 1 khaåu baén truùng. b] coù 2 khaåu baén truùng. c] coù 3 khaåu baén truùng. d] ít nhaát 1 khaåu baén truùng. e] khaåu thöù 2 baén truùng bieát raèng coù 2 khaåu truùng.

Lôøi giaûi Toùm taét: Khaåu suùng I IIù III Xaùc suaát truùng 0,7 0,8 0,

Goïi Aj [j = 1, 2, 3] laø bieán coá khaåu thöù j baén truùng. Khi ñoù A 1 , A 2 , A 3 ñoäc laäp vaø giaû thieát cho ta:

11 22 33

P[A ] 0, 7; P[A ] 0, 3; P[A ] 0, 8; P[A ] 0, 2; P[A ] 0, 5; P[A ] 0, 5.

\==

\== a] Goïi A laø bieán coá coù 1 khaåu truùng. Ta coù A=++AAA AAA AAA 123 123 123 Vì caùc bieán coá A123 123 123AA,AAA,AAA xung khaéc töøng ñoâi, neân theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát ta coù 123 123 123 123 123 123

P[A] P[A A A A A A A A A ] P[A A A ] P[A A A ] P[A A A ]

\= = Vì caùc bieán coá A 1 , A 2 , A 3 ñoäc laäp neân theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù

2

123 1 2 3 123 1 2 3 123 1 233

P[A A A ] P[A ]P[A ]P[A ] 0,7, 2, 5 0, 07; P[A A A ] P[A ]P[A ]P[A ] 0, 3, 8, 5 0,12; P[A A A ] P[A ]P[A ]P[A ] 0, 3, 2, 5 0, 03.

\===

\=== Suy ra P[A] = 0,22. b] Goïi B laø bieán coá coù 2 khaåu truùng. Ta coù B AAA AAA AAA= 123 123 123 Tính toaùn töông töï caâu a] ta ñöôïc P[B] = 0,47. c] Goïi C laø bieán coá coù 3 khaåu truùng. Ta coù C AAA.= 123 Tính toaùn töông töï caâu a] ta ñöôïc P[C] = 0,28. d] Goïi D laø bieán coá coù ít nhaát 1 khaåu truùng. Ta coù DABC.= Chuù yù raèng do A, B, C xung khaéc töøng ñoâi, neân theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát ta coù: P[D] = P[A] + P[B] + P[C] = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97. e] Gæa söû coù 2 khaåu truùng. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå khaåu thöù 2 truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 2 /B]. Theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù: P[A 2 B] = P[B]P[A 2 /B] Suy ra 2 2 P[A /B] P[A B]. P[B]

\=

Maø A 2123123 BAAA AAA=+ neân lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc P[A 2 B]=0, Suy ra P[A 2 /B] =0,851.

Baøi 1 : Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 10 bi, trong ñoù hoäp I goàm 9 bi ñoû, 1 bi traéng; hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp 2 bi. a] Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 4 bi ñoû. b] Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng. c] Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. d] Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Haõy tìm xaùc suaát ñeå bi traéng coù ñöôïc cuûa hoäp I.

5

A = T 1 T 2 T 3.

Suy ra P[A] = P[T 1 T 2 T 3 ] = P[T 1 ] P[T 2 /T 1 ] P[T 3 / T 1 T 2 ] = [6/10][5/9][4/8] = 0,1667.

1. Goïi B laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Ta coù:

B = X 1 T 2 T 3 T 4 + T 1 X 2 T 3 T 4 + T 1 T 2 X 3 T 4.

Suy ra P[B] = P[X 1 T 2 T 3 T 4 ] + P[T 1 X 2 T 3 T 4 ] + P[T 1 T 2 X 3 T 4 ] = P[X 1 ] P[T 2 /X 1 ] P[T 3 /X 1 T 2 ] P[T 4 /X 1 T 2 T 3 ]

• P[T 1 ] P[X 2 /T 1 ] P[T 3 /T 1 X 2 ] P[T 4 /T 1 X 2 T 3 ]
• P[T 1 ] P[T 2 /T 1 ] P[X 3 / T 1 T 2 ] P[T 4 / T 1 T 2 X 3 ] = [4/10][6/9][5/8][4/7] + [6/10][4/9][5/8][4/7]+[6/10][5/9][4/8][4/7] = 3[4/10][6/9][5/8][4/7] = 0,2857.

1. Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng gaëp saûn phaåm xaáu trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P[X 3 /B]. Theo Coâng thöùc nhaân xaùc suaát , ta coù P[X B] P[B]P[X /B] 33 =.

Suy ra 3 3

P[X B] P[X /B] P[B]

\=.

Maø X 3 B = T 1 T 2 X 3 T 4 neân P[X 3 B] = P[T 1 T 2 X 3 T 4 ] = P[T 1 ] P[T 2 /T 1 ] P[X 3 / T 1 T 2 ] P[T 4 / T 1 T 2 X 3 ] = [6/10][5/9][4/8][4/7] = 0,0952.

Suy ra P[X 3 /B] = 0,3333.

Baøi 1 : Moät hoäp bi goàm 5 bi ñoû, 4 bi traéng vaø 3 bi xanh coù cuøng côõ. Töø hoäp ta ruùt ngaãu nhieân khoâng hoøan laïi töøng bi moät cho ñeán khi ñöôïc bi ñoû thì döøng laïi. Tính xaùc suaát ñeå a] ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû. b] khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra.

6

Lôøi giaûi

Goïi Di, Ti, Xi laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc bi ñoû, bi traéng, bi xanh ôû laàn ruùt thöù i.

1. Goïi A laø bieán coá ruùt ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû. Ta coù:

A xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc

TTXD TXTD XTTD

⎡ −−− ⎢ −−− ⎢ ⎢⎣ −−− Suy ra A = T 1 T 2 X 3 D 4 + T 1 X 2 T 3 D 4 + X 1 T 2 T 3 D 4 Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù: P[A] = P[T 1 T 2 X 3 D 4 ]+ P[T 1 X 2 T 3 D 4 ] + P[X 1 T 2 T 3 D 4 ] Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù P[T 1 T 2 X 3 D 4 ] = P[T 1 ]P[T 2 /T 1 ]P[X 3 /T 1 T 2 ]P[D 4 /T 1 T 2 X 3 ] = [4/12][3/11][3/10][5/9] = 1/66;

P[T 1 X 2 T 3 D 4 ] = P[T 1 ]P[X 2 /T 1 ]P[T 3 /T 1 X 2 ]P[D 4 /T 1 X 2 T 3 ] = [4/12][3/11][3/10][5/9] = 1/66;

P[X 1 T 2 T 3 D 4 ] = P[X 1 ]P[T 2 /X 1 ]P[T 3 /X 1 T 2 ]P[D 4 /X 1 T 2 T 3 ] = [3/12][4/11][3/10][5/9] = 1/66.

Suy ra P[A] = 3/66 = 1/22 = 0,0455.

1. Goïi B laø bieán coá khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra. Ta coù:

B xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc

D XD XXD X XXD

⎡ ⎢ − ⎢ ⎢ −− ⎢ −−− ⎣

Suy ra B = D 1 + X 1 D 2 + X 1 X 2 D 3 + X 1 X 2 X 3 D 4

Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:

P[B] = P[D 1 ]+ P[X 1 D 2 ] + P[X 1 X 2 D 3 ] + P[X 1 X 2 X 3 D 4 ] Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù

7

P[B] = P[D 1 ] + P[X 1 ]P[D 2 /X 1 ] + P[X 1 ]P[X 2 /X 1 ]P[D 3 /X 1 X 2 ]

• P[X 1 ]P[X 2 /X 1 ]P[X 3 /X 1 X 2 ]P[D 4 /X 1 X 2 X 3 ]

\= 5/12+ [3/12][5/11] + [3/12][2/11][5/10] + [3/12][2/11][1/10][5/9]

\= 5/

Baøi 1 : Saûn phaåm X baùn ra ôû thò tröôøng do moät nhaø maùy goàm ba phaân xöôûng I, II vaø III saûn xuaát, trong ñoù phaân xöôûng I chieám 30%; phaân xöôûng II chieám 45% vaø phaân xöôûng III chieám 25%. Tæ leä saûn phaåm loaïi A do ba phaân xöôûng I, II vaø III saûn xuaát laàn löôït laø 70%, 50% vaø 90%. a] Tính tæ leä saûn phaåm loïai A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát. b] Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát? c] Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X [trong raát nhieàu saûn phaåm X] ôû thò tröôøng. 1] Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A. 2] Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A.

Lôøi giaûi

Toùm taét: Phaân xöôûng I II III Tæ leä saûn löôïng 30% 45% 25% Tæ leä loaïi A 70% 50% 90%

1. Ñeå tính tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát ta choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm ôû thò tröôøng. Khi ñoù tæ leä saûn phaåm loaïi A chính laø xaùc suaát ñeå saûn phaåm ñoù thuoäc loaïi A.

Goïi B laø bieán coá saûn phaåm choïn mua thuoäc loaïi A. A 1 , A 2 , A 3 laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm do phaân xöôûng I, II, III saûn xuaát. Khi ñoù A 1 , A 2 , A 3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø P[A 1 ] = 30% = 0,3; P[A 2 ] = 45% = 0,45; P[A 3 ] = 25% = 0,25. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù: P[B] = P[A 1 ]P[B/A 1 ] + P[A 2 ]P[B/A 2 ] + P[A 3 ]P[B/A 3 ]

Theo giaû thieát, P[B/A 1 ] = 70% = 0,7; P[B/A 2 ] = 50% = 0,5; P[B/A 3 ] = 90% = 0,9.

8

Suy ra P[B] = 0,66 = 66%. Vaäy tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát laø 66%.

1. Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát?

Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù, ñeå bieát saûn phaåm loaïi A ñoù coù khaû naêng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát ta caàn so saùnh caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 1 /B], P[A 2 /B] vaø P[A 3 /B]. Neáu P[Ai/B] laø lôùn nhaát thì saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân xöôûng thöù i saûn xuaát ra laø nhieàu nhaát. Theo coâng thöùc Bayes ta coù:

1 11

22 2

33 3

P[A /B] P[A ]P[B/A ] 0, 3, 7 21; P[B] 0, 66 66

P[A /B] P[A ]P[B/A ] 0, 45, 5 22, 5; P[B] 0, 66 66 P[A ]P[B/A ] 0, 25, 9 22, 5 P[A /B]. P[B] 0, 66 66

\===

\===

\===

Vì P[A 2 /B] = P[A 3 /B] > P[A 1 /B] neân saûn phaåm loaïi A aáy coù khaû naêng do phaân xöôûng II hoaëc III saûn xuaát ra laø nhieàu nhaát.

1. Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X [trong raát nhieàu saûn phaåm X] ôû thò tröôøng. 1] Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A. 2] Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A.

Aùp duïng coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 121, p = 0,66, ta coù:

1. Xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A laø

80 80 41 80 80 41 P [80] C p q 121 == 121 C [0, 66] [0, 34] 121 =0, 076.

1. Xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A laø

8585 k k 121 k 85 k k 121 k 121 121 121 k80 k80 k

P [k] C p q −−C [0, 66] [0, 34] 0, 3925. == =

∑∑ ∑== =

11

Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù: P[A]=P[A 0 ]P[A/A 0 ]+P[A 1 ]P[A/A 1 ]+P[A 2 ]P[A/A 2 ]+P[A 3 ]P[A/A 3 ] Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù 31 0 510 4 15 31 69 1 4 15 31 78 2 4 15 31 3 87 4 15

100 P[A / A ] ; 1365

180 P[A / A ] ; 1365

P[A / A ] 280 ; 1365

392 P[A / A ]. 1365

\==

\==

\==

\==

Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P[A] = 0,2076.

1. Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc suaát ñeå trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi ñoû vaø 1 bi traéng.

Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do doù xaùc suaát ñeå trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi ñoû vaø 1 bi traéng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 2 /A]. Aùp duïng coâng thöùc Bayes, ta coù:

22 2

112 280 P[A ]P[A/A ]. P[A /A] 220 1365 0, 5030. P[A] 0, 2076

\===

Vaäy xaùc suaát caàn tìm laø P[A 2 /A] = 0,5030.

Baøi 1 : Coù ba hoäp moãi hoäp ñöïng 5 vieân bi trong ñoù hoäp thöù nhaát coù 1 bi traéng, 4 bi ñen; hoäp thöù hai coù 2 bi traéng, 3 bi ñen; hoäp thöù ba coù 3 bi traéng, 2 bi ñen. a] Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp moät bi. 1] Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû 3 bi traéng. 2] Tính xaùc suaát ñöôïc 2 bi ñen, 1 bi traéng. 3] Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéngính xaùc suaát ñeå bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát. b] Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi. Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen.

12

Lôøi giaûi

1. Goïi Aj [j = 1, 2, 3] laø bieán coá laáy ñöôïc bi traéng töø hoäp thöù j. Khi ñoù A 1 , A 2 , A 3 ñoäc laäp vaø

11

22

33

P[A ] 14 ; P[A ] ; 55

P[A ] 23 ; P[A ] ; 55

P[A ] 32 ; P[A ]. 55

\==

\==

\==

1. Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi traéng. Ta coù A=AAA. 123 Suy ra P[A] = P[A 1 ] P[A 2 ] P[A 3 ] = 0,048.
2. Goïi B laø bieán coá laáy 2 bi ñen, 1 bi traéng. Ta coù B AAA AAA AAA=++ 123 123 123 Suy ra P[B] =0,.
3. Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 1 /B]. Theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù: P[A 1 B] = P[B]P[A 1 /B] Suy ra P[A /B] 1 P[A B] 1. P[B]

\=

Maø A 1123 BAAA= neân lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc P[A 1 B] = 0,048. Suy ra P[A 1 /B] =0,. b] Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi. Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen.

Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi ñen. A 1 , A 2 , A 3 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc hoäp I, II, III. Khi ñoù A 1 , A 2 , A 3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø P[A 1 ] = P[A 2 ] = P[A 3 ] = 1/3. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù: P[A] = P[A 1 ]P[A/A 1 ] + P[A 2 ]P[A/ A 2 ]+ P[A 3 ]P[A/A 3 ] Theo coâng thöùc xaùc suaát löïa choïn, ta coù:

13

03140323 12333 55

P[A/A ] = CC 41 ; P[A/A ] = CC ; P[A/A ] =0. CC 1010

\==

Suy ra P[A] = 0,1667.

Baøi 1 : Coù 20 hoäp saûn phaåm cuøng loïai, moãi hoäp chöùa raát nhieàu saûn phaåm, trong ñoù coù 10 hoäp cuûa xí nghieäp I, 6 hoäp cuûa xí nghieäp II vaø 4 hoäp cuûa xí nghieäp III. Tæ leä saûn phaåm toát cuûa caùc xí nghieäp laàn löôït laø 50%, 65% vaø 75%. Laáy ngaãu nhieân ra moät hoäp vaø choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm töø hoäp ñoù. a] Tính xaùc suaát ñeå trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaåm toát. b] Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm toát. Tính xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa xí nghieäp I.

Lôøi giaûi

Goïi A laø bieán coá trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaåm toát. Aj [j = 1, 2, 3] laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp cuûa xí nghieäp thöù j. Khi ñoù A 1 , A 2 , A 3 laø moät ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: 1 1 10 1 20 1 6 2 1 20 1 3 4 1 20

10 P[A ] ; 20

6 P[A ] ; 20

P[A ] 4. 20

\==

\==

\==

Maët khaùc, töø giaû thieát, theo coâng thöùc Bernoulli, ta coù 22 13 22 23 22 33

P[A / A ] C [0, 5] [1 0, 5] 0, 375 P[A / A ] C [0, 65] [1 0, 65] 0, 443625 P[A / A ] C [0,75] [1 0, 25] 0, 421875

\=−= =−= =−=

Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P[A] = P[A 1 ]P[A/A 1 ] + P[A 2 ]P[A/A 2 ] + P[A 3 ]P[A/A 3 ] = [10/20].0,375 + [6/20]. 0,443625 + [4/20]. 0,421875 = 0,4050. b] Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm toát. Khi ñoù, bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa xí nghieäp I chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 1 /A].

14

Aùp duïng Coâng thöùc Bayes vaø söû duïng keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû caâu a] ta coù 11 1 P[A /A] P[A ]P[A/A ] [10/20].0,375 0, 4630. P[A] 0,

\===

Baøi 1 : Coù 10 sinh vieân ñi thi, trong ñoù coù 3 thuoäc loaïi gioûi, 4 khaù vaø 3 trung bình. Trong soá 20 caâu hoûi thi qui ñònh thì sinh vieân loïai gioûi traû lôøi ñöôïc taát caû, sinh vieân khaù traû lôøi ñöôïc 16 caâu coøn sinh vieân trung bình ñöôïc 10 caâu. Goïi ngaãu nhieân moät sinh vieân vaø phaùt moät phieáu thi goàm 4 caâu hoûi thì anh ta traû lôøi ñöôïc caû 4 caâu hoûi. Tính xaùc suaát ñeå sinh vieân ñoù thuoäc loaïi khaù.

Lôøi giaûi Toùm taét:

Xeáp loaïi sinh vieân Gioûi Khaù Trung bình Soá löôïng 3 4 3 Soá caâu traû lôøi ñöôïc/20 20 16 10

Goïi A laø bieán coá sinh vieân traû lôøi ñöôïc caû 3 caâu hoûi. A 1 , A 2 , A 3 laàn löôït laø caùc bieán coá sinh vieân thuoäc loaïi Gioûi, Khaù; Trung bình.

Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 2 /A].

Caùc bieán coá A 1 , A 2 , A 3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi, vaø ta coù: P[A 1 ] = 3/10; P[A 2 ] = 4/10; P[A 3 ] = 3/10. Theo coâng thöùc Bayes, ta coù 22 2

P[A ]P[A/A ] P[A /A]. P[A]

\=

Maët khaùc, theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P[A] = P[A 1 ]P[A/A 1 ] + P[A 2 ]P[A/A 2 ] + P[A 3 ]P[A/A 3 ]. Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù: 4 1 20 4 20 40 2 16 4 4 20 40 10 10 3 4 20

C P[A / A ] 1; C

P[A / A ] C C 1820 ; C

P[A / A ] CC 210. C

\==

\==

\==

17

Maø 20 46 11 2 10 20 12 57 2 12

P[A / B ] 6 ; 45

P[A / B ] 10. 66

\==

\==

neân P[A 1 ] = 47/330. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P[A 1 A 2 ] = P[B 1 ] P[A 1 A 2 / B 1 ] + P[B 2 ] P[A 1 A 2 / B 2 ]. Maø

12 1 1 1 2 11

12 2 1 2 2 12

P[A A / B ] P[A / B ]P[A / A B ] 62 1; 45 8 30

P[A A /B ] P[A /B ]P[A /A B ] 10 3 1. 66 10 22

\===

\===

neân P[A 1 A 2 ] = 13/330. Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P[A 2 /A 1 ] =13/47= 0,2766.

Baøi 1 : Moät loâ haøng goàm a saûn phaåm loaïi I vaø b saûn phaåm loaïi II ñöôïc ñoùng gôùi ñeå göûi cho khaùch haøng. Nôi nhaän kieåm tra laïi thaáy thaát laïc 1 saûn phaåm. Choïn ngaãu nhieân ra 1 saûn phaåm thì thaáy ñoù laø saûn phaåm loaïi I. Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm thaát laïc cuõng thuoäc loaïi I.

Lôøi giaûi

Goïi A laø bieán coá saûn phaåm ñöôïc choïn ra thuoäc loïai I. A 1 , A 2 laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm thaát laïc thuoäc loaïi I, loaïi II. Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 1 /A]. Ta thaáy A 1 , A 2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø 10 01 ab ab 1211 ab ab

CC abCC P[A ] ; P[A ]. Cab++Cab

\== == ++

Theo coâng thöùc Bayes, ta coù

1 11 11 1122

P[A / A] P[A ]P[A / A ] P[A ]P[A / A ] ==P[A] P[A ]P[A / A ] P[A ]P[A / A ]+

Maø

10 a1 b 10 a b 1211 ab1 ab

CC a1 CC a P[A / A ] ; P[A / A ]. C a b1 C a b

−− +− +−

− == == +− +− neân

18

1

aa1. P[A / A] abab1 a aa1 b a.. abab1abab

− ==++− − − + +−

• +− + +−

Baøi 1 : Coù 3 hoäp phaán, trong ñoù hoäp I chöùa 15 vieân toát vaø 5 vieân xaáu, hoäp II chöùa 10 vieân toát vaø 4 vieân xaáu, hoäp III chöùa 20 vieân toát vaø 10 vieân xaáu. Ta gieo moät con xuùc xaéc caân ñoái. Neáu thaáy xuaát hieän maët 1 chaám thì ta choïn hoäp I; neáu xuaát hieän maët 2 hoaëc 3 chaám thì choïn hoäp II, coøn xuaát hieän caùc maët coøn laïi thì choïn hoäp III. Töø hoäp ñöôïc choïn laáy ngaãu nhieân ra 4 vieân phaán. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ít nhaát 2 vieân toát.

Lôøi giaûi

Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc ít nhaát 2 vieân phaán toát. Aj [j =1,2, 3] laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp thöù j. Khi ñoù A 1 , A 2 , A 3 laø heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:

• A 1 xaûy ra khi vaø chæ khi thaûy con xuùc xaéc, xuaát hieän maët 1 chaám, do ñoù P[A 1 ] = 1/6.
• Töông töï, P[A 2 ] = 2/6; P[A 3 ] = 3/6.

Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P[A] = P[A 1 ]P[A/A 1 ] + P[A 2 ]P[A/A 2 ] + P[A 3 ]P[A/A 3 ]. Töø giaû thieát ta coù: 22 31 40 15 5 15 5 15 5 1 444 20 20 20 22 31 40 10 4 10 4 10 4 2444 14 14 14 22 31 40 20 10 20 10 20 10 3444 30 30 30

P[A / A ] C C C C C C 4690 ; C C C 4845 CC CC CC 960 P[A / A ] ; C C C 1001 C C C C C C 24795 P[A / A ]. C C C 27405

\=++=

\=++=

\=++=

Suy ra P[A] =0,9334.

Baøi 1 : Coù hai kieän haøng I vaø II. Kieän thöù nhaát chöùa 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A. Kieän thöù hai chöùa 20 saûn phaåm, trong ñoù coù 4 saûn phaåm loaïi A. Laáy töø moãi kieän 2 saûn phaåm. Sau ñoù, trong 4 saûn phaåm thu ñöôïc choïn ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 2 saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A.

Lôøi giaûi

19

Goïi C laø bieán coá trong 2 saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A. Aj [j = 0, 1, 2, 3, 4 ] laø bieán coá coù j saûn phaåm loïai A vaø [4-j] saûn phaåm loïai B coù trong 4 saûn phaåm laáy töø hai kieän I vaø II. Khi ñoù A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù

P[C] = P[A 0 ]P[C/A 0 ] + P[A 1 ]P[C/A 1 ] + P[A 2 ]P[C/A 2 ] + P[A 3 ]P[C/A 3 ]

• P[A 4 ]P[C/A 4 ].

Ta coù:

0 11 13 12 4 11 22 22 4 11 3 31 2 4 4

P[C/A ] = 0; CC 3 P[C/A ] = C 6 CC 4 P[C/A ] = C 6 CC 3 P[C/A ] = C 6 P[C/A ] =0.

\=

\=

\=

Baây giôø ta tính P[A 1 ]; P[A 2 ]; P[A 3 ]. Goïi Bi , Ci [i = 0, 1, 2] laàn löôït laø caùc bieán coá coù i sp A vaø [2 - i] sp B coù trong 2 sp ñöôïc choïn ra töø kieän I, kieän II. Khi ñoù

• B 0 , B 1 , B 2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: 02 82 0 2 10 11 82 1 2 10 20 2 82 2 10

1 P[B ] ; 45

P[B ] 16 ; 45

28 P[B ]. 45

\==

\==

\==

• C 0 , C 1 , C 2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:

20

02 416 0 2 20 11 1 416 2 20 20 416 2 2 20

P[C ] 120 ; 190

64 P[C ] ; 190

6 P[C ] ; 190

\==

\==

\==

• Bi vaø Cj ñoäc laäp.
• Toång soá sp A coù trong 4 sp choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Bi vaø Cj theo baûng sau:

C 0 C 1 C 2 B 0 0 1 2 B 1 1 2 3 B 2 2 3 4

Ta coù: A 1 = B 0 C 1 + B 1 C 0. A 2 = B 0 C 2 + B 1 C 1 + B 2 C 0. A 3 = B 1 C 2 + B 2 C 1. Töø ñaây, nhôø caùc coâng thöcù coäng vaø nhaân xaùc suaát ta tính ñöôïc:

P[A 1 ] = 0,2320 ; P[A 2 ] = 0,5135 ; P[A 3 ] = 0,.

Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P[C] = 0,5687.

Baøi 1 : Moät xaï thuû baén 10 vieân ñaïn vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát ñeå 1 vieân ñaïn baén ra truùng muïc tieâu laø 0,8. Bieát raèng: Neáu coù 10 vieân truùng thì muïc tieâu chaéc chaén bò dieät. Neáu coù töø 2 ñeán 9 vieân truùng thì muïc tieâu bò dieät vôiù xaùc suaát 80%. Neáu coù 1 vieân truùng thì muïc tieâu bò dieät vôùi xaùc suaát 20%. a] Tính xaùc suaát ñeå muïc tieâu bò dieät. b] Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Tính xaùc suaát coù 10 vieân truùng.

Lôøi giaûi Toùm taét:

• Soá vieân baén ra: 10 vieân.
• Xaùc suaát truùng cuûa moãi vieân: 0,8.

23

1. Goïi D laø bieán coá coù 2 saûn phaåm loaïi A trong 5 saûn phaåm coù ñöôïc. Giaû söû trong 5 saûn phaåm treân coù 2 saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá D ñaõ xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy saûn xuaát chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P[A 2 /D]. Theo coâng thöùc nhaân xaùc suaát ta coù: P[A /D] 2 P[A D] 2. P[D]

\=

Nhaän xeùt raèng toång soá saûn phaåm loaïi A coù trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Ai vaø Bj theo baûng sau:

B 0 B 1 B 2 B 3 A 0 0 1 2 3 A 1 1 2 3 4 A 2 2 3 4 5 Suy ra D = A 0 B 2 + A 1 B 1 + A 2 B 0 vaø A 2 D = A 2 B 0.

Töø ñaây, ta tính ñöôïc P[D] = 0,236 ; P[A 2 D] = 0,012. Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø

P[A 2 /D] = 0,0508.

Baøi 1 : Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 60% saûn phaåm toát, trong ñoù loâ I chöùa 15 saûn phaåm, loâ II chöùa raát nhieàu saûn phaåm. Töø loâ II laáy ra 3 saûn phaåm boû vaøo loâ I, sau ñoù töø loâ I laáy ra 2 saûn phaåm. a] Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. b] Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát coù trong loâ I töø tröôùc. c] Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Tính xaùc suaát ñaõ laáy ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II. Lôøi giaûi

Goïi Aj [j = 0,1, 2, 3] laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø [3-j] saûn phaåm xaáu coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ II. Khi ñoù A 0 , A 1 , A 2 , A 3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù: 003 3 03 13112 1 2 23221 2 1 330 3 33

P[A ] C p q [0, 4] 0, 064; P[A ] C p q 3[0, 6] [0, 4] 0, 288; P[A ] C p q 3[0, 6] [0, 4] 0, 432; P[A ] C p q [0, 6] 0, 216.

\=== == = == = ===

24

1. Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:

P[A] = P[A 0 ]P[A/A 0 ] + P[A 1 ]P[A/A 1 ] + P[A 2 ]P[A/A 2 ] + P[A 3 ]P[A/A 3 ].

Töø giaû thieát ta suy ra trong loâ I coù 15% = 9 sp toát vaø 6 sp xaáu. Do ñoù theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù: 11 0 99 2 18 11 1 10 8 2 18 11 11 7 2 2 18 11 12 6 32 18

CC 81 P[A / A ] ; C

P[A / A ] CC 80 ; C

P[A / A ] CC 77; C CC 72 P[A / A ]. C

\==

\==

\==

\==

Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P[A] = 0,

1. Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát coù trong loâ I töø tröôùc. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:

P[B] = P[A 0 ]P[B/A 0 ] + P[A 1 ]P[B/A 1 ] + P[A 2 ]P[B/A 2 ] + P[A 3 ]P[B/A 3 ].

Ta coù: 11 0 99 2 18 11 98 1 2 18 11 97 2 2 18 11 96 32 18

P[B / A ] CC 81 ; C

P[B / A ] CC 72 ; C CC 63 P[B / A ] ; C CC 54 P[B / A ]. C

\==

\==

\==

\==

Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P[B] = 0,4235.

1. Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñaõ laáy ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II trong tröôøng hôïp naøy chính laø XS coù ñieàu kieän P[A 2 /A]. Theo coâng thöùc Bayes, ta coù:

25

22 2

0, 432. 77 P[A / A] P[A ]P[A / A ] 153 0, 4318. P[A] 0, 5035

\===

-- * -

3

Vaäy laùi xe phaûi chôû ít nhaát laø 223 chuyeán.

Baøi 2 : Moät maùy tính goàm 1000 linh kieän A, 800 linh kieän B vaø 2000 linh kieän C. Xaùcsuaát hoûng cuûa ba linh kieän ñoù laàn löôït laø 0,02%; 0,0125% vaø 0,005%. Maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng nhieàu hôn 1. Caùc linh kieän hoûng ñoäc laäp vôùi nhau. a] Tính xaùcsuaát ñeå coù ít nhaát 1 linh kieän B bò hoûng. b] Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng. c] Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng.

Lôøi giaûi Toùm taét: Loaïi linh kieän A B C Soá löôïng/1maùy 1000 800 2000 Xaùc suaát 1linh kieän hoûng 0,02% 0,0125% 0,005%

• Goïi X 1 laø ÑLNN chæ soá linh kieän A bò hoûng trong moät maùy tính. Khi ñoù, X 1 coù phaân phoái nhò thöùc X 1 ∼ B[n 1 ,p 1 ] vôùi n 1 = 1000 vaø p 1 = 0,02% = 0,0002. Vì n 1 khaù lôùn vaø p 1 khaù beù neân ta coù theå xem X 1 coù phaân phaân phoái Poisson: X 1 ∼ P[a 1 ] vôùi a 1 = n 1 p 1 = 1000,0002 =0,2, nghóa laø

X 1 ∼ P[0,2].

• Töông töï, goïi X 2 , X 3 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá linh kieän B, C bò hoûng trong moät maùy tính. Khi ñoù, X 2 , X 3 coù phaân phoái Poisson nhö sau:

X 2 ∼ P[800,0125%] = P[0,1];

X 3 ∼ P[2000,005%] = P[0,1].

1. Xaùc suaát coù ít nhaát 1 linh linh kieän B bò hoûng laø:

0,1 0 0, 22 P[X 1] 1 P[X 0] 1 e [0, 1] 1 e 0, 0952. 0!

− − ≥ =− = =− =− =

1. Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng.

4

Theo giaû thieát, maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng nhieàu hôn 1, nghóa laø khi X 1 + X 2 + X 3 > 1.

Vì X 1 ∼ P[0,2];X 2 ∼ P[0,1]; X 3 ∼ P[0,1] neân X 1 + X 2 + X 3 ∼ P[0,2+0,1 + 0,1] = P[0,4]

Suy ra xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng laø:

P[X 1 + X 2 + X 3 > 1] = 1 - P[X 1 + X 2 + X 3 ≤ 1] = 1- [P[X 1 + X 2 + X 3 = 0] + P[X 1 + X 2 + X 3 = 1]] = e[0,4] e[0,4]0,4 0 0,4 1 1 0! 1!

−− −−

\= 1-1,4-0,4 = 0,0615 = 6,15%.

1. Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Khi ñoù maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi coù theâm ít nhaát 1 linh kieän hoûng nöõa, nghóa laø khi

X 1 + X 2 + X 3 ≥ 1.

Suy ra xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng trong tröôøng hôïp naøy laø:

P[X 1 + X 2 + X 3 ≥ 1] = 1 - P[X 1 + X 2 + X 3 < 1] = 1- P[X 1 + X 2 + X 3 = 0]

\=

e[0,4]0,4 0 1 0!

− − = 1-e-0,4 = 0,3297 = 32,97%.

Baøi 2 : Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm ñöôïc quan saùt laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình 50kg vaø phöông sai 100kg 2. Nhöõng saûn phaåm coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 70kg ñöôïc xeáp vaøo loaïi A. Choïn ngaãu nhieân 100 saûn phaåm [trong raát nhieàu saûn phaåm]. Tính xaùc suaát ñeå a] coù ñuùng 70 saûn phaåm loaïi A. b] coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A. c] coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A.

Lôøi giaûi

Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A.

5

Goïi X 0 laø troïng löôïng cuûa loaïi saûn phaåm ñaõ cho. Töø giaû thieát ta suy ra X 0 coù phaân phoái chuaån X 0 ∼ N[μ 0 , σ 02 ] vôùi μ 0 = 50, σ 02 = 100 [σ 0 = 10]. Vì moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi A khi coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 70kg neân xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A laø P[45 ≤ X 0 ≤ 70].

Ta coù

0 00 00

70 45 70 50 45 50 P[45 X 70] [ ] [ ] [ ] [ ] 10 10 [2] [ 0, 5] [2] [0, 5] 0, 4772 0,1915 0, 6687.

−μ −μ − − ≤ ≤ =φ −φ =φ −φ σσ =φ −φ− =φ +φ = + =

[Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc φ [2] = 0,4772; φ [0,5] = 0,1915].

Vaäy xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A laø p =0,6687.

Baây giôø, kieåm tra 100 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong 100 saûn phaåm ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B[n,p] vôùi n = 100, p = 0,6687. Vì n = 100 khaù lôùn vaø p = 0,6687 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau: X ∼ N[μ, σ 2 ] vôùi μ = np = 100,6687 = 66,87; σ= npq=100, 6687.[1 0, 6687] 4, 7068.− =

1. Xaùc suaát ñeå coù 70 saûn phaåm loaïi A laøø: 1 70 1 70 66, 87 P[X 70] f[ ] f[ ] 4, 7068 4, 7068 1 0, 3209 f [0, 66] 0, 0681 6, 81%. 4, 7068 4, 7068

−μ − == = σσ

\====

[Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f[0,66] = 0,3209].

1. Xaùc suaát ñeå coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A laø:

P[0X60][ ][ ][ 600 6066,87][066,87] 4,7068 4, [ 1, 46] [ 14, 21] [1, 46] [14, 21] [1, 46] [5] 0, 4279 0, 5 0, 0721 7, 21%.

≤≤ =φ−μ−φ =φ−μ −−−φ σσ =φ− −φ− =−φ +φ =−φ +φ =− + = =

[Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc φ [14,21] = φ [5] = 0,5; φ[1,46] = 0,4279].

6

1. Xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A laø:

P [65 X 100] [ 100 ] [ 65 ] [100 66, 87] [65 66, 87] 4,7068 4, [7, 0388] [ 0, 40] [5] [0, 4] 0, 5 0,1554 0, 6554 65, 54%.

≤ ≤ =φ −μ−φ −μ =φ −−−φ σσ =φ −φ− =φ +φ = + = = [Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc φ [7,7068]≈ φ [5] = 0,5; φ[0,4] = 0,1554].

Baøi 2 : Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi kieän goàm 14 saûn phaåm trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 6 saûn phaåm loaïi B. Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 4 saûn phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm thuoäc loaïi A nhieàu hôn soá saûn phaåm thuoäc loaïi B thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 100 kieän [trong raát nhieàu kieän]. Tính xaùc suaát ñeå a] coù 42 kieän ñöôïc nhaän. b] coù töø 40 ñeán 45 kieän ñöôïc nhaän. c] coù ít nhaát 42 kieän ñöôïc nhaän. Lôøi giaû i

Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän. Theo giaû thieát, moãi kieän chöùa 14 saûn phaåm goàm 8A vaø 6B. Töø moãi kieän laáy ra 4 saûn phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm A nhieàu hôn soá saûn phaåm B, nghóa laø ñöôïc 3A,1B hoaëc 4A, thì môùi nhaän kieän ñoù. Do ñoù xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø:

31 4 0 86 86 44444 14 14

CC CC P [3 k 4] P [3] P [4] 0, 4056 CC

≤≤ = + = + =

Vaäy xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,4056.

Baây giôø, kieåm tra 100 kieän. Goïi X laø soá kieän ñöôïc nhaän trong 100 kieän ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B[n,p] vôùi n = 100, p = 0,4056. Vì n = 100 khaù lôùn vaø p = 0,4056 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau: X ∼ N[μ, σ 2 ] vôùi μ = np = 100,4056 = 40,56; σ= npq=100, 4056.[1 0, 4056] 4, 9101.− =

1. Xaùc suaát ñeå coù 42 kieän ñöôïc nhaän laøø:

9

Bieán coá ñoái laäp cuûa D laø D: khoâng coù kieän naøo ñöôïc nhaän. Theo chöùng minh treân, xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,3622. Do ñoù Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù: P[D] 1 P[D] 1 q=− =− =− −nnn1 [1 0, 3622] =−1 [0, 6378].

Suy ra n n

P[D] 0, 95 1 [0, 6378] 0, 95 [0, 6378] 0, 05 n ln[0, 6378] ln 0, 05 ln 0, 05 n 6, 6612 ln[0, 6378] n7.

≥⇔− ≥ ⇔≤ ⇔≤

⇔≥ ≈

⇔≥

Vaäy phaûi kieåm tra ít nhaát 7 kieän.

Baøi 2 : Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø 80% vaø moät maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naøy vôùi tæ leä saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø 60%. Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát 100 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå a] coù 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. b] coù töø 70 ñeán 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. c] coù khoâng ít hôn 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.

Lôøi giaûi

Goïi X laø ÑLNN chæ soá saûn phaåm ñaït tieâu chuaån trong 100 saûn phaåm. A 1 , A 2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2. Khi ñoù A 1 , A 2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: P[A 1 ] = P[A 2 ] = 0,5. Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:

112 2

12

P[X = k] = P[A ]P[X=k/A ] + P[A ]P[X= k/A ]

\=P[X=k/A]+P[X=k/A] 11 22

[1]

Nhö vaäy, goïi X 1 , X 2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá saûn phaåm loaïi A coù trong 100 saûn phaåm ñöôïc saûn xuaát trong tröôøng hôïp choïn ñöôïc maùy I, maùy II. Khi ñoù: - [1] cho ta 12 P[Y = k] = P[X =k]+ P[X =k] 11 22 - X 1 coù phaân phoái nhò thöùc X 1 ∼ B[n 1 ,p 1 ] vôùi n 1 = 100, p 1 = 0,6. Vì n 1 = 100 khaù lôùn vaø p 1 = 0,6 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X 1 coù phaân phoái chuaån nhö sau: X 1 ∼ N[μ 1 , σ 12 ] vôùi μ 1 = n 1 p 1 = 100,6 = 60; σ= 1111 n p q =100, 6, 4 4, 8990.= - X 2 coù phaân phoái nhò thöùc X 2 ∼ B[n 2 ,p 2 ] vôùi n 2 = 100, p 2 = 0,7. Vì n 2 = 100 khaù lôùn vaø p 2 = 0,7 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X 2 coù phaân phoái chuaån nhö sau: X 2 ∼ N[μ 2 , σ 22 ] vôùi μ 1 = n 2 p 2 = 100,7 = 70; σ= 2222 n p q =100, 7, 3 4, 5826.=