Đại số tuyến tính là một kiến thức toán học cao cấp bậc đại học. Đây là một dạng toán khó và trải qua nhiều bước giải để ra đáp số. Cùng tham khảo các dạng bài tập sau đây nhé.
1. Ma trận
Trong mục này, các em sẽ làm quen với các bài tập về ma trận liên quan đến các khái niệm ma trận nghịch đảo, ma trân vuông, ma trận vuông cấp n, ma trận đơn vị, ma trận thông qua việc thực hành các dạng bài chứng minh, tính lũy thừa bậc n của một ma trận. Dưới đây là những bài tập dễ gặp nên các em hãy lưu ý luyện tập nhiều lần để nhớ cách làm cũng như các khái niệm liên quan.
2. Định thức
Trong mục này các em sẽ được gặp các bài tập về định thức của các ma trận từ cơ bản đến nâng cao. Những khái niệm về phần bù đại số, ma trận vuông và đường chéo chính của ma trận. Các bài tập khá khó nên các em hãy dành thời gian làm lại nhiều lần để ghi nhớ chính xác từng bước làm của từng dạng bài dưới đây.
3. Hệ phương trình tuyến tính
Phần này bao gồm 10 dạng bài tập được phân loại để các em dễ dàng ôn tập. Các em sẽ học các khái niệm liên quan như nghiệm tầm thường, nghiệm duy nhất, phương trình thuần nhất qua việc thực hành các bài tập về giải hệ phương trình tuyến tính, chứng minh số nghiệm của phương trình, tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, nghiệm tầm thường…
Bộ đề này xoay quanh 4 dạng bài tập của đại số tuyến tính, đi từ cơ bản đến nâng cao giúp các em củng cố kiến thức và kỹ năng làm các bài tập căn bản và tập thực hành với những bài tập khác cùng chủ điểm. Hoàn thành tất cả những bài tập này, các em có thể giải những đề thi của trường dễ dàng hơn, quen thuộc với phương pháp làm bài và các khái niệm liên quan giúp các em rút ngắn thời gian trong các bài kiểm tra.
4. Đa thức
Các bài tập về đa thức như xác định đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức với yếu tố giải tích, tính chia hết của đa thức. Những bài tập dưới đây sẽ giúp các em làm quen các khái niệm liên quan đến đa thức và các bước để thực hiện giải các bài tập phổ biến. Các em hãy ghi nhớ các kiến thức liên quan trước khi tiến hành làm bài để tránh bị lãng phí thời gian và làm bài hiệu quả hơn, ghi chú lại những bước làm chưa rõ để nghiên cứu kĩ trong phần giải bài tập tiếp theo.
Trên đây là tổng hợp các dạng bài tập dễ gặp trong chương đại số tuyến tính. Các bài tập đa số không dễ dàng gì cho các em sinh viên đại học, tuy nhiên nếu các em ghi chú cẩn thận các bước làm của từng bài tập cụ thể trên đây và luyện tập thật nhiều lần thì các em sẽ có khả năng ghi nhớ và tránh các sai sót không đáng có. Chúc các em học tốt nhé!
59 440 KB 156 1.1k
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 59 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chương 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài tập
1.1 Đưa cácma trận sauvề dang bậc
thang:
1 −3 2
2 5 6
A = 3 −4 1
B= 1 2 5
2 −5 3
1 3 2
1 2 −3 0
2 −2 2
1
6 0 −1
D = 2 4 −2 2 E = −3
3 6 −4 3
1 −7 10
2
Bài tập
1.2 Đưa các ma trậnsau về dang
2 2 −1 6 4
2
1 10 13 B = 3
A= 4 4
6 6
0 20 19
4
1
3 −1 2
1
0 11 −5 3
E= 2
D=
2 −5
3 1
3
4
1
1 5
Bài tập
1.3 Xác định
hạng của
3 5 7
A= 1 2 3
1 3 5
1 2 3 4
D= 2 4 6 8
3 6 9 12
1 −1
5 −1
21
1 −2
3
G=
3 −1
8
1
1
3 −9
7
−4 1 −6
C = 1 2 −5
6 3 −4 bậc thang rút gọn:
3 −2
5 1
−1
2
0 4
−5
6 −5 7
2 −1
2 1
4
1 −2 3
6
2 −6 5 ma trận
sau:
1 1 3
B= 2 1 4
1 2 5
4 3 2 2
E= 0 2 1 1
0 0 3 3
1
3 −2 −1
2
5 −2
1
H=
1
1
6 13
−2 −6
8 10 Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau:
1 1 −2 3
1
1 4 −1
C= 1
2
5 9 −2
0 1
3 −2
0 4 −1
3
F =
0 0
1
1
0 5 −3
4
1 1 −3
C = −1 0
2
−3 5
0
1 2 3 6
F = 2 3 1 6
3 1 2 6
2
3
8
Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2
x1
2x1
a.
6x
1
x1
3x1
b.
5x1
x1
c.
−x1
x1
d.
2x1
2x1 + 2x2 −
+ 4x2 −
+ 13x2 −
+ x2 +
+ 2x2 +
x2 +
+ 4x2 +
− 6x2
x2 −
+ 6x2 +
− x2 +
2x2 −
+ 2x2 −
+ 5x2 −
+ 4x2 − 3x3
= −5
6x3 + x4 = −8
17x3 + 4x4 = −21
x3 + x4 + x5 = 7
x3 + x4 − 3x5 = −2
2x3 + 2x4 + 6x5 = 23
3x3 + 3x4 − x5 = 12
=5
4x3 + x4 = 0
x3 + 5x4 = 3
5x3 + 4x4 = 0
2x3
+ 2x5 = 2
3x3 + x4 + 4x5 = 1
7x3 + 3x4 + 10x5 = 5
5x3 + 3x4 + 8x5 = 3 Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phương trình cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo tham
số a, b, c, d.
2 4 −3 6
7 2
a. 0 b
0 0
a a
1 −1 4 −2 5
0
1 2
3 4
b.
0
0 d
5 7
0
0 0 cd c
Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma
trận sau:
1 −2 0 0
7 −3
1 0 −5
0 −8 3
0
0 1
1 0 0 −3
4 −1
0 6
1
a. A =
b. B =
0
0 0 1
5 −4
0 0
0
0
1 0
0
0 0 0
0
0 0
0
0
0 0
0
1 0 −2
0
0
0
1 0 0
8 −3
0 1
0 1 0
6 −3 −2
7
4 −6
c. C =
d.
D
=
0 0
0 0 1 −7
0
1
0 −5
5
0 0
0
0
1
0 0 0
0
0
0
Bài tập
1.7
2x1
3x1
a.
9x1
2x1
4x1
b.
4x1
2x1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương
pháp Gauss:
+ 7x2 + 3x3 + x4 = 6
x1 + x2 −
+ 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4
2x1 + 3x2 +
e.
+ 4x2 + x3 + 7x4 = 14
5x1 + 7x2 +
+ 5x2 + x3 + 3x4 = 2
x1 + 2x2 +
+ 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4
2x1 + x2 +
f.
+ 14x2 + x3 + 7x4 = 4
3x1 + 2x2 +
− 3x2 + 3x3 + 3x4 = 7
4x1 ‘ + 3x2 + 2x3
3x3
4x3
3x3
2x3
x3
2x3 +
−
+
+
+
+
+ 3x4
x4
x4
4x4
3x4
2x4
x4 =
=
=
=
=
=
= 4
3
5
5
1
1
−5 3
2x1
3x1
c.
5x1
2x1
−x1
2x1
d.
5x1
4x1 Bài tập 1.8
ax1
x1
a.
x1 + x2
− 2x2
+ x2
− x2 − x3
+ 2x3
− x3
+ x3 + x4
− 3x4
+ 2x4
− 3x4 = 0
= 2
= −2
= 4 + x2
+ x2
+ 3x2
+ 3x2 + x3
+ 2x3
+ 3x3
+ 2x3 + x4
+ 3x4
+ 5x4
+ x4 = 4
= 1
= 2
= −5
x1
3x1
x1
g.
2x
1
x1
2x1
x1
h.
x1
2x1 +
+
+
+
+
+
+
+
+ 2x2
2x2
x2
3x2
x2
x2
3x2
x2
3x2 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm của hệ
phương trình
x + 2y
+ x2 + x3 + x4 = 1
2x − y
+ ax2 + x3 + x4 = a
b.
3x + y
+ x2 + ax3 + x4 = b
x − 3y Bài tập 1.9 Xác định m để hệ phương trình sau có
x1 − 2x2 + x3 +
2x1 + x2 − x3 +
x1 − x2 + 2x3 −
4x1 − 2x2 + 2x3 + 3x3
+ x3
+ x3
− x3
+ x3
+ x3
+ 5x3
− 3x3
+
+
−
+ 2z
z
z
5z = 14
= 10
= 6
= 5
= 3
=
2
=
5
= −7
= 14 =a
=b
=c
=d nghiệm: x4 = 1
2x4 = 0
3x4 = −2
=m Bài tập 1.10 Giải các hệ thuần nhất sau:
3x1
x1 + 2x2 − 3x3 = 0
2x1
2x1 + 5x2 − 2x3 = 0
a.
b.
x1
3x1 − x2 − 4x3 = 0
x1
x1 + 2x2 − x3 = 0
x1
2x1 + 5x2 + 2x3 = 0
3x1
d.
c.
x1 + 4x2 + 7x3 = 0
4x1
x1 + 3x2 + 3x3 = 0 − 2x2 − 5x3
− 3x2 + x3
+ 2x2
− x2 − 4x3 + x4
+ 5x4
− 4x4
+ 9x4 =
=
=
= 0
0
0
0 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 0
− 7x2 − 2x3 + 4x4 = 0
+ 3x2 + 5x3 + 2x4 = 0 4 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 2 MA TRẬN
Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:
1 −1 2
1 2 3
và B =
a. A + B với A =
0 3 −5
4 5 6
1 −2
3
b. 3A và −5A với A =
4
5 −6
3 0 2
1 −2
3
và B =
c. 2A − 3B với A =
−7 1 8
4
5 −6
d. 5A − 2B; 2A + 3B; A[BC]; [AB]C; AT ; B T ; AT B T ; A2 ; AC biết
1 −3
4
5 0
1
2
; C=
; B=
A=
2
6 −5
−6 7
3 −4
1
2 0
e. AA và A A biết A =
3 −1 4
x y
x 6
4
x+y
Bài tập 2.2 Tìm x, y, z, w biết: 3
=
+
z w
−1 2w
z+w
3
1 2
tìm ma trận B ∈ M2×3 sao cho AB = 0
Bài tập 2.3 Cho A =
3 6
T T Bài tập 2.4 Cho các ma trận
1 −3 0
1 1 −2
2 0 −2
A= 4
5 1 ,B = 3 0
4 , C = 4 7 −5
3
8 0
−1 3
2
1 0 −1 Gọi D = [dij ] = 2AB +C 2 không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử:
a. d11
b. d21
c. d32
5 Chương 2. MA TRẬN 6 Bài tập 2.5 Cho A = 1 5
−1 3 ;B = −1 3 4
3 5 2
1
4
4 3 2 1
3 ; D = −1 0 1 2
;C = 1
4 −3
2 1 0 3 a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại:
AB; BA; AC; DC; CD; C T D
b. Kiểm tra rằng A[BC] = [AB]C và [AB]T = B T AT .
c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm D T C
Bài tập 2.6
3
3 −5
3
−6
15
Cho A = 0 −1 −1 và x = −1 , y = 0 , z = 3
−2 −4 −4
−4
4
9 a. Tính các tích Ax, Ay, Az b. Dùng kết quả câu a] để tính tích A x y z Bài tập 2.7 Tìm ma trận nghịch đảo của mỗi ma trận sau:
1 3 −2
A = 2 8 −3 ; B =
1 7
1
1
1 1 1 1
0
0 1 1 1
D=
0 0 1 1 ; E = 1
1
0 0 0 1
1 −1
1 −2 0
2 −3 ; C = 2 −3 1
2
1
1
1 5
2
1 0
1
0
3
2 0
−1
1
; F =
1
1 3
1 −2
2 −1 2
−2
4
a b
Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo của A =
c d
3 5
1 1
Ứng dụng: A =
; B=
.
2 3
2 3
−1 −5 −7
5
6 là ma trận khả nghịch.
Bài tập 2.9 Cho A = 2
1
3
4
−1
Không tìm toàn bộ ma trận A chỉ tìm
2
5
0
2
1
3
4 a. c3 [A−1 ]
b. đồng thời hai cột, c1 [A−1 ] và c2 [A−1 ]
2
x1
−1
c. h2 [A ], từ đó suy ra giá trị x2 của hệ A x2 = 1
1
x3
0
0
4
3 7
Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma
trận nghịch đảo tương ứng của nó:
1 −3
2
1 0 p
a.
3 −7 m + 5 ; b.A = 1 1 0
−m 2m
1
2 1 1
2 −1
1
1
1 . Hãy tìm B −1 , từ đó giải hệ phương
Bài tập 2.11 Cho ma trận B = 0
1 −1 −1
2
2
4
trình Bx = d với i]d = 3 , ii]d = 3 3 , iii]d = −2
−1
−1
3 Bài tập 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch
x1 + x2 + x3 + x4
x1 + x2 − 3x3 = −2
x1 + x2 − x3 − x4
x1 + 2x2 − 3x3 = 6
a.
b.
x
1 − x2
2x1 + 4x2 − 5x3 = −6
x3 − x4
x1 + x2 + x3 + x4 = −1
x1 + x2 − x3 − x4 = 1
c.
x
1 − x2 + x3 − x4 = −1
x1 − x2 − x3 + x4 = 1 Bài tập
trình
phương
2.13 Giải các
3 5
1 2
.X =
a.
5 9
3 4
14
5 6
3 −1
=
.X.
c.
9
7 8
5 −2
13 −8 −12
1 2
e. X. 12 −7 −12 = 4 5
6 −4 −5
7 8 ma trận sau đây:
b. X.
1
16
3
d.
10
2
3
6
9 3 −2
5 −4 =
−1 2
−5 6
đảo: = 1
= 1
= −1
= −1
2 −3
1 −3 0
2 −4 .X = 10 2 7
−1 0
10 7 8 8 Chương 2. MA TRẬN Chương 3 ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụng tính chất để tính định thức của mỗi ma trận
sau:
1 3 0
5 7
1
2
1
−5
0
1 5
1
0 3 1
2 3
2 −1 1 −1
1
; C = 2 4 0
0
0
4
1
0
;
B
=
A=
3 0 1
6
0
1 0
1
0 0 0 −1 8
1 2 1 −5
3 −2 4 −2
0 0 0
0 3
1
3 4 −5 7
3
3 1
2 0
0 0
D=
2 −1 4
5
3 0
0 0
−2
0 0
0 0 Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột được
chọn một cách hợp lí nhất:
6
3
2 4
1 −2
5 2
9
0 −4 1
8
1 6
2 3 2
0
0
3 0
6 7
0 2 ; D3 =
; D4 = 8 −5
D1 = 3 0 1 ; D2 = 4
5
0
4 4
3
0
0 0
3 −2 5
9 6 3
2 −6 −7 5
4
2
3 2
Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof [A] của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm
tra lại công thức: AC T = [detA]I
3 2 1
2 3 4
2 −1 −2
0
3
a. A = 4 5 2 ;
b. A = 5 6 7 ;
c.A = 1
2 1 4
8 9 1
3 −1
0
Bài tập 3.4 Chứng minh rằng:
′ ′ ′ a11 + a11 a12 + a12 · · · a1n + a1n
a21
a22
···
a2n
..
..
..
..
.
.
.
.
an1
an2
···
ann ′ = ′ ′ a11 a12 · · · a1n
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
a21 a22 · · · a2n
.. + ..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
an1 an2 · · · ann
9 0
0
1
0
0 Chương 3. ĐỊNH THỨC 10
Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:
a.A =
d.D = 1
2
3
4 2
3
4
1
a
b
a+b
4
1
;
2
3
b
a+b
a+b
a
a
b 1
2
b.B =
4
−5
a
e.E = a + x
a+y 3
4
1
2 Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây:
a. 1−λ
3
2
2
1−λ
3
3
2
1−λ b.
−2
0
2
−5
3
2
1
1
0
0 −4 −4
b
c
b + x c + x ;
b+y c+y
c.C =
f.F =
2 −3
1 0
−5
8
2 1
1 −4 −2 0
2 −1
4 0
a + b ab a2 + b2
b + c bc b2 + c2
c + a ca c2 + a2 2−λ
0
0
2−λ
5
−1
; c. −2 3 − λ −1
2
−1 − λ
5
3
−2 2 − λ
2
2
2−λ Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thức
t−2
4
3
t−1
3
−3
t + 3 −1
1
t + 1 −2 ; b. −3 t + 5 −3 ; c. 7
t−5
1
a. 1
0
0
t−4
−6
6
t−4
6
−6 t + 2 Bài tập 3.8 Chứng minh rằng: a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3 a. a1 b1 a1 x + b1 y + c1
a2 b2 a2 x + b2 y + c2
a3 b3 a3 x + b3 y + c3 = b. a1 + b1 x a1 − b1 x c1
a2 + b2 x a2 − b2 x c2
a3 + b3 x a3 − b3 x c3 a1 b1 c1
= −2x a2 b2 c2
a3 b3 c3 1 a bc
c. 1 b ca
1 c ab = [b−a][c−a][c−b] Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách [ phương pháp lập ma trận khối
1
[A|In ] và phương pháp ma trận phụ hợp A−1 =
[Cof [A]]T ]:
detA
1 1
1
1
1 1
1
1
2
2 3
1 2 3
1 1 −1 −1
; D = 1 1 −1 −1
A = 1 −1 0 ; B = 2 3 4 ; C =
1 −1 1 −1
1 −1 0
0
2 −1 0
1 5 7
1 −1 −1 1
0 0
1 −1 Bài tập
3.10
2x1
x1
a.
x1
2x1
2x1
5x1
c.
3x1
2x1 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh
x2 bằng hai cách
5x1 − x2 +
+ x2 + x3 = 2
3x1 − 2x2 +
+ 3x2 + x3 = 5
b.
3x
+ x2 + 5x3 = −7
1 + 2x2 +
2x1 − x2 +
+ 3x2 − 3x3 = 14
− x2 + x3 − 3x4 = 4
−x1 + x2 +
− x2 + x3 − 2x4 = 2
2x1 + 2x2 +
d.
+ 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2
3x1 + x2 +
− 3x2 + 3x3 − 7x4 = 8
4x1 + 2x2 + x3
2x3
2x3
x3 −
−
+
− 2x4
3x4
5x4
3x4 = 2
= 2
= −6
= 4 x3
x3
2x3
3x3 + x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4 = 4
= 1
= 1
= −5 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Video liên quan