Ôn tập hàm số luỹ thừa hàm số mũ và hàm số logarit thế nào sao cho đầy đủ chi tiết nhưng vẫn hiệu quả và không tốn nhiều thời gian? Trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp giúp các em toàn bộ lý thuyết về luỹ thừa mũ logarit kèm theo toàn bộ các dạng bài tập về phần kiến thức này.
Trước khi đi chi tiết vào bài viết hàm số lũy thừa hàm số mũ hàm số lôgarit, các em hãy đọc bảng sau để có cái nhìn tổng quan về hàm số luỹ thừa mũ logarit và nhận định độ khó của các dạng bài này:
Chi tiết hơn về lý thuyết luỹ thừa mũ logarit, các em tải theo link dưới đây:
Tải xuống file lý thuyết hàm số luỹ thừa hàm số mũ hàm số logarit
Đặc biệt, trong bài viết hàm số lũy thừa hàm số mũ hàm số lôgarit này, VUIHOC gửi tặng em bộ tài liệu tổng hợp lý thuyết hàm số luỹ thừa mũ logarit phiên bản giới hạn. Ở trong file này, các thầy cô VUIHOC có chọn lọc toàn bộ những kiến thức cần nhớ nhất của phần kiến thức này, đặc biệt có thêm các tips giải nhanh bằng máy tính CASIO rất có ích trong việc ôn tập đề thi đại học. Các em hãy đọc hết bài viết hàm số lũy thừa hàm số mũ hàm số lôgarit để lấy link tài liệu nhé!
1. Lý thuyết về luỹ thừa mũ logarit
1.1. Lý thuyết về luỹ thừa
Hiểu đơn giản, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số a nhân với nhau.
Tính chất của luỹ thừa:
- Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:
- Tính chất về bất đẳng thức:
- So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
- Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$
- Với $0b>0\Rightarrow an>bn$
- Với số mũ âm $nb>0\Rightarrow an0$, $00$.
Vì vậy khi chúng ta gặp bài toán tìm tập xác định của hàm số $y=a^{u[x]}[a>0,a\neq 1]$ thì ta chỉ viết điều kiện để cho $u[x]$ xác định.
Đồ thị:
Đồ thị:
Chú ý: Các em lưu ý, trong hàm số mũ và hàm số lũy thừa đồ thị của một số hàm số mũ đặc biệt sẽ có dạng như sau:
Từ định nghĩa, đạo hàm và sau khi khảo sát đồ thị, ta rút ra được tính chất của hàm số mũ như sau:
Xét hàm số $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$:
Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng ôn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia ngay!
2.3. Lý thuyết hàm số logarit
Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:
Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$,$x>0$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.
Xét hàm số $y=log_ax$, ta có 3 điều kiện hàm logarit ở dạng tổng quát như sau:
- $00$. Nếu $a$ chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $00$ nếu n lẻ; $U[x]\neq 0$ nếu $n$ chẵn.
Tổng quát lại:
thì điều kiện xác định là $u[x]>0$ và $u[x]$ xác định.
Đồ thị hàm logarit $y=log_ax$ được biểu diễn như sau:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $[1;0]$ và nằm phía bên phải trục tung.
Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log_ax$, $[00]$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ [góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$].
3. Các dạng bài tập hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm số logarit
3.1. Dạng bài tập hàm số lũy thừa kèm ví dụ minh hoạ
Dạng 1: Áp dụng lý thuyết hàm số lũy thừa tìm tập xác định
Các bước thực hiện giải bài toán dạng hàm số mũ và hàm số lũy thừa như sau:
Bước 1: Xác định số mũ của hàm số lũy thừa
Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định
- $\alpha$ nguyên dương: $D=\mathbb{R}$
- $\alpha$ nguyên âm hoặc $\alpha=0$: D=R\{0}
- $\alpha$ không nguyên: $D=[0;+\infty ]$
Bước 3: Giải các bất phương trình để tìm tập xác định của hàm số lũy thừa
Chúng ta cùng Vuihoc giải ví dụ minh hoạ sau đây để hiểu hơn về dạng bài tập này:
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: $y=[\frac{2x+1}{2x^2-x-6}]^2$
- D=\mathbb{R}
- $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{3}{2};2 \right \}$
- $D=[-\frac{3}{2};2]$
- $D=[-\infty ;-\frac{3}{2}][2;+\infty ]$
Giải:
Điều kiện xác định của hàm số: $2x^2-x-6\neq 0\Rightarrow x\neq 2$; $x\neq -\frac{3}{2}$$\Rightarrow $ $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{3}{2};2 \right \}$
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa
Trong dạng bài tập về hàm số lũy thừa này, các em áp dụng các kiến thức cơ bản về đạo hàm để giải. Các bước để tiến hành giải gồm 3 bước sau:
- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.
- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
- Bước 3: Tính toán và kết luận.
Các em cùng xét bài toán ví dụ sau đây:
Câu hỏi 3 bài 2 trang 29 SGK giải tích lớp 12: Tính đạo hàm của hàm số $y=[3x^2-1]^{\sqrt{2}}$
Giải: Sử dụng công thức đạo hàm $[u]'=u^{-1}.u'$
Dạng 3: Khảo sát đồ thị hàm số lũy thừa
Đây là dạng bài khái quát nhất về lý thuyết hàm số lũy thừa. Để vẽ được đồ thị, các em học sinh cần hoàn thiện các bước từ tìm tập xác định, xét bảng biến thiên rồi mới tới vẽ đồ thị.
Cách làm tổng quát của bài tập khảo sát đồ thị hàm số lũy thừa:
Ta cùng xét hàm số lũy thừa $y=x$ trên khoảng $[0;+\infty]$:
Trên thực tế, mỗi dạng hàm số lũy thừa khác nhau đều có tập xác định khác nhau tùy thuộc vào điều kiện của . Cùng Vuihoc xét ví dụ minh hoạ sau đây để rõ hơn về các bước xử lý dạng bài tập này:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^{-\frac{3}{4}}$
- Tập xác định: $D=[0;+\infty ]$
- Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: $y'=-\frac{3}{4}x^{-[\frac{7}{4}]}$
Ta có $y’